Bài giảng

Thuật toán chia đa thức bậc n cho tam thức bậc 2.

Khi chia một đa thức bậc n cho 1 đa thức bậc 2, ta sẽ được thương là một đa thức bậc n – 2 và phần dư là nhị thức bậc nhất. Nếu đặt phép chia đa thức ta sẽ xác định được kết quả cần tìm, tuy nhiên, việc làm này vừa tốn thời gian, vừa dễ sai sót. Ta sẽ xây dựng sơ đồ thuật toán để có thể xác định nhanh chóng các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư giống như sơ đồ Hooc-ne chia đa thức cho nhị thức bậc nhất.

Giả sử, đa thức bị chia bậc n có dạng:

P_{n} = {a_{0}.x^{n} + a_{1}. x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + ... + a_{n-2} .x^{2} + a_{n-1}.x + a_{n}}

Ta xét trường hợp tam thức bậc 2 có dạng: {x^{2} + px  + q} . (trường hợp hệ số của {x^{2} \ne 1} dành cho các bạn tự xem xét).

Đa thức thương:

Q(x) = b_{0}.x^{n-2} + b_{1}. x^{n-3} + b_{2}x^{n-4} + ... + b_{n-4} .x^{2} + b_{n-3}.x + b_{n-2}

Và phần dư: R(x) = cx + d .

Ta có:

{a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ ...+ a_{n-2}x^{2}+a_{n-1}x + a_{n}} = \\ {(x^{2} + px  + q)}.{(b_{0}x^{n-2}+b_{1}x^{n-3}+...+b_{n-4}x^{2} +b_{n-3}x + b_{n-2})} \\ + {(cx + d)}

Đồng nhất các hệ số ta có:

\left \{ \begin{array}{l} {a_{0} = b_{0}} \\{a_{1} = b_{1} + p.b_{0}} \\{a_{2} = b_{2} + p.b_{1}+q.b_{0}} \\{a_{3} = b_{3} + p.b_{2}+q.b_{1}} \\{a_{4} = b_{4} + p.b_{2}+q.b_{1}} \\{\cdots} \\{a_{i} = b_{i} + p.b_{i-1}+q.b_{i-2}} \\{\cdots} \\{a_{n-2} = b_{n-2} + p.b_{n-3}+q.b_{n-4}} \\{a_{n-1} = c + p.b_{n-2}+q.b_{n-3}} \\{a_{n} = d + q.b_{n-2}} \end{array} \right.

Từ đây ta sẽ xác định được các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư như sau:

\left \{ \begin{array}{l} {b_{0} = a_{0}} \\{b_{1} = a_{1} - p.b_{0}} \\{b_{2} = a_{2} - p.b_{1} - q.b_{0}} \\{b_{3} = a_{3} - p.b_{2} - q.b_{1}} \\{b_{4} = a_{4} - p.b_{2} - q.b_{1}} \\{\cdots} \\{b_{i} = a_{i} - p.b_{i-1} - q.b_{i-2}} \\{\cdots} \\{b_{n-2} = a_{n-2} - p.b_{n-3} - q.b_{n-4}} \\{c = a_{n-1} - p.b_{n-2} - q.b_{n-3}} \\{d = a_{n} - q.b_{n-2}} \end{array} \right.

Dựa trên hệ đẳng thức trên ta có thể lập bảng thuật toán sau để có thể xác định nhanh các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư khi chia một đa thức bậc n cho tam thức bậc hai:

Đầu tiên, dựa vào đẳng thức xác định các hệ số b_{0}, b_{1} và d. Ta sẽ có bảng sau:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} &  {} & a_{1} & {}  & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} &  {} & a_{n-2} &  {} & a_{n-1} &  {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x) & b_{0} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Ta xác định các hệ số còn lại dựa vào đẳng thức sau:

{b_{i} = a_{i} - p.b_{i-1} - q.b_{i-2}}

Xác định hệ số b1:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a1 ta sẽ có hệ số b1.

Xác định hệ số b2:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & -p.b_{1} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} &-q.b_{0}& {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & b_{2} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a2 ta sẽ có hệ số b2.

Ta xác định hệ số b3 hoàn toàn tương tự, ta có:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & -p.b_{1} & {} & -p.b_{2} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} &-q.b_{0}& {} & -q.b{1} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & b_{2} & {} & b_{3} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a3 ta sẽ có hệ số b3.

Các hệ số còn lại được xác định hoàn toàn tương tự. Ta có bảng thuật toán tổng quát sau:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c | c c c} P_{n}&a_{0}&{}&a_{1}&{}&a_{2}&{}&a_{3}& \cdots &a_{n-3}&{}& a_{n-2}&a_{n-1}&{}&a_{n} \\ \hline -p&0&{}&-pb_{0}&{}&-pb_{1}&{}&-pb_{2}& \cdots &-pb_{n-4}&{}&-pb_{n-3}&-pb_{n-2}&{}&0 \\ \hline -q&0&{}&0&{}&-qb_{0}&{}&-qb{1}& \cdots &-qb_{n-5}&{}&-qb_{n-4}&-qb_{n-3}&{}&-qb_{n-2} \\ \hline Q(x)&b_{0}&{}&b_{1}&{}&b_{2}&{}&b_{3}& \cdots &b_{n-3}&{}&b_{n-2}&c&{}&d \\ \end{array}

Ví dụ 1:

Chia đa thức {4x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - x} cho {x^{2} - x + 1}

Ta lập bảng thuật toán sau:

\begin{array}{c| c c c c c c | c c c} P_{n}&4&{}&-3&{}&2&{}&-1&{}&0 \\ \hline 1&0&{}&4&{}&1&{}&-1&{}&0 \\ \hline -1&0&{}&0&{}&-4&{}&-1&{}&1 \\ \hline {}&4&{}&1&{}&-1&{}&-3&{}&1 \\ \end{array}

Vậy ta có:

{4x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - x} = {(x^{2} - x + 1)}.{(4x^{2} + x - 1)} -3x + 1

Ví dụ 2:

Chia đa thức {x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} cho {x^{2} - 2x + 3}

Tương tự, áp dụng sơ đồ thuật toán ở trên ta sẽ có:

\begin{array}{r| r r r r r r r r r | r r r} P_{n}&1&{}&-1&{}&1&{}&-1&{}&1&-1&{}&1 \\ \hline 2&0&{}&2&{}&2&{}&0&{}&-8&-14&{}&0 \\ \hline -3&0&{}&0&{}&-3&{}&-3&{}&0&12&{}&21 \\ \hline {}&1&{}&1&{}&0&{}&-4&{}&-7&-3&{}&22 \\ \end{array}

Vậy ta có:

{x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} \\ =  {(x^{2} - 2x + 3)}.{(x^{4} + x^{3} - 4x - 7)} -3x + 22


Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, bạn sẽ thiết lập được sơ đồ thuật toán để tính nhanh kết quả của phép chia một đa thức bất kỳ cho một đa thức bậc 3, bậc 4, …

Bạn hãy thử xem thế nào nhé!

2Bo02B – thunhan.wordpress.com

Advertisements

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

4 thoughts on “Thuật toán chia đa thức bậc n cho tam thức bậc 2.

  1. xin thấy chỉ cho phương pháp chia đa thức với đa thức mà hệ số của x2 khác 1

    Số lượt thích

    Posted by butagiot | 13/06/2011, 09:30
  2. Cho mình hỏi nếu hệ số của x bình phương khác 1 thì làm sao vậy. Thanks

    Số lượt thích

    Posted by tuan | 14/08/2010, 22:44
  3. quá hay
    không còn ji để bàn
    thanks! nhưng hok bit bài ne của ai nữa

    Số lượt thích

    Posted by thanh | 05/05/2010, 15:25
  4. cách này hay wá, thank nha

    Số lượt thích

    Posted by Quang | 28/04/2010, 12:13

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 738 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: