Xác suất có điều kiện

Để lại phản hồi Go to comments

1. Định nghĩa:

Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A. Và kí hiệu là P(A/B).

Thí du: Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của ACB và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của ACB.

Giải: Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“. Ta cần tìm P(A/B).

Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên : P(A/B) = \dfrac{4}{9}

2. Công thức nhân xác suất

a. Công thức: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại:

P(A.B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)

Chứng minh: Giả sử phép thử có n kết quả cùng khả năng có thể xảy ra mA kết quả thuận lợi cho A, mB kết quả thuận lợi cho B. Vì A và B là hai biến cố bất kì, do đó nói chung sẽ có k kết quả thuận lợi cho cả A và B cùng đồng thời xảy ra. Theo định nghĩa cổ điển của xác suất ta có: P(A.B) = \dfrac{k}{n}; P(A) = \dfrac{m_A}{n}

Ta đi tính P(B/A).

Với điều kiện biến cố A đã xảy ra, nên số kết quả cùng khả năng của phép thử đối với biến B là mA, số kết quả thuận lợi cho B là k. Do đó:P(B/A) = \dfrac{k}{m_A}

Như vậy: P(A.B) = \dfrac{k}{n}= { \dfrac{m_A}{n}}.{ \dfrac{k}{m_A}} = P(A).P(B/A)

Vì vai trò của hai biến cố A và B như nhau. Bằng cách chứng minh tương tự ta được: P(A.B) = P(B).P(A/B)♦

(chứng minh trên được tham khảo từ giáo trình Xác suất thống kê của tác giả Hoàng Ngọc Nhậm – NXB Thống Kê)

Ví dụ:

1. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe BMW”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.

Giải: Gọi A là biến cố “nắp khoen đầu trúng thưởng”. B là biến cố “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”. C là biến cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”.

Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng. p(A) = 2/20

Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng. Do đó: p(B/A) = 1/19.

Từ đó ta có: p(C) = p(A). p(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053

2. Áo Việt Tiến trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Giải:

Gọi A là biến cố ” qua được lần kiểm tra đầu tiên”, B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2″, C là biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”

Thì: p(C) = p(A). p(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931

3. Lớp Lý 2 Sư Phạm có 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK, biết rằng sinh viên đó là nữ?

Giải:

Gọi A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”, B là biến cố gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK”, C là biến cố “gọi được sinh viên nữ đạt điểm giỏi”

Thì ta có: p(C) = P(B/A)

Do đó: p(C) = p(B/A) = \dfrac{p(AB)}{p(A)} = { \dfrac{11}{95}}.{ \dfrac{55}{95}} = { \dfrac{11}{55}} =0,2

b. Các định nghĩa về các biến cố độc lập:

* Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại.

* Ta có thể dùng khái niệm xác suất có điều kiện để định nghĩa các biến cố độc lập như sau:

Nếu P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A và B độc lập với nhau.

Trong trường hợp việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm cho xác suất xảy ra của biến cố kia thay đổi thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.

Thí dụ: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu. Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh“. Hiển nhiên P(A) = 5/9 . Quả cầu lấy ra được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh“, P(B) = 5/9. Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau.

Ta chú ý rằng: nếu A và B độc lập, thì A , {\overline{B}} hoặc {\overline{A}} , B hoặc {\overline{A}} , {\overline{B}} cũng độc lập với nhau.

Trong thực tế việc nhận biết tính độc lập, phụ thuộc, xung khắc của các biến cố. chủ yếu dựa vào trực giác.

* Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp hai biến cố bất kỳ trong n biến cố đó độc lập với nhau.

Thí dụ: Xét phép thử từng đồng xu 3 lần. Gọi Ai là biến cố: “được mặt sấp ở lần tung thứ i” (i = 1, 2, 3). Rõ ràng mỗi cặp hai trong 3 biến cố đó độc lập với nhau. Vậy A1, A2, A3 độc lập từng đôi.

* Định nghĩa 3: các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng phần nếu mỗi biến cố độc lập với tích của một tổng hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại.

Ta chú ý là các biến cố độc lập từng đội thì chưa chắc độc lập toàn phần. Điều kiện độc lập toàn phần mạnh hơn độc lập từng đôi.

c) Hệ quả: Từ định lý trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau đây:

Hệ quả 1:

Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A.B) = P(A).P(B).

Hệ quả 2:

Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của các biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tấc cả các biến cố trước đó đã xảy ra:

P(A_1.A_2 ... A_n) = P(A_1).P(A_2/A_1).P(A_3/A_1.A_2) ... P(A_n/A_{1}...A_{n-1})

Hệ quả 3:

Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích xác suất của các biến cố đó:

P(A1.A2 … An) = P(A1).P(A2) … P(An)

Trang: 1 2

  1. Lê Nga
    10.06.2009 lúc 07:56 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi giúp em bài này với
    1. Viết 5 con số 1,2,3,4,5 lên 5 quả cầu như nhau. Chọn hú hoạ liên tiếp ra 3 quả cầu và xếp theo thứ tự từ trái sang phải .Tìm xác suất để nhận được số chẵn.
    2. Một Công nhân trong công việc lắp ráp cần sử dụng đến ốc và vít. Anh ta có 2 hộp, một hộp ốc với tỷ lệ chính phẩm là 85%, một hộp vít với tỷ lệ chính phẩm 90%. Chọn ngẫu nhiên 1 ốc, 1vít, tìm khả năng anh ta nhận được bộ ốc vít tốt.
    em cảm ơn thầy nếu có thể thầy gửi vào hòm thư hộ em và thầy cho em xin số điện thoại của thầy được ko ạ.em mới biết trang web này thầy ạ, em cảm ơn thầy nhiều lắm.

    • Vũ Hoàng
      12.06.2009 lúc 21:59 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      1. Để chọn được số chẵn, đầu tiên bạn phải chọn được 3 thẻ trong đó có ít nhất 1 thẻ chẵn.
      Giai đoạn 1: chọn được 3 thẻ, có ít nhất 1 thẻ chẵn.
      Giai đoạn 2: xếp 3 thẻ để được số chẵn. Giai đoạn 2 xảy ra khi gđ 1 đã xảy ra.
      Vậy bài toán có mô hình XS đầy đủ.
      Giai đoạn 1:
      - TH1: Gọi A là biến cố trong 3 thẻ có 1 thẻ chẵn.
      Ta có: P(A) = \dfrac{C_2^1.C_3^2}{C_5^3} = \dfrac{3}{5}
      - TH2: Gọi B là biến cố trong 3 thẻ có 2 thẻ chẵn.
      Ta có: P(B) = \dfrac{C_2^2.C_3^1}{C_5^3} = \dfrac{3}{10}
      Giai đoạn 2: xếp 3 thẻ vừa chọn thành 1 số có 3 chữ số và được 1 số chẵn.
      Gọi C là biến cố được 1 số chẵn. C xảy ra khi A hoặc B đã xảy ra.
      Trước tiên, với 3 thẻ ta có 3! cách tạo ra số có 3 chữ số.
      Sau đó, để được số chẵn thì phải chọn số chẵn cho hàng đơn vị trước, rồi 2 vị trí còn lại chọn tùy ý.
      Vậy P(C/A) = \dfrac{1.2!}{3!} = \dfrac{1}{3} ; P(C/B) = \dfrac{C_2^1.2!}{3!} = \dfrac{2}{3}
      Do đó: xác suất cần tìm là:
      P(C) = P(A).P(C/A) + P(B).P(C/B) = \dfrac{2}{5} = 0.4

    • Vũ Hoàng
      12.06.2009 lúc 22:00 | #3
      Trả lời | Trích dẫn

      2. Để có bộ ốc vít tốt, anh ta phải chọn được ốc tốt và vít tốt. Vậy xác suất mà bạn cần tìm là: 0.85*0.9 = 0.765

  2. Lê Nga
    15.06.2009 lúc 07:49 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    cam on ban Vu Hoang nhe

  3. hngh2009
    30.06.2009 lúc 16:59 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    Em có một bài tập sau , nhờ quý bạn giúp :
    Cho biết P(A) = P(B) = 1 , chứng minh rằng : P(A \cap B) = P(A \cup B) = 1 .
    cách giải 1 : Vì P(A) = 1 nên P(AB) = P(B). Mà theo giả thiết P(B) =1 vậy P(AB) = 1. Do đó P(A \cup B) = PA + PB – P(AB) = 1+1-1 = 1.
    Cách giải 2 : Vì P(A) = 1 nên A = \Omega . Tương tự : Vì P(B) = 1 nên B = \Omega .
    Suy ra AB = \Omega , P(AB) = p( \Omega ) = 1. Do đó P(A \cup B) = PA + PB – P(AB) = 1+1-1 = 1.
    Cả hai cách giải trên đều chưa hoàn chỉnh. Theo cách giải của các bạn thì sao ?

  4. Ngoc anh
    21.07.2009 lúc 15:44 | #6
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy giải giúp em bài này với. Tỷ lệ phế phẩm của một loại sp là 5%, ktra ngẫu nhiên 100sp.
    a, tìm xác suất để trong đó có không quá 5 phế phẩm
    b, với xác suất 0.95 thì trong số các sản phẩm được ktra có ít nhất bao nhiêu chính phẩm?

    • Hong Nhan
      17.09.2009 lúc 23:33 | #7
      Trả lời | Trích dẫn

      Câu a:
      Goi A=trong 100 sp co ko quá 5 phe pham
      B(i)=trong 100 sp co i phế phẩm ( i=0,5)
      P(A) = P(B(0)).P(A/B(0)) + P(B(1)).P(A/B(1) + P(B(2)).P(A/B(2) + P(B(3)).P(A/B(3))
      + P(B(4)).P(A/B(4) + P(B(5)).P(A/B(5)
      Sau đó bạn thế số vào công thức là ra

      • 2Bo02B
        18.09.2009 lúc 15:20 | #8
        Trả lời | Trích dẫn

        Cái này không thể dùng công thức xác suất đầy đủ em à. Đây là mô hình bài toán Bernoulli, XS để 1 sp là pp là 0,05, ko phải PP là 0,95. Kiểm tra 100 sp, XS để có i pp là:
        C_{100}^{i}(0.05)^i(0.95)^{100 - i} nhưng nếu dùng công thức này không thể tính ra vì lũy thừa quá lớn. Khi đó người ta phải tính xấp xỉ dựa vào công thức:
        P[a \le X \le b] = \varphi\left(\dfrac{b-np}{\sqrt{npq}} \right) - \varphi\left(\dfrac{a-np}{\sqrt{npq}} \right)

  5. nguyen cuong
    24.09.2009 lúc 22:12 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, giải giúp em bài này với: Có 4 bi đỏ và 2 bi trắng bỏ vào cùng 1 cái hộp. 2 sinh viên lấy mỗi người 1 bi và chỉ được lấy 1 lần duy nhất. CmR khả năng lấy bi đỏ của 2 người là như nhau (ai lấ trước cũng được)

    • 2Bo02B
      24.09.2009 lúc 22:56 | #10
      Trả lời | Trích dẫn

      Gọi Ai là biến cố người thứ i lấy được bi đỏ. Ycbt tương đương với chứng minh P(A1) = P(A2).
      Dễ dàng thấy được: P(A1) = 4/6 = 2/3
      Người thứ 2 lấy được bi đỏ trong 2 trường hợp: trường hợp 1 người thứ nhất lấy được bi đỏ hoặc trường hợp 2 người thứ nhất lấ được bi xanh.
      Do người thứ nhất khi lấy bi chỉ có 2 khả năng xảy ra: hoặc lấy được bi đỏ (xác suất bằng 2/3) hoặc lấy được bi xanh (1/3) nên 2 biến cố này là xung khắc. Nghĩa là: P(\overline{A_1}) là XS người thứ nhất lấy được bi xanh.
      Vậy xác suất P(A2) là xs có điều kiện phụ thuộc vào P(A_1) hoặc P(\overline{A_1})
      Do đó: P(A_2) = P(A_1).P(A_2/A_1) + P(\overline{A_1}).P(A_2/{\overline{A_1}})
      Từ đó, em cũng tính được P(A2) = 2/3

  6. thuynguyen
    25.09.2009 lúc 00:01 | #11
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi,cho e hỏi bài này với ah.
    “Có hai cái tủ nhỏ A và B có hình dáng giống hệt nhau, mỗi tủ gồm hai ngăn kéo. Mỗi ngăn ở tủ A chứa một đồng xu bằng bạc. Trong tủ B một ngăn chứa một đồng xu bằng bạc, một ngăn chứa đồng xu bằng vàng. Chọn ngẫu nhiên một chiếc tủ, mở một ngăn trong chiếc tủ này và thấy chứa đồng xu bằng bạc. Tính xác suất để cũng tìm thấy đồng xu bằng bạc trong ngăn còn lại của chiếc tủ được chọn?” có phải bằng 0.5 ko thầy?

    • 2Bo02B
      26.09.2009 lúc 10:33 | #12
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài toán này có các yếu tố cần quan tâm, mở ngăn kéo thứ hai khi biết ngăn kéo 1 đã mở từ tủ được chọn.
      Như vậy, dầu tiên là chọn tủ, sau đó là mở ngăn kéo thứ nhất của tủ được chọn thì được đồng xu bạc, bây giờ mở tiếp ngăn kéo thứ 2. Liệu bạc hay vàng.
      Có biến cố tủ được chọn. Ai là tủ thứ i được chọn (i = 1, 2)
      B là biến cố mở lần 1 được xu bạc , C là biến cố mở lần 2 được xu bạc. Vậy C phụ thuộc B và B lại phụ thuộc Ai.
      Nên: P(C) = P(A1).P(B/A1).P(C/A1B) + P(A2).P(B/A2).P(C/A2B)

    • 2Bo02B
      26.09.2009 lúc 10:38 | #13
      Trả lời | Trích dẫn

      Mẹo: chọn tủ A thì chắc chắn lần 2 được xu bạc, còn chọn tủ B chắc chắn lần 2 được xu vàng. Như vậy là 5 ăn, 5 thua, được ăn cả, ngã về không. Nên thắng hay thua là phụ thuộc bước đầu tiên chọn tủ, mà A, B như nhau nên xác suất tủ nào được chọn cũng bằng nhau. Do đó, xác suất sẽ là 50/50.

  7. Trần Văn Minh
    26.09.2009 lúc 10:23 | #14
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy cho em hỏi:
    2 người thợ có xác suất may áo tốt là 0.8 và 0.6
    Chọn ngẫu nhiên 1 người sao cho may 6 áo thì có đúng 5 áo tốt
    Tìm xác suất để người đó may tiếp 6 áo nữa thì cũng có đúng 5 áo tốt

  8. nguyễn văn anh
    01.10.2009 lúc 16:59 | #15
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy cho em hỏi:
    một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. người một lấy ngẫu nhiên 2 viên. người hai lấy ngẫu nhiên 2 viên thì được 1 trắng một đỏ. tìm xác suất người một lấy được ít nhất 1 bi trắng.
    em thấy nếu người hai đã lấy 1 trắng 1 đỏ thì người một không thể nào lấy 2 viên đó nên em coi như người hai lấy trước và chỉ tính xác suất người một lấy ít nhất một viên bi đỏ trong 8 viên còn lại(5 trắng và 3 đỏ).
    em thấy cách này cho kết quả đúng, giống như cách dùng xác suất đầy đủ và công thức bay-et nhưng không rõ liệu có được áp dụng để làm bài thi không. mong thầy giải thích kĩ cho em

  9. Dieu
    18.10.2009 lúc 10:25 | #16
    Trả lời | Trích dẫn

    Thay giup em bai nay voi. Chon mot gia dinh trong cac gia dinh co hai con. Tinh xac suat de gia dinh duoc chon co 2 con gai. Biet cac gia dinh co it nhat mot con gai

  10. Nghia
    21.10.2009 lúc 13:52 | #17
    Trả lời | Trích dẫn

    có 2 kiện hàng . Kiện hàng thứ nhất có 12 sản phẩm trong đó có 4 sản phẩm loại A. Kiện hàng thứ 2 có 8 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm loại A. Lấy 2 sản phẩm từ kiện hàng thứ nhất bỏ sang kiện hàng thứ 2. Từ kiện hàng thứ hai lấy ra 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm được lấy ra từ kiện hàng thứ 2. lập bảng phân phối xác suất của X.

    • moneynghia
      22.10.2009 lúc 09:58 | #18
      Trả lời | Trích dẫn

      gọi Y là số sản phẩm lọai A lấy ra dc từ kiện hàng 1 (Y: 0 –> 2)
      P(Y=0) = 14/33; P(Y=1) = 16/33; P(Y=2) = 1/11
      X là số sp lọai A trong 3sp lấy ra (X: 0 –> 3), đây là bài tóan vectơ ngẩu nhiên với X phụ thuộc vào Y với phân phối có điều kiện Y đã xảy ra rồi.
      vậy có 3 bảng pp của X ứng với 3 giá trị của Y
      -P(Y=0) = 14/33
      P(X=0) = 7/24, P(X=1) = 21/40, P(X=2) = 7/40, P(X=3) = 1/120
      -P(Y=1) = 16/33
      P(X=0) = 1/6, P(X=1) = 1/2, P(X=2) = 3/10, P(X=3) = 1/30
      -P(Y=2) = 1/11
      P(X=0) = 1/12, P(X=1) = 5/12, P(X=2) = 5/12, P(X=3) = 1/12

  11. Hoa tran
    12.11.2009 lúc 09:06 | #19
    Trả lời | Trích dẫn

    thua thay, thay co the giup em tra loi cau hoi nay k a.
    hay so sanh su khac nhau giua doc lap tung doi va doc lap toan phan.
    e cam on thay!

Comment pages
  1. No trackbacks yet.