Bài giảng, Toán học

Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian n chiều

images2.jpg

Trong học phần đại số tuyến tính và giải tích hàm nhiều biến, chúng ta được biết: Quả cầu đơn vị trong không gian Rn được định nghĩa như là tập hợp tất cả các điểm (x1,…,xn) sao cho:

x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2} \le 1

Vậy thì, vấn đề đặt ra cho chúng ta là: thể tích của hình cầu đơn vị sẽ như thế nào khi số chiều thay đổi, hay nói cách khác: với các số chiều khác nhau thì giá trị thể tích của hình cầu đơn vị trong từng trường hợp sẽ được tính như thế nào? Chúng ta hãy quan sát một số trường hợp cụ thể:

images11Với n = 1, thể tích 1 chiều (chính xác là độ dài) của hình cầu đơn vị (đoạn [-1;1]) là 2.
Với n = 2, thể tích 2 chiều (chính xác là diện tích) của hình tròn đơn vị trong mặt phẳng bằng π.
Với n = 3, thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian 3 chiều R3 có giá trị bằng 4/3 Pi.
Và bằng phương pháp tính tích phân của hàm nhiều biến, “thể tích” của hình cầu đơn vị trong không gian 4 chiều R4 sẽ có kết quả bằng (Pi/2) * Pi.

Vậy khi số chiều tăng thì thể tích của hình cầu đơn vị sẽ như thế nào? Vậy nếu “nhìn” bài toán dưới “góc độ chuỗi số” thì liệu rằng thể tích của hình cầu có hội tụ đến một hằng số đủ lớn hay tiến ra vô cùng khi số chiều của không gian tiến về vô hạn?

Bằng trực giác, ta có thể nghĩ ngay rằng nếu số chiều càng ngày càng cao thì càng có nhiều và nhiều “room” trong quả cầu dơn vị, điều đó cho thấy thể tích của hình cầu sẽ tăng lên rất, rất nhiều. Và có lẽ là thể tích của chúng sẽ dần tiến ra vô hạn.

Câu trả lời đúng rất thú vị và khá ngạc nhiên bởi vì nó khẳng định rằng trực giác của chúng ta trong trường hợp này là không chính xác.Bằng cách sử dụng giải tích nhiều biến, các nhà Toán học đã đưa ra công thức tổng quát để tính thể tích hình cầu đơn vị (lưu ý bán kính hình cầu bằng 1) trong không gian Rn là:

V(n) = { \dfrac{{\pi} ^{ \dfrac{n}{2}}}{\Gamma(n/2 +1)}}

trong đó \Gamma() là hàm số Gamma là trường hợp tổng quát của hàm giai thừa (cụ thể, Gamma(z+1) = z!, với z là số tự nhiên).

Như vậy, khi n chẵn, n=2k, thì thể tích của hình cầu trng không gian n chiều cho bởi công thức trên sẽ là:

V(n) = Pik/k!.

Lúc này, với k đủ lớn thì k! tiến đến vô cùng nhanh hơn rất nhiều so với Pik, điều đó dẫn đến thể tích V(n) sẽ dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng!

Nghĩa là, trong không gian với số chiều cực, cực lớn, thì bạn chỉ có thể nhét 1 vật rất, rất nhỏ vào trong quả cầu đơn vị.

Vậy là trong không gian có số chiều cực lớn thì thể tích của quả cầu đơn vị sẽ nhỏ hơn thể tích quả cầu có cùng bán kính trong không gian có số chiều nhỏ. Quá thú vị phải không bạn !?

Advertisements

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

2 thoughts on “Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian n chiều

  1. Dựa vào hàm Gamma, em có thể tính x! với x \in R

    Số lượt thích

    Posted by 2Bo02B | 03/11/2009, 21:41
  2. Nếu n lẻ thì tính làm sao??? làm gì có (2,5)! ví dụ thế???

    Số lượt thích

    Posted by Trịnh Ngọc Hà | 03/11/2009, 17:23

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 742 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: