Bài giảng

Xung quanh bài tích phân thi cuối kỳ…

Đề thi kết thúc học phần Giải tích 1 của lớp Lý 1SP vừa qua có câu tính tích phân rất đáng để suy nghĩ và trao đổi. Mời các bạn cùng tham gia
Câu hỏi như sau: tính tích phân:

I = \int { \frac{sin^{2}x.cosx}{cosx+sinx}} \, dx (1)

Nếu làm theo cách thông thường chuyển tích phân lượng giác về tích phân hữu tỷ bằng cách đặt t = tgx và đưa về tích phân bất định \int { \frac{t^2}{(1+t^{2})^{2}.(1+t)}} \, dx thì bài toán được giải quyết.

Tuy nhiên, nếu nhìn bài toán này ở một góc độ khác, ta sẽ có những điều khá bất ngờ và thú vị:

Xuất phát từ (1): đặt x = { \dfrac{\pi}{2}} - t.

Ta có:

I = -{ \int { \dfrac{cos^{2}t.sint}{cost+sint} } \, dt }= - { \int { \dfrac{cos^{2}x.sinx}{cosx+sinx} } \, dx }.

Ta đặt: J = { \int { \dfrac{cos^{2}x.sinx}{cosx+sinx} } \, dx }.

Vậy: I = – J (2)

Mặt khác ta có:

I + J = {\int { \dfrac{sinxcosx.(sinx+cosx)}{sinx + cosx}} \, dx} =  {\int { sinxcosx} \, dx} = - { \dfrac{1}{4}}.cos2x + C (3)

Từ (2) và (3) hóa ra - { \dfrac{1}{4}}.cos2x + C = 0

Hay: cos2x là hằng số với mọi x.

Vậy cách giải này sai ở đâu. Mời bạn cùng trao đổi nhé !!!???

Ngoài ra, bài toán này còn có 1 cách giải quyết độc đáo:

Nhận thấy trên tử số có sin2xcosx là dạng thiếu của sin2x, phía dưới mẫu là dạng thiếu của cos2x nên nhân tử và mẫu cho cosx – sinx.

Ta có:

I = \int ({ \dfrac{sin^{2}x.cos^{2}x - sin^{2}x.sinx.cosx}{cos2x}}) \, dx

= { \dfrac{1}{4}} \int ({ \dfrac{sin^{2}2x -2sin2x.sin^{2}x}{cos2x}}) \, dx

= { \dfrac{1}{4}} \int ({ \dfrac{sin^{2}2x -sin2x+sin2xcos2x}{cos2x}}) \, dx

= { \dfrac{1}{4}} ({\int ({ \dfrac{sin^{2}2x -sin2x}{cos2x}}) \, dx} + {\int {sin2x} \, dx})

= { \dfrac{1}{4}} {\int ({ \dfrac{sin^{2}2x -sin2x}{cos2x}}) \, dx} - { \frac{1}{8}}.cos2x

Ở tích phân đầu, đặt t = sin 2x, suy ra: dt = 2cos2x dx. Do đó:

= { \dfrac{1}{4}} {\int ({ \dfrac{sin^{2}2x -sin2x}{cos2x}}) \, dx} =  { \dfrac{1}{8}} {\int { \dfrac{t^{2}-t}{1-t^{2}}} \, dt} = { \dfrac{1}{8}}{\int ({ -1+{ \dfrac{1}{1+t}}}) \, dt}

Tới đây, xem như bài toán đã được giải quyết.

Advertisements

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

19 thoughts on “Xung quanh bài tích phân thi cuối kỳ…

  1. cho em hoi cach tinh bai nay: tich phan cua (dx\(x^4+1)) lay tu 0 den 1

    Số lượt thích

    Posted by hung | 08/04/2009, 11:45
    • Bài này, mẫu số vô nghiệm thực nên em cần đưa về dạng tích của 2 tam thức bậc hai vô nghiệm.
      Ta có:
      \dfrac{1}{x^4+1} = \dfrac{1}{(x^2+1)^2 - 2x^2} = \dfrac{1}{(x^2 - x{\sqrt{2}}+1)(x^2+x{\sqrt{2}}+1)} = A
      Đến đây em dùng pp đồng nhất hệ số để phân tích thành các phân thức hữu tỉ thật sự: Ta có
      A = { \dfrac{ax+b}{x^2-x{\sqrt{2}}+1}} + { \dfrac{cx+d}{x^2+x{\sqrt{2}}+1}}
      Đồng nhất hệ số tìm được các hệ số a, b, c, d thì bài toán sẽ trỡ về tổng của 2 tích phân dạng bậc nhất chia tam thức bậc 2 vô nghiệm.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 10/04/2009, 21:08
  2. Các bạn bị nhầm lần rồi. Tuy có bạn nói cũng gần đúng là nguyên hàm của dt và dx khác nhau. Đúng, vì ở đây, ta không được đồng nhất, coi là hai biến thì làm gì cũng được.
    đã đặt t=pi/2-x thì dt=-dx. qua đó bạn có thể giải thích một cách logic bài toán trên. chỗ suy ra I+J là được, nhưng nếu chú ý lại chỗ dt, dx thì có thế giải lại bình thường.

    Số lượt thích

    Posted by yuy | 22/07/2008, 12:24
  3. Cách giải quyết thứ 6 cho bài toán:
    Xét A = \int{ \frac{sin^{3}x}{cosx+sinx}} \,dx , A = \int{ \frac{cos^{3}x}{cosx+sinx}} \,dx
    Và xét: I = \int{ \frac{sin^{2}xcosx}{cosx+sinx}} \,dx
    Ta có:

    A + B = \int{(1-sinxcosx)} \, dx , B - A = \int{ \frac{(cosx - sinx)(1+sinxcosx)}{sinx + cosx}} \,dx

    Dễ dàng tính được tích phân A + B, với B – A, ta đặt t = sinx + cosx \Rightarrow dt = (cosx - sinx) dx , sinxcosx = { \frac{t^{2} - 1}{2}} . Từ đó dễ dàng tính được B – A.

    Và vì thế, ta tính được A và B

    Mặt khác ta có: A + I = \int{ \frac{sin^{2}x(sinx + cosx)}{sinx + cosx}} \, dx = \int{sin^{2}x} \,dx

    Ta cũng dễ dàng tính được A + I.

    Và do đó, bằng cách này, ta tính được tính phân I cần tìm.

    Số lượt thích

    Posted by Thụ Nhân | 27/01/2008, 22:31
  4. Có một bạn đã giải quyết bài toán trên theo cách khác. Chúng ta cùng xem nhé.
    Xét:
    I = \int { \frac{sin^{2}x.cosx}{cosx+sinx}} \, dx (1) , J = \int { \frac{cos^{2}x.sinx}{cosx+sinx}} \, dx (2)
    Ta có:
    I + J = {\int { \frac{sinxcosx.(sinx+cosx)}{sinx + cosx}} \, dx} = {\int { sinxcosx} \, dx} = - { \frac{1}{4}}.cos2x + C (3)
    Mặt khác:
    I^{2} + J^{2} = {\int { \frac{sin^{4}xcos^{2}x + sin^{2}x+cos^{4}x}{(sinx + cosx)}^{2}} \, dx} = \dots = B (4)
    Từ đó, từ (3) và (4) tính được I và J
    Cách giải quyết này ta tạm gọi là cách 5.
    Liệu cách 5 này có ổn thỏa !!?

    Số lượt thích

    Posted by Thụ Nhân | 24/01/2008, 22:03
  5. Cảm ơn bạn Minh Quang. Ở đây có sự nhầm lẫn khi đánh máy bài viết. Chúng tôi đã kiểm tra lại, cách đổi biến chính xác là x = { \frac{\pi}{2}} - t
    Và vì thế, kết quả sau khi đổi biến là chính xác

    Số lượt thích

    Posted by Thụ Nhân | 24/01/2008, 21:53
  6. Bài tóan trên sai ngay từ ban đầu sau khi đặt x = t – pi/2 ) thì bài toán đã bị biến đổi sai ở phần mẫu số . Em xin biến đổi lại phần mẫu số như sau:

    Sinx + cosx => sin( t – pi/2 ) +cos( t- pi/2) = – sin(pi/2 – t) + cos(pi/2 – t) = -cost + sint

    Như vậy mẫu của tích phân chúng ta thu được sau khi dặt x = t – pi/2 là : sint – cost chứ không phải là sint + cost như đã biến đổi ở trên. Do đó bài toán sai.

    Số lượt thích

    Posted by Trần Ngọc Minh Quang | 24/01/2008, 19:20

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 734 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: