Bài giảng, Toán học

Bài toán sinh nhật…

Theo bạn thì cần có 1 nhóm gồm bao nhiêu người để xác suất có được 2 người trong cùng một nhóm có cùng ngày sinh nhật là 50%?

10? 20? 30? 60? 90?

Hay là một nửa số ngày của năm là 183 người? …

Nếu lớp học của bạn khá đông, bạn có thể tổ chức trò chơi để xác định xác suất để có 2 bạn có cùng ngày sinh. Tuy nhiên, đây chỉ là thú vui bởi nó không chứng minh được điều gì cả?

Vậy con số chính xác là bao nhiêu?

Thật ngạc nhiên, con số chính xác là bạn chỉ cần 1 nhóm có 23 người thì xác suất để có 2 bạn có cùng ngày sinh sẽ xấp xỉ 50%, nếu nhóm có 30 người thì xác suất lên đến 70%, và xác suất 90% cho nhóm có 41 người, nó sẽ tăng lên 95% nếu nhóm có 47 người. Đặc biệt, nếu nhóm có 57 người thì xác suất để có được 2 người có cùng ngày sinh nhật là gần như chắc chắc.


The Math Behind the Fact:
Most people find this result surprising because they are tempted to calculate the probability of a birthday match with one particular person. But the calculation should be done over all pairs of people. Here is a trick that makes the calculation easier.

To calculate the probability of a match, calculate the probability of no match and subtract from 1. But the probability of no match among n people is just

(365/365)(364/365)(363/365)(362/365)…((366-n)/365),

where the k-th term in the product arises from considering the probability that the k-th person in the group doesn’t have a birthday match with the (k-1) people before her.

If you want to do this calculation quickly, you can use an approximation: note that for i much smaller than 365, the term (1-i/365) can be approximated by EXP(-i/365). Hence, for n much smaller than 365, the probability of no match is close to

EXP( – SUMi=1 to (n-1) i/365) = EXP( – n(n-1)/(2*365)).

When n=23, this evaluates to 0.499998 for the probability of no match. The probability of at least one match is thus 1 minus this quantity.

For still more fun, if you know some probability: to find the probability that in a given set of n people there are exactly M matches, you can use a Poisson approximation. The Poisson distribution is usually used to model a random variable that counts a number of “rare events”, each independent and identically distributed and with average frequency lambda.

Here, the probability of a match in a given pair is 1/365. The matches can be considered to be approximately independent. The frequency lambda is the product of the number of pairs times the probability of a match in a pair: (n choose 2)/365. Then the approximate probability that there are exactly M matches is:

(lambda)M * EXP(-lambda) / M!

which gives the same formula as above when M=0 and n=-365.

Su, Francis E., et al. “Birthday Problem.” Mudd Math Fun Facts. <http://www.math.hmc.edu/funfacts&gt;.

Advertisements

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

One thought on “Bài toán sinh nhật…

  1. Interesting story, didn’t thought reading this was going to be so stunning when I read your url.

    Số lượt thích

    Posted by broloWals | 13/12/2009, 05:47

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 738 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: