Thảo luận về tích phân bội

Để lại phản hồi Go to comments

  1. Hieu
    25.12.2007 lúc 07:23 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi, em chuẩn bị thi toán A3 rồi, mấy nay có 1 bài toán giải hoài không ra, làm e rối trí lắm, thầy giúp e nha. Cho C là elip: \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1
    Tính tích phân đường:
    CODE: \int\limits_C {y(sinx+1) dx +(x-cosx)} \,dy

    • 2Bo02B
      25.12.2007 lúc 15:25 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Đường cong ở đây là elip, nếu dùng cách tham số hóa thì sẽ gặp dạng:
      I = \int {3sint . (sin(2cost) +1) dx + (2cost - cos(2cost))} \, dy
      Mà với tích phân có cos lồng trong sin, cos thì việc tính tích phân này sẽ tương đối phức tạp.
      Nếu em chú ý thì sẽ thấy tích phân này lấy theo đường cong kín. Giả sử lấy theo hướng dương. Lúc này, Tp đường cong kín lấy theo hướng dương thì em có thể sử dụng công thức Green. Ở đây P(x,y) = y.(sinx + 1) và Q(x,y) = x – cosx đều là những hàm sơ cấp nên chắc chắn liên tục và thỏa mãn điều kiện của công thức Green.
      Ta có: P_{y}^{'} = sinx +1 , Q_{x}^{'} = 1 + sinx
      Như vậy: I = \int\int\limits_D {({ \dfrac{{\partial}Q}{{\partial}x}} - { \dfrac{{\partial}P}{{\partial}y}} )} \, dxdy = 0
      Công thức Green giúp chúng ta giải quyết những bài tích phân mà hàm lấy tích phân khá phức tạp. Nếu đường cong không kín, ta có thể bổ sung thêm để có được đường cong kín, và với kỹ thuật này, nhiều bài tính phân đường nếu tích trực tạp sẽ khá khó, nhưng khi dùng công thức Green thì bài toán được giải quyết rất đẹp. Em nên xem lại phần công thức Green và định lý 4 mệnh đề tương đương nhé.

      Chúc em thành công

  2. quanghung
    14.01.2009 lúc 10:20 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy xem giùm em bài này em viết biểu thức đúng không ạ:
    tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt sau:
    z=0, y+z=0, x^2+ \dfrac{y^2}{4}=1
    giải :
    \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{\sqrt{4(1-x^2)}}dy \int_{0}^{-y}dz

    • 2Bo02B
      14.01.2009 lúc 21:27 | #4
      Trả lời | Trích dẫn

      Em chọn cận theo z thì đúng, nhưng chọn cận theo x, y thì chưa chính xác. Vì với công thức này, thì miền lấy tích phân chỉ xét với x dương, y dương chứ không phải là toàn bộ elip.
      Chính xác phải là: \int\limits_{-1}^1 \,dx \int\limits_{-\sqrt{4(1-x^2)}}^{\sqrt{4(1-x^2)}} \, dy \int\limits_0^{-y} \, dz
      Tuy nhiên, nếu em chú ý tính đối xứng thì miền lấy thể tích đối xứng qua Ox, Oy thì thể tích sẽ bằng 4 lần thể tích được xác định theo công thức của em.

  3. Nhung
    20.01.2009 lúc 10:23 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, giải giúp em bài này ạ: Tính thể tích hình trụ giới hạn bởi các mặt: x=0,x=1,y=-1,y=1,z=0,z=x^2+y^2

    • 2Bo02B
      20.01.2009 lúc 20:29 | #6
      Trả lời | Trích dẫn

      \int\limits_0^1 \, dx \int\limits_{-1}^1 \, dy \int\limits_0^{x^2+y^2} \,dz

  4. nga
    02.04.2009 lúc 20:19 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi cho em hỏi về tích phân mặt 1 chút: Khi nào thì mình biết là nên dùng công thức Ostrogradsky, khi nào không vậy thầy. Có mẹo nào để dùng k zậy thầy ?

    • 2Bo02B
      02.04.2009 lúc 21:21 | #8
      Trả lời | Trích dẫn

      Ta dùng công thức Ostrogradsky khi mặt S là mặt kín, các hàm P, Q ,R và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền V giới hạn bởi (S). Thường mặt nào kín, hướng ra ngoài thì ta dùng công thức Ostrogradski sẽ nhanh và đỡ phức tạp hơn so với cách chiếu trục tọa độ hoặc chuyển về tích phân mặt loại 1.
      Vậy nếu mặt không kín thì ta bổ sung cho nó kín, rồi trừ ra phần bổ sung. Còn nếu các hàm P,Q, R không thỏa điều kiện thì không thể dùng được.
      Ví dụ I = \int\int\limits_S x^2dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy với S là phía ngoài mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = a^2
      Nhận thấy S là phía ngoài mặt kín , P, Q, R là đa thức nêu thỏa mãn điều kiện Ostrogradski, như vậy dễ dàng chuyển tích phân mặt về tích phân 3 lớp mà khỏi cần chú ý hướng của vecto pháp tuyến. Khi đí:
      I = 2 \int\int\limits_{V}\int (x+y+z)dxdydz với V: x^2 + y^2 + z^2 \le a^2
      Dể dàng có tích phân này bằng 0.
      Lý do miền V đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ, x là hàm lẻ nên:
      \int\int\limits_{V}\int xdxdydz = 0
      Tương tự: \int\int\limits_{V}\int ydxdydz = \int\int\limits_{V}\int xdxdydz = 0
      Ví dụ I = \int\int\limits_S { \dfrac{dydz}{x}} + { \dfrac{dzdx}{y}} + { \dfrac{dxdy}{z}} với S là phía ngoài mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = a^2
      thì dù S là mặt kín nhưng các hàm P, Q, R và các hàm đạo hàm riêng không xác định tại x = y = z =0 nên không dùng Ostrogradski được.

  5. aloha
    18.06.2009 lúc 12:34 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi cho em hỏi về công thức đổi biến trong tích phân bội 2: khi nào thì mình sử dụng công thức đổi biến ạ và cách tìm điều kiện của biến mới thế nào ạ.

    • 2Bo02B
      18.06.2009 lúc 13:06 | #10
      Trả lời | Trích dẫn

      Ta sử dụng công thức đổi biến trong trường hợp:
      1. Tịnh tiến miền lấy tích phân.
      2. Miền D giới hạn bởi 2 cặp đường cong có cùng tính chất.
      Ví dụ: miền D giới hạn bởi: x + y = a ; x + y = b (b > a) ; x – y = c ; x – y = d (d > c) thì đặt u = x + y, v = x – y, ngay khi đặt ta sẽ thấy ngay điều kiện của u,v.
      Hoặc miền D giới hạn bởi y = ax^2 ; y = bx^2 ; y =cx ; y = dx. Như vậy có 1 cặp parabol và 1 cặp đường thẳng. Vậy đặt u = y/x^2 và v = y/x.
      Mục đích của việc đổi biến là nhằm biến 1 tứ giác cong thành miền hình chữ nhật để dễ dàng xác định cận của tich phân.
      Không nên thực hiện đổi biến khi miền D giới hạn bởi những đường cong bất kỳ không có cùng tính chất. Vì khi đó có khả năng nó sẽ biến miền D thành miền D’ rất phức tạp.

  6. Phạm Hà Nguyên
    28.09.2009 lúc 22:00 | #11
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, trong bài tập bài tiểu luận hàm Gamma và hàm Beta, em có được tra luôn giá trị của Gamma(3/4) và Gamma(5/4) không thầy?

    • 2Bo02B
      28.09.2009 lúc 22:08 | #12
      Trả lời | Trích dẫn

      Cái này thì em phải tính ra vì nó không phải giá trị đặc biệt.

  7. hai yen
    10.10.2009 lúc 23:38 | #13
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, giải giúp em bài này ạ: Tính thể tích vat the giới hạn bởi các mặt:y=0,z=0,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6.

  8. hai yen
    11.10.2009 lúc 21:49 | #14
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi,giải giúp em bài này với:tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y=0 và nhịp dầu tiên của cydiod:x=a(t-sint),y=a(1-cost)với t thuộc [0,pi].

    • 2Bo02B
      14.10.2009 lúc 21:06 | #15
      Trả lời | Trích dẫn

      Cho t = 0 thì x = 0, cho t = \pi thì x = \pi.a
      Miền D giới hạn bởi D = \{0 \le x \le {\pi}.a ; 0 \le y \le y(x) \}
      Khi đó: S(D) = \int\limits_0^{\pi.a} \, dx \int\limits_0^{y(x)} \, dy = \int\limits_0^{\pi.a} y(x) dx Khi đó chuyển về biến t, em sẽ có:
      \int\limits_0^{\pi} a(1-cost).a(1-cost) \, dt

  9. hai yen
    22.10.2009 lúc 22:12 | #16
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi,giải giúp em bài này ạ:tính diện tích phần mặt nón x^2=y^2+z^2 nằm trong mặt trụ x^2-y^2=a^2 và các mặt phẳng y=b và y=-b(a>0,b>0).bài này không cần chuyển qua tọa độ cực phải ko thầy? em cảm ơn thầy nhiều ạ!

    • moneynghia
      24.10.2009 lúc 11:03 | #17
      Trả lời | Trích dẫn

      bài này mình nghĩ thế này: nên đưa về về hàm x(y,z)sẽ dễ hơn, đồ thị của miền V được giới hạn bởi hai mặt phẳng y=+-b, 2 mặt cong hyperbol x = \pm \sqrt {y^2 + a^2 }
      đối xứng qua mặt phẳng yOz, đồng thời 2 mặt nón $ x = \pm \sqrt {y^2 + z^2 } $
      cũng đối xứng qua yOz, nên diện tích cần tính sẽ = 2 diện tích giới hạn trong miền x \ge 0
      thế pt x^2=y^2+a^2 vào pt x^2=y^2+z^2 ta có z = \pm a
      như thế miền D trên mp zOy sẽ là hình chữ nhật giới hạn bời y=+-b và z=+-a
      \begin{array}{l} I = 2\int\limits_{ - a}^a {dz\int\limits_{ - b}^b {\sqrt {1 + \dfrac{{z^2 }}{{z^2 + y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{z^2 + y^2 }}} } } dy \\ = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - a}^a {dz\int\limits_{ - b}^b {dy} } = 8\sqrt 2 ab \\ \end{array}
      có j xin thầy góp y thêm ạh

  1. No trackbacks yet.