Bài giảng, Toán học

Ước lượng bài toán Basel- Euler đã làm điều đó như thế nào?

euler.jpg

Thành tựu lừng danh đầu tiên của nhà toán học Leonhard Euler (1707 – 1783) chính là lời giải về “bài toán Basel” vào năm 1735, trong đó ông đã tìm chính xác giá trị của tổng các bình phương nghịch đảo của các số nguyên, nghĩa là: ông đã tính chính xác tổng của chuỗi số:

\sum_{n=1}^{\infty} { \frac{1}{n^2}} = 1 + { \frac{1}{4}} + { \frac{1}{9}} + { \frac{1}{16}} + ... + { \frac{1}{n^{2}}} + ...

Bằng lý thuyết chuỗi số, ta đã biết rằng chuỗi \sum_{n=1}^{\infty} { \frac{1}{n^s}} hội tụ nếu s > 1 và phân kỳ nếu s < 1. Đặc biệt khi s = 2, 4, 6 và 8 thì tổng của chuỗi trên được biết đến với tên gọi là hàm Euler – Zeta.

Vậy Euler đã giải bài toán trên như thế nào?

Vào năm 1999, nhà Toán học Dunham Wiiliam đã đề cập rất chi tiết và cụ thể về lời giải tuyệt đẹp của Euler trong quyển sách có tựa đề Euler The Master of Us All do hội toán học Mỹ MAA phát hành.

Tuy nhiên, cả thế giới đều biết đến bài toán rất nổi tiếng này khi được Jakob Bernoulli giới thiệu từ năm 1689, mặc dù bài toán được Pietro Mengoli (1625 – 1686) đề cập đến đầu tiên vào năm 1644. Jakob Bernoulli không phải là người xa lạ, mà ông chính là anh trai của nhà Toán học Johann Bernoulli – người thầy thông thái của Euler. Và chính Johann Bernoulli là người đã giới thiệu các bài toán này cho Euler vào năm 1730. Vào thời điểm đó, bài toán này đã làm tốn rất nhiều công sức của các nhà Toán học đương đại, hệt như sự kỳ bí trong định lý cuối cùng của Fermat trước năm 1993.

Khi được thầy giới thiệu bài toán, Euler đã rất thích thú và ông bại bài toán là “nội suy của chuỗi số”.

Ban đầu, ông cố gắng sử dụng công thức tổng của cấp số nhân với cộng bội x:

1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n-1} = { \frac{1-x^{n}}{1-x}}

Sau đó, ông lấy tích phân hai vế. Khi đó, ở vế trái,ông thu được:

x + { \frac{x^{2}}{2}} +  { \frac{x^{3}}{3}} + { \frac{x^{4}}{4}} + ... + { \frac{x^{n}}{n}}

Cho x = 1 ta có được tổng riêng phần thứ n của chuỗi điều hòa:

\sum_{n=1}^{\infty} { \frac{1}{n}} = 1 + { \frac{1}{2}} + { \frac{1}{3}} + { \frac{1}{4}} + { \frac{1}{5}} + ... + { \frac{1}{n}} .

Còn ở vế phải ông thu được: \int { \frac{1-x^{n}}{1-x}} \, dx . Khi x= 1, ông đề xuất tích phân đó bằng \int_{0}^{1} { \frac{1-x^{n}}{1-x}} \, dx .

Do đó, Euler đã sử dụng tích phân trên như là kết quả của tổng riêng phần thứ n của chuỗi điều hòa, ngay cả khi n không phải là số nguyên.

Như vậy đến đây, ta có kết quả:

\int_{0}^{1} { \frac{1-x^{n}}{1-x}} \, dx = x + { \frac{x^{2}}{2}} +  { \frac{x^{3}}{3}} + { \frac{x^{4}}{4}} + ... + { \frac{x^{n}}{n}}

Ý tưởng tính tích phân tiếp tục được ông phát triển. Nếu chúng ta tiếp tục lấy tích phân, thì khi đó vế bên phải sẽ là:

{ \frac{x^{2}}{1.2}} +  { \frac{x^{3}}{2.3}} + { \frac{x^{4}}{3.4}} + ... + { \frac{x^{n}}{n.(n+1)}}

Ở đây, mẫu số là tích của hai số nguyên liên tiếp, không phải là bình phương như Euler mong muốn. Bài toán Basel dường như đi vào ngõ cụt. Thế nhưng, Euler đã tìm ra con đường để đưa đến phân thức mà ông mong muốn. Đầu tiên, ông chia hai vế cho x trước khi lấy tích phân. Bấy giờ, ông có được điều mong muốn:

\int {{ \frac{1}{x}}. {\int { \frac{1-x^{n}}{1-x}} \, dx}} \,dx = x + { \frac{x^{2}}{2.2}} + { \frac{x^{3}}{3.3}} + { \frac{x^{4}}{4.4}} + ... + { \frac{x^{n}}{n.n}}

Khi cho x = 1 thì ta có được tổng riêng phần thứ n của chuỗi Besel cần tìm.

Và khi đó, Euler không quan tâm và để ý lắm đến tích phân hai lớp chính vì thế ông ký hiệu kết quả của mình bằng công thức:

\int {{ \frac{1}{x}}. {\int { \frac{1-x^{n}}{1-x}} \, dx}} \,dx = 1 + { \frac{1}{4}} + { \frac{1}{9}} + { \frac{1}{16}} + ... + { \frac{1}{n^{2}}}

Tuy nhiên, ngày nay, với các kết quả có được về tích phân hai lớp, chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu của Toán học hiện đại cho kết quả trên như sau:

\int_{0}^{1} {{ \frac{1}{x}}. {\int_{0}^{x} { \frac{1-y^{n}}{1-y}} \, dy}} \,dx

Ý tưởng của ông là tính toán tích phân trên, rồi sau đó lấy giới hạn khi n tiến ra vô cùng. Tuy vậy, việc tính tích phân trên là khá khó khăn. Vậy mà, nhà Toán học tài ba này đã sử dụng kỹ thuật tính xấp xỉ một cách rất hoàn hảo để tìm ra kết quả của bài toán là 1.644924. Không những thế, ông đã nhận thấy rằng kết quả trên rất gần với giá trị \frac{{\pi}^{2}}{6}.

Ngày nay, kết quả này không quá xa lạ đối với nhiều người nhưng thời đó, với những kỹ năng tính toán của mình, nhà Toán học Euler quả là nhà tính toán không tưởng. Năm 1735, ông cho công bố kết quả của mình và ngay lập tức , cộng đồng Toán thế giới đều biết đến tên của nhà Toán học tài ba này.

Advertisements

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

Không có bình luận

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 731 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: