Bài giảng

Về bài toán tổ hợp có nhiều cách giải gây tranh cãi chiều 15/09

Chiều nay, sau khi xem kỹ lại cách giải của nhóm 2, thì thật ra, trong cách giải của nhóm 2 có sai lầm.

Xét bài toán: xếp 10 người có 6 nam và 4 nữ vào 10 ghế sao cho không có 2 nữ ngồi kề.

Trong cách giải nhóm 2, các bạn lý luận như sau:

Giai đoạn 1: chọn ra 7 ghế trong 10 ghế.

Giai đoạn 2: Với mỗi cách chọn 7 ghế chỉ có duy nhất 1 cách xếp để thỏa yêu cầu là:

Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ

………………

Điều này gián tiếp các bạn công nhận 7 ghế này là liền nhau.

Ta xét phản ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giả sử ta chọn được 7 ghế lần lượt có thứ tự là:1 5 6 7 8 9 10

Như vậy có 3 ghế có số thứ tự 2 3 4 chưa được chọn.

Với cách chọn trên, thật ra ta cũng có cách xếp nữa như sau:

\begin{array}{ccccccc} 1 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\  \hline Nu & Nu & Nam & Nu & Nam & Nu & Nam  \\ \end{array}

Khi đó 3 nam ngồi ở 3 ghế có thứ tự 2, 3, 4 sẽ tách riêng 2 nữ ở đầu ra. Và cách chọn này sẽ trùng lại với 1 số cách chọn khác.

Vd2: Giả sử ta chọn được 7 ghế lần lượt có thứ tự là: 1 3 5 6 7 8 9 (có 3 ghế trống là 2, 4, 10)

Với cách chọn trên, thì ta có thể có các cách xếp sau:

\begin{array}{ccccccc} 1 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  \hline Nu & Nu & Nu & Nam & Nu & Nam & Nam \\ \end{array}

Với cách này, thì khi xếp 3 nam vào 3 vị trí 2, 4, 10 thì cũng thỏa yêu cầu bài toán. Có thể thấy ngay cách này trùng với cách chọn được 7 ghế đầu tiên và 1 số cách khác.

Hoặc::

\begin{array}{ccccccc} 1 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline Nu & Nu & Nam & Nam & Nu & Nam & Nu \\ \end{array}

Với cách này cũng vậy, khi xếp 3 nam vào các vị trí 2, 4, 10 thì cũng thỏa yêu cầu bài toán. Cũng có thể thấy ngay sẽ có những cách khác chọn ghế khác cũng sẽ trùng lại với cách chọn này.

Do vậy, cách giải của nhóm 2 là không chính xác.

Ta chú ý lại yêu cầu đề bài: xếp 10 người có 6 nam và 4 nữ vào 10 ghế sao cho không có 2 nữ ngồi kề. Như vậy là người chọn ghế chứ không phải ghế chọn người.

Vì vậy, ta chỉ cần xếp 10 ngưới miễn sao thỏa mãn yêu cầu không có 2 nữ đứng kề là thỏa mãn yêu cầu bài toán. Như vậy, các ghế là như nhau, không phân biệt thứ tự.

Xem xét cách giải của bạn Lam:

Gia đoạn 1: Xếp 6 nam đứng thành 1 nhóm: có 6! cách (do nam có thể hoán vị chỗ đứng cho nhau)

Giai đoạn 2: Có 7 vị trí để xếp nữ vào nhóm 6 nam trên, sao cho 2 nữ không đó kế nhau là: 1N1N1N1N1N1N1 (các số 1 là những vị trí có thể xếp nữ vào).

Giai đoạn 3: Tiến hành xếp 4 nữ.

Chọn 1 nữ đầu tiên có 4 cách và 7 vị trí => 28 cách.

Chọn nữ thứ 2 có 3 cách và 6 vi trí => 18 cách

Chọn nữ thứ 3 có 2 cách và 5 vị trí =>  10 cách

Nữ thứ 4 có 1 cách và 4 vị trí => 4

Vậy số cách: 6!. 28.18.10.4 = 14.515.200

Thoạt nhìn có vẻ hợp lý. Tuy nhiên, đây cũng là một cách giải sai.

Sai lầm ở chỗ cả 4 nữ đều có cơ hội như nhau trong việc chọn 1 trong 7 vị trí trên. Do đó, ta phải bỏ qua bước chọn ai là người đầu tiên chọn vị trí trong 4 nữ, cũng như người thứ 2, người thứ 3…

Ta có thể thấy rõ sai lầm qua ví dụ sau: xếp 2 nữ N1, N2 vào 3 ghế.

Nếu lý luận như trên ta sẽ có: chọn người nữ đầu tiên trong 2 người nữ: có 2 cách chọn, người nữ đầu tiên có thể chọn 1 trong 3 ghế. Sau đó, người nữ thứ 2 chỉ có thể chọn 1 trong 2 ghế còn lại. Vậy số cách là: 2.3.2 = 12 cách.

Tuy nhiên, trong thực tế ta chỉ có 6 cách sau:

\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \hline N1 & N2 & 0 \\ \end{array} , \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \hline N1 & 0 & N2 \\ \end{array}

\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \hline N2 & N1 & 0 \\ \end{array} , \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & N1 & N2 \\ \end{array}

\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & N2 & N1 \\ \end{array} , \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \hline N2 & 0 & N1 \\ \end{array}

Do vậy cách giải của bạn Lam cũng không chính xác.

Do đó, cách giải chính xác phải là cách giải của Thùy Duyên:

Giai đoạn 1: xếp 6 nam thành 1 khối, có 6! cách.

Giai đoạn 2: có thể xếp 4 nữ vào 4 vị trí bất kỳ trong 7 vị trí, nghĩa là chọn 4 vị trí trong 7 vị trí cho trước: có C_{7}^{4} cách chọn.

Giai đoạn 3: Với mỗi 4 vị trí vừa chọn, ta có thể hoán đổi vị trí của 4 nữ cho nhau, có 4! cách.

Vậy số cách chọn xếp là: 6!.4!.C_{7}{4} = 604.800

Cuối cùng. đã có thể ngủ ngon giấc mà không phải áy náy vì 1 phút mất tập trung.

Nhưng cũng nhờ nó mà ta có thêm 1 bài học: cần suy nghĩ thật kỹ, xem xét vấn đề theo nhiều góc cạnh khác nhau trước khi đưa ra kết luận của mình về một hiện tượng nào đó xảy ra trong cuộc sống này.

Advertisements

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

7 thoughts on “Về bài toán tổ hợp có nhiều cách giải gây tranh cãi chiều 15/09

  1. Em muốn hỏi: đề yêu cầu là xếp nam và nữ nhưng không hề kể tên từng ngừơi, vì vậy khi hoán vị các ban n nữ (hoặc các bạn nam) rõ ràng vị tri các ghế là không đổi
    có thể nói như này:
    bài toán có 2 loại phần tử 1:nữ
    2: Nam
    Rõ ràng khi hoán vị 1 với 1, 2 với 2 tập hợp mới sẽ không đổi!
    Khoan nói về vấn đề này, em có bài toán tương tự (nam và nữ là khác nhau) đề bài giống trên nhưng là xếp thành vòng tròn
    vậy kết quả là gi?

    Like

    Posted by lanlan | 29/06/2009, 20:13
  2. Thưa Thầy bây giờ em mới đọc được bài viết về “bài tổ hợp chiều 15/09”. Em có một cách lý luận khác mà em cũng cho là dễ hiểu đó là : Bước1 chon 6 vị trí của 6 bạn nam ngồi có 6! cách. Từ đó bước 2: với mỗi cách ngồi của 6 bạn nam thì có 7 vị trí mà 4 bạn nữ có thể ngồi sao cho ko có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau là 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 (bạn nữ là số 1) vậy có A4 7 cách. Vậy tất cả sẽ có 6!.A4 7 =604800 (cach). Em mới vào trang của thầy nên chưa biết cách gõ công thức toán

    Like

    Posted by Rùa còi | 29/09/2008, 00:30
  3. Bài 1 có sai đề không em, sao tam giác ABCD nội tiếp đường tròn? Nếu là tứ giác ABCD, em dùng các tính chất song song và bằng nhau giữa các cạnh AD, BM, CN và tính chất song song giữa 2 đường trung trực của AB và DM, 2 đường trung trực giữa BC và MN, thì khi đó nếu tịnh tiến theo vecto AD thì A -> D, B -> M, C -> N và O -> O’ nên (O) -> (O’). Thế nhưng nếu AD > R thì chắc chắn OO’ > R nên không thể OO’ = R. Do đó, chắc chắn đề bài em viết ra còn thiếu dữ kiện.

    Bài 2: chẳng qua là viết phương trình đường thẳng d1 cùng phương với vecto a, có thể chọn đường thẳng d1 đó đi qua tâm O cho dễ. Sau đó, tìm giao điểm A, B giữa d1 với d và d’. Khi đó vecto AB chính là vecto u cần tìm.

    Like

    Posted by 2Bo02B | 18/09/2008, 22:22
  4. Thầy giải giúp em bai tap này
    B1 ; Cho đường tròn tâm 0 , tam giác ABCD nội tiếp đường tròn. Vẽ hình bình hành DABM, DACN. Chứng minh tâm 0′ của đướng tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm trên đường tròn 0.
    B2: Cho hai đường thẳng d: 2x-y+4=0, d’: 2x-y+1=0.
    Tìm vectơ u có phương với vecto a=(1,-2), sao cho d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến vecto u?

    Like

    Posted by hue | 18/09/2008, 21:08
  5. Em cảm ơn thầy

    Like

    Posted by student | 17/09/2008, 17:32
  6. Bài toán trên tương đương với yêu cầu xếp 10 bạn gồm 6 nam và 4 nữ đứng cạnh nhau sao cho không có hai nữ đứng kế nhau.

    Đầu tiên, cho 6 bạn nam đứng thành 1 hàng ngang NNNNNN. Có 6! cách xếp.

    Tiếp theo, với mỗi cách xếp trên, ta tìm những vị trí mà các bạn nữ có thể chen vào giữa để 2 nữ không đứng kế nhau. 1 vị trí chỉ đứng 1 bạn. Như vậy chỉ có 7 vị trí có thể chen vào (đánh dấu là số 1) như sau:
    1N1N1N1N1N1N1.

    Bây giờ xếp 4 bạn nữ vào 7 vị trí đó.

    Bạn nữ đầu tiên có 7 cách chọn vị trí
    Bạn nữ thứ hai có 6 cách chọn vị trí
    Bạn nữ thứ ba có 5 cách chọn vị trí
    Bạn nữ thứ tư có 4 cách chọn vị trí.

    Vậy với mỗi cách xếp 6 bạn nam thì có 7.6.5.4 cách xếp bạn nữ chen vào.

    Do đó, tổng số cách để có thể xếp 10 bạn mà không có 2 bạn nữ kế nhau là:
    6!.7.6.5.4 = 604.800

    Like

    Posted by 2Bo02B | 16/09/2008, 22:20
  7. Thầy vui long giảng lại cho em bài tập trên .Thực sự em vẫn chưa hiểu cách bạn Duyên làm

    Like

    Posted by student | 16/09/2008, 21:24

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 730 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: