Bài giảng, Toán học

Mẹo tính nhanh tích phân từng phần

Trong chuyên mục hôm nay, chúng tôi xin giới thiệu một thuật toán (“mẹo”) , “chiêu”) nhằm giúp tính nhanh các tích phân có dạng tích phân từng phần.

Trước tiên, ta nhắc lại một chút về kiến thức của phép lấy tích phân theo từng phần:

Giả sử u và v là hai hàm số khả vi của x. Khi đó, như ta đã biết, vi phân của tích uv được tính theo công thức:

d(uv) = udv + vdu

Từ đó, lấy tích phân ta được:

uv = \int {udv} +  \int {vdu}

Hay là:

\int {udv} = uv -  \int {vdu} (1)

Công thức này gọi là công thứclấy tích phân từng phần. Công thức này thường được dùng để lấy tích phân các bểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai nhân tử u và dv, sao cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv của nó và việc tính tích phân \int {vdu} là những bài toán đơn giản hơn so với việc tính trực tếp tích phân \int {udv} . Ý nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số u và dv thường xảy ra trong quá trình giải các bài toán có dạng sau:

\int {P_{n}(x).sinaxdx} , \int {P_{n}(x).cosaxdx} , \int {P_{n}(x).e^{ax}dx} , \int {P_{n}(x).lnxdx}

trong đó Pn là đa thức bậc n.

Với các dạng trên, thì thông thường vai trò của u luôn là đa thức Pn , và dv là phần còn lại. Như vậy, ta có sơ đồ sau:

tptp.gif

Khi được tích phân mới, ta lại được một tích phân lại là một trong các dạng, và phần đa thức mới lại đóng vai trò là u, còn phần còn lại tiếp tục đóng vai trò là v…. Cứ thế cho đến khi bậc của đa thức là bậc 0 thì sẽ có kết quả. Như vậy, các đa thức luôn đóng vai trò u (nghĩa là lấy đạo hàm), còn phần cò lại luôn là dv (lấy tích phân), nên ta sẽ xây dựng thật toán gồm 2 cột: 1 cột chuyên lấy đạo hàm của đa thức cho đến khi giá trị bằng ; 1 cột luôn lấy tích phân tương ứng với cột kia. Sau đó, ghép các giá trị uv lại ta sẽ có kết quả. Hay ta có sơ đồ sau:

tptp1.gif

Ví dụ: Cần tính \int {(x^2 + 7x - 5).cos2x dx}

Ta lập sơ đồ như sau:

tptp2.gif

Khi đó, kết quả của tích phân này sẽ là:

(x^2+7x-5) { \frac{sin2x}{2}}+(2x+7) { \frac{cos2x}{4}} - { \frac{sin2x}{4}}

Ví dụ 2: Cần tính: \int {(x^3 + 4x^2 - 5x + 6).e^{-x} dx}

Ta có sơ đồ sau:

tptp3.gif

Vậy, dựa vào sơ đồ trên, ta có kết quả của bài toán là:

- {(x^3+4x^2-5x+6)e^{-x} }-{(3x^2+8x-5)e^{-x}}-{(6x+8)e^{-x}}-6e^{-x}

Hay:

- (x^3 + 7x^2 + 9x + 15)e^{-x}

Tóm lại, qua sơ đồ thuật toán và 2 ví dụ vừa trình bày, chúng tôi hy vọng đã cung cấp cho các bạn một chiêu giúp chúng ta tính kết quả của các tích phân từng phần một cách nhanh chóng, và hiệu quả mà không cần phải đặt u, v lòng vòng như sách giáo khoa đã trình bày.

About these ads

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

52 thoughts on “Mẹo tính nhanh tích phân từng phần

  1. admin cho em hỏi,mẹo tính tích phân này có được làm trong bài kiểm tra không và có được áp dụng trong kỳ thi THPT quốc gia không ạ

    Like

    Posted by Ánh Khuất Duy | 07/04/2015, 22:37
  2. Thưa thầy, em áp dụng mẹo này với bài lnx.dx/x^3 thì làm không ra ạ…

    Like

    Posted by Trần Tuấn Thanh | 21/02/2015, 17:07

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 622 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 622 other followers

%d bloggers like this: