Ước lượng tham số của tổng thể

Để lại phản hồi Go to comments

(Nội dung phần này được trích từ giáo trình XSTK của Dự án Đào tạo giáo viên THCS – tác giả Nguyễn Đình Hiển – NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội)

Sau khi lấy mẫu và tính một số thống kê ta phải dùng các thống kê để ước lượng các tham số của tổng thể. Có 2 cách tiếp cận:

1. Ước lượng điểm: Giả sử tổng thể có tham số Θ, sau khi khảo sát mẫu ta tính được các thống kê, dựa vào các thống kê để đưa ra 1 số T thay thế Θ gọi là ước lượng điểm của Θ.

  • Không chệch: hiểu 1 cách đơn giản là ước lượng không chứa sai số hệ thống, tức là không thiên về phía đưa ra các giá trị bé hơn Θ hoặc không thiên về phía đưa ra các giá trị lớn hơn Θ.
  • Hiệu quả: trong các ước lượng có cùng tính chất, chọn ước lượng có phương sai nhỏ nhất.
  • Vững: khi tăng dung lượng mẫu n lên vô hạn thì ước lượng sẽ dần đến Θ (dần đến theo xác suất).
  • Chắc hay bền: không thay đổi nhiều khi trong mẫu có các số liệu quá nhỏ hay quá lớn.

Nếu không thể chọn ước lượng tốt trên mọi phương diện thì, tùy theo mục đích, có thể chọn ước lượng thỏa mãn 1 số tiêu chuẩn trong rất nhiều tiêu chuẩn đưa ra.

Ví dụ:

  • Khi có phân phối chuẩn N(μ;σ2) thì ước lượng trên nhiều mặt là trung bình cộng và phương sai mẫu σ2
  • Khi có phân phối nhị thức B(n,p) thì ước lượng tốt của tham số p là tần suất.

2. Ước lượng khoảng: Đây là cách tiếp cận có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học đòi hỏi phải thường xuyên xử lí số liệu như sinh học, y học, hóa học, kinh tế… Theo cách tiếp cận này sau khi tính các thống kê của mẫu quan sát, ta đưa ra khoảng [a;b] chứa tham số Θ . Cận dưới a và cận trên b tính theo 1 quy tắc cụ thể dựa trên các thống kê và dựa trên mức độ tin cậy P.

Sau khi chọn mẫu, ta đưa ra khoảng tin cậy [a; b], nếu Θ ở trong [a; b] thì khoảng tin cậy đưa ra đúng, nếu Θ  ở ngoài khoảng [a; b], thì khoảng tin cậy đưa ra sai. Như vậy mỗi khoảng tin cậy chỉ có thể đúng hoặc sai, xác suất đúng là P, xác suất sai a = 1 – P, hiểu đơn giản là nếu tính khoảng tin cậy theo quy tắc đã đưa ra thì trung bình trong 100 trường hợp, P.100 trường hợp có khoảng tin cậy đúng.

Không đi sâu vào lý thuyết, ta đưa ra quy tắc ước lượng tham số cho ba trường hợp:

2.1. Ước lượng kỳ vọng μ của phân phối chuẩn khi biết phương sai σ2

Các bước cần làm để ước lượng μ:

+ Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng \overline{x} . Chọn mức tin cậy γ (α = 1 - γ gọi là mức sai cho phép hay mức ý nghĩa).

+ Dùng bảng tích phân hàm Laplace \varphi (x) = \dfrac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^x {e^{ - \dfrac{{t^2 }}{2}} dt} để tính giá trị tới hạn u \left( \dfrac{\gamma}{2} \right) , tức là giá trị u sao cho:\varphi(u) = { \dfrac{\gamma}{2}}

+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:

\overline{x} - u \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) { \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le \mu \le \overline{x} + u \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) { \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}   (1)

Lưu ý: nếu hàm phân phối chuẩn là \varphi (x) = \dfrac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{\infty}^x {e^{ - \dfrac{{t^2 }}{2}} dt} thì tính u \left( \dfrac{\alpha}{2} \right) , tức là giá trị u sao cho: \varphi(u) = 1- { \dfrac{\alpha}{2}}   . Giá trị này ở 1 số sách còn được cho bởi bảng phân vị chuẩn u_{\gamma}

Ví dụ: Cân 36 con gà được trọng lượng trung bình \overline{x} = 2,6 kg . Hãy ước lượng kỳ vọng μ ở mức tin cậy 99% nếu trọng lượng gà phân phối chuẩn N(μ; 0,09)

Giải:

Với mức tin cậy 99%: { \dfrac{\gamma}{2}} = 0,495; u(0,495) = 2,575 \left( \varphi(2,575) = 0,495 \right); \mu = 0,3

(Hoặc: \gamma = 0,99 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2} = 0,005; Tra bảng phân vị chuẩn u_{\gamma}: u(0,995) = 2.575

Ta có khoảng ước lượng trung bình:

2,6 - 2,575{ \dfrac{0,3}{\sqrt{36}}} \le \mu \le 2,6 + 2,575{ \dfrac{0,3}{\sqrt{36}}}

Hay:2,471 \le \mu \le 2,729

Ví dụ 2: Phân tích vitamin C của 17 mẫu được \overline{x} = 20mg . Với mức tin cậy 95%, hạy ước lượng kỳ vọng μ nếu lượng vitamin phân phối chuẩn N(μ;σ2) với σ = 3,98 mg

Với mức tin cậy 95%:

\dfrac{\gamma}{2} = 0,475; u(0,475) = 1,96 \left( \varphi(1,96) = 0,475 \right ); \mu = 3,98

(Hoặc: \gamma = 0,95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2} = 0,025 Tra bảng phân vị chuẩn u_{\gamma}: u(0,025) = 1.96

Khi đó khoảng ước lượng hàm lượng vitamin trung bình là:

20 - 1,96{ \dfrac{3,98}{\sqrt{17}}} \le \mu \le 20 + 1,96{ \dfrac{3,98}{\sqrt {17}}}

Hay:18,110 \le \mu \le 21,892

2. Ước lượng kỳ vọng của phân phối chuẩn khi không biết phương sai:

TH1: Khi n đủ lớn (n > 30): thay σ ở công thức (1) bằng độ lệch chuẩn hiệu chỉnh s.

TH2: Khi n < 30

Các bước cần làm để ước lượng m:

+ Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng \overline{x} . Tính phương sai mẫu \hat{s}^2

+ Dùng bảng phân phối Student, tính giá trị tới hạn t(n-1; \alpha) , tức là giá trị t ở cột α, dòng n – 1

+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:

\overline{x} - t(n-1; \alpha){ \dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}} \le \mu \le \overline{x} + t(n-1; \alpha){ \dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}} (2)

Ví dụ: Để ước lượng năng suất một giống ngô, người ta theo dõi 25 mảnh ruộng. Sau khi thu hoạch được \overline{x} = 10,6; \hat{s} = 2,082 (đơn vị tạ/ha). Giả thiết năng suất ngô phân phối chuẩn. Mức tin cậy P = 0,95.

Ta có: \alpha = 0,05 ; n -1 = 24 . Tra bảng phân phối Student ta được: t(24; 0,05) = 2,064

Vậy khoảng ước lượng năng suất trung bình của giống ngô:

10,6 - 2,064{ \dfrac{2,082}{\sqrt{25}}} \le \mu \le 10,6 + 2,064{ \dfrac{2,082}{\sqrt{25}}}

Hay:9,741 \le \mu \le 11,459

3. Ước lượng xác suất p của phân phối nhị thức:

Một tổng thể gồm 2 loại cá thể A , \overline{A} với số lượng rất lớn, tỉ lệ loại A là p (chưa biết). Lấy ngẫu nhiên 1 cá thể, có thể coi xác suất được các thể loại A là p. Lấy ngẫu nhiên n cá thể, trong đó có m cá thể loại A.

Nếu n lớn (n > 100):

+ Lấy mẫu kích thước n, đếm tần số (m) xuất hiện cá thể loại A, tính tần suất f = \dfrac{m}{n}

+ Dùng bảng tích phân hàm Laplace \varphi (x) = \dfrac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^x {e^{ - \dfrac{{t^2 }}{2}} dt} để tính giá trị tới hạn u \left( \dfrac{\gamma}{2} \right) , tức là giá trị u sao cho:\varphi(u) = { \dfrac{\gamma}{2}}

+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:

\overline{x} - u \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) {\sqrt{ \dfrac{f(1-f)}{n}}} \le \mu \le \overline{x} + u \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) {\sqrt{ \dfrac{f(1-f)}{n}}} (3)

4. Tính kích thước mẫu khi ước lượng trung bình:

Theo (1), nửa chiều dài khoảng ước lượng:L = u \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) { \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} . Nếu muốn ước lượng đạt độ chính xác ε thì phải lấy L ≤ ε. Từ đó:n \ge u^2 \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) { \dfrac{{\sigma}^2}{{\epsilon}^2}}

5. Tính kích thước mẫu khi ước lượng xác suất p:

Theo (3), nửa chiều dài khoảng ước lượng  L = u \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) {\sqrt{ \dfrac{f(1-f)}{n}}} . Từ đó: n \ge u^2 \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) { \dfrac{f(1-f)}{{\epsilon}^2}} . Hay: n \ge u^2 \left( { \dfrac{\gamma}{2}} \right) { \dfrac{1}{4{\epsilon}^2}} dof(1-f) \le \dfrac{1}{4}

  1. noname
    09.12.2008 lúc 23:19 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Thu 2 roi em cung vai ban thi thong ke khong duoc. thay co the cho tui em them 1 co hoi cuoi khong . EM mong reply cua thay.

  2. mai anh
    13.12.2008 lúc 22:04 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    Em muốn hỏi tài liệu về uớc luợng vững: điều kiện để s bình phuơng là ULV của xích ma bình phuơng. Mong thầy giúp em ah. Cảm ơn thầy nhiều! À, cho em hỏi cách chứng minh luôn nha Thầy

  3. Anh Duy
    23.12.2008 lúc 21:27 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    E chào thầy!
    Thầy có thể cho em hỏi trong trường hợp n>100 thì ta phải làm sao để ước lượng phương sai của tổng thể.
    E có bài toán như sau,mong thầy chỉ bảo:
    Hãy ước lượng phương sai của tuổi thọ của một đoạn thiết bị điện tử với độ tin cậy 95%, biết rằng từ một mẫu gồm 200 thiết bị loại này ta tính được độ lệch chuẩn mẫu là s = 100(h).
    Cảm ơn thầy!

  4. Dang Minh Thanh
    17.03.2009 lúc 22:00 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    Em chào Thầy!! Thầy có thể cho hỏi hỏi bài toán này không?
    Tỷ lệ nảy mầm của 1 loại hạt giống là 90%. Cần ước lượng tỷ lệ nảy mầm của loại hạt giống đó với độ tin cậy là 95% và độ dài khoảng tin cậy không quá 0.02 thì phải gieo ít nhất bao nhiêu hạt giống.
    Em cảm ơn Thầy nhiều

  5. emratngoan
    18.03.2009 lúc 16:55 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    \begin{array}{l} p^ \wedge = 0.9 \\ 1 - \alpha = 0.95 = > \alpha = 0.05 \\ = > \phi (x_\alpha ) = 0.475 = > x_\alpha = 1.96 \\ \varepsilon = x_\alpha *\sqrt { \dfrac{{p^ \wedge (1 - p^ \wedge )}}{n}} = \dfrac{{0.588}}{{\sqrt n }} \\ \\ \end{array}

    Cận dưới : \theta _1^* = p^ \wedge - \varepsilon

    Cận trên : \theta _2^* = p^ \wedge + \varepsilon

    Độ dài khoảng tin cậy : \begin{array}{l} \theta _2^* - \theta _1^* = p^ \wedge + \varepsilon - (p^ \wedge - \varepsilon ) = 2\varepsilon = \dfrac{{1.176}}{{\sqrt n }} \le 0.02 \\ = > \sqrt n \ge 58.8 = > n = 3458 = > \varepsilon = 0.0017 \\ \end{array}

    Suy ra: Cận dưới : \theta _1^* = 0.8983 ; Cận trên : \theta _2^* = 0.9017

    Vậy tỷ lệ nảy mầm của hạt giống đó nằm trong khoảng ( 0.8983;0.9017). Thầy xem lại giúp em thầy nhé !

    • Vũ Hoàng
      18.03.2009 lúc 17:07 | #6
      Trả lời | Trích dẫn

      Hi, bạn emratngoan,
      Theo mình, bạn giải đúng rùi đó. Nhưng mà người ta hỏi cần gieo bao nhiêu hạt mừ. Vậy đáp số phải là: 3458 hạt. Bạn xem lại xem.

  6. emratngoan
    18.03.2009 lúc 20:55 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    uh` nhỉ , vậy là mình giải dư rồi , phần sau ko cần, cám ơn bạn nhé !

  7. ssm
    31.03.2009 lúc 08:23 | #8
    Trả lời | Trích dẫn

    thưa thầy , em có câu hỏi về ước lượng điểm mà ko bít trình bày ntn?
    rút ra 1 mẫu kích thước n từ tổng thể trung bình có trung bình là 1.065 và độ lệch chuẩn là 500 Tìm kỳ vọng toán và phương sai trung bình mẫu

  8. linh
    05.06.2009 lúc 22:31 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi, cho em hỏi ạh…
    …để kiểm tra chất lượng sx 1 loại chi tiết máy donhà máy A sx, người ta chọnngẫu nhiên 400 chi tiết máy và đo chiều dài, kq cho theo bảng. em đã tính đc (x ngang)= 108.125 mm , s=2.702 . giả sử chiều dài chi tiết máy là biến chuẩn N(a,σ). tìm khaỏng tin cậy của độ dài trugn bình của toàn bộ chi tiết máy trong 1 kho hàng có 10^6 chi tiết máy của nhà máy đó với độ tin cậy 0.95 . họ cho số 10^6 đó để làm gì vậy ạ? có sử dụng đến nó ko? mong thầy trả lời sớm.
    e cảm ơn thầy ạh.

  9. an
    08.06.2009 lúc 12:43 | #10
    Trả lời | Trích dẫn

    cảm ơn thầy về tài liệu này. chúc thầy may mắn

  10. HERB
    04.07.2009 lúc 22:18 | #11
    Trả lời | Trích dẫn

    “Gọi X là trọng lượng của con gà công nghiệp bốn tháng tuổi (đơn vị kg). Giả sử X~N(3.4;(0.26)^2)
    a) tính tỉ lệ gà có trọng lượng từ 3kg cho đến 3.5kg của đàn gà
    b) Xuất chuồng ngẫu nhiên 80 con. Có bao nhiêu con trọng lượng từ 3kg cho đến 3.5kg là có khả năng nhất?”
    NHỜ THẦY VÀ MỌI NGƯỜI GIẢI DÙM EM BÀI TOÁN NẦY VỚI.
    EM XIN CẢM ƠN MỌI NGƯỜI NHIỀU.

  11. tram
    19.11.2009 lúc 13:41 | #12
    Trả lời | Trích dẫn

    em muon hoi sai so khi uoc luong la dai luong gi`

  1. No trackbacks yet.