Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc

Để làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất ta sẽ xuất phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cơ sở xây dựng những lược đồ khác nhau, từ đó đi đến các quy luật phân phối xác suất tương ứng với mỗi lược đồ.

Giả sử một tập hợp N phần tử. Trong đó có M phân tử mang tính chất B nào đó, còn N-M phần tử không mang tính chất B. Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu nhiên từ tập hợp ra một phần tử. Theo những cách lấy khác nhau sẽ dẫn đến những lược đồ khác nhau và các quy luật phân phối xác suất khác nhau.

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số quy luật phân phối xác suất thường gặp nhất đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. Điều đó làm cho việc phân loại các đại lượng ngẫu nhiên trong thực tế theo các quy luật phân phối xác suất được dễ dàng hơn.

4.1. Quy luật nhị thức B(n, p)

a) Bài toán:

Từ tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất B nào đó, còn N-M phần tử không có tính chất B, ta lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n phần tử. Nếu lấy theo phương thức này thì n phép thử nói trên sẽ độc lập với nhau vì việc lấy được phần tử có tính chất B, hay không có tính chất B trong mỗi lần lấy không ảnh hưởng đến khả năng lấy được phần tử có tính chất B hay không có tính chất B ở các lần lấy khác. Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 trường hợp đối lập xảy ra. Hoặc biến cố A xảy ra (lấy được phấn tử có tính chất B) hoặc biến cố A không xảy ra (lấy được phần tử không có tính chất B).

Xác suất cho biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p = \dfrac{M}{N} xác suất cho biến cố A không xảy ra cũng đều bằng\dfrac{N-M}{N} = 1 - p

Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử, thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể có 0, 1, 2, …, n. Như đã chứng minh ở chương II, xác suất để X nhận các giá trị tương ứng được tính bằng công thức Bernoulli:

P_x = P(X = x) = C_{n}^{x}{p^x}{(1-p)^{n-x}} (x = 0, 1, 2, ..., n) (1)

b) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có (x = 0, 1, …, n;) với các xác suất tương ứng được tính theo công thức (1) gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số là n và p. Quy luật nhị thức được ký hiệu là B(n, p)

Nói cách khác, phân phối nhị thức gắn liền với việc lặp lại n lần một phép thử có hai sự kiện đối lập (thành công và thất bại; xảy ra và không xảy ra) với X là số lần thành công. Việc lặp lại ở đây có nghĩa là dãy phép thử được tiến hành trong cùng điều kiện và độc lập với nhau.

Như vậy bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức có dạng:

\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & { \dots} & n \\ \hline P_x & {C_{n}^{0}{p^0}{q^n}} & {C_{n}^{1}{p^1}{q^{n-1}}} & {C_{n}^{2}{p^2}{q^{n-2}}} & {C_{n}^{3}{p^3}{q^{n-3}}} & { \dots} & {C_{n}^{n}{p^n}{q^{0}}} \\ \end{array}

Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức (ký hiệu là X ~ B(n, p)) nhận giá trị trong khoảng [x, x + h] (với h nguyên dương và h ≤ n – x). Khi đó ta có thể tính xác suất này theo công thức:

P(x \le X \le x + h) = P_x + P_{x+1} + ... + P_{x+h} (2)

Trong đó: P_x, P_{x+1},  P_{x+h} được tính theo công thức (1).

Thật vậy biến cố (x ≤ X ≤ x + h) có thể tách thành tổng của h +1 biến cố xung khắc từng đôi là (X = x), (X = x +1), …, (X = x + h); do đó áp dụng định lý cộng xác suất với các biến cố đó ta có:

P(x \le X \le x + h) \\ = P(X = x) + P(X = x +1) + ... + P(X = x + h) \\ = P_{x} + P_{x+1} + ... + P_{x+h} (3)

Ví dụ 1:Gieo 4 hạt đậu, xác suất để 1 hạt cho cây ra hoa vàng là 0.75, ra hoa trắng là 0.25. Số cây đậu ra hoa vàng X có phân phối nhị thức B(4;0.75)

Ta có:

\begin{array}{c | c c c c c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & {0.25^4} & {4.0.75.0.25^3} & 6.{0.75}^2{0.25}^2 & {4.(0.75)^{3}.0.25} & {0.75^4} \\ \end{array}

Ví dụ 2: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.

b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.

Giải:

Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử, ta có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng hoặc không. Xác suất hỏng của mỗi máy đều bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày thì X phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là X ~ B(5; 0,1)).

Do đó xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng là xác suất để X = 2. Theo công thức (3.2) ta có:

P(X = 2) = C_{5}^2(0,1)^2(0,9)^3 = 0,0729

Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng là xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [0, 2]. Theo công thức (3.3) ta có:

P(0 \le X \le 2) = P_{0} + P_{1} + P_{2}

P_0 =  C_5^0.(0,1)^0(0,9)^5 = 0,59049

P_1 = C_5^1(0,1)^1(0,9)^4 = 0,32805

Vậy: P(0 ≤ X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144

Thảo luận

43 thoughts on “Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc

  1. lô hàng gồm 5 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại 1. Hai người A và B thay phiên nhau A lấy trước 1 sản phẩm rồi B lấy 1 sản phẩm. Mỗi người thay phiên nhau lấy đến khi được sản phẩm loại 1 thì dừng. Gọi X1 vs X2 lần lượt là số sản phẩm do A và B lấy được.
    a, Tìm luật phân phối của X1, X2
    b, Tìm luật phân phối của Z=X1.X2

    Like

    Posted by rua | 11/11/2013, 11:47
  2. còn bt này nữa giúp em với :
    có hai người chơi cờ cho đến khi dành được thắng lợi thì thôi. trong đó điều kiện để đối thủ 1 thắng là phải thắng 3 ván và đối thủ 2 thắng là phải thắng 4 ván ( ko có hòa). biết rằng xác suất thắng mỗi ván của đối thủ 1 là p và của đối thủ 2 là q=1-p. tìm xác suất sao cho thắng lợi thuộc về đối thủ 1.
    em sắp kiểm tra rùi mà thấy bt khó quá à!hu.help me!hic

    Like

    Posted by tran tinh | 23/02/2012, 22:06
    • chia trường hợp người 1 thắng nhé :
      thắng trong 3 ván : p^3
      thắng trong 4 ván : 3*p^3*(1-p) ( vì ván thứ 4 thắng và thua 1 trong 3 ván đầu )
      thắng trong 5 ván : 4C2 * p^3 * (1-p)^2
      thắng trong 6 ván : 5C3 * p^3 *(1-p)^3
      xong rồi nhé.

      Like

      Posted by Hải Phạm Lê | 03/10/2012, 09:17

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 004 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 004 other followers

%d bloggers like this: