Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

2.1 – Phép thử và biến cố:

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là một phép thử còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố.

Thí dụ:

1. Tung một con xúc xắc là một phép thử, còn việc lật lên mặt nào đó là biến cố.

2. Bắn một phát súng vào bia thì việc bắn súng là phép thử còn viên đạn trúng bia (hay trật bia) là biến cố.

3. Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, việc lấy sản phẩm là một phép thử. Còn lấy được chính phẩm (hay phế phẩm) là biến cố.

Như vậy ta thấy rằng một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện.

2.2 – Các loại biến cố:

Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:

a) Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là U.

Thí dụ:

1. Khi thực hiện phép thử: tung một con xúc xắc, gọi U là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” thì U là biến cố chắc chắn.

2. Gọi U là biến cố “ nước sôi ở nhiệt độ , dưới áp suất 1 atm” thì U là một biến cố chắc chắn.

b) Biến cố không thể có: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không thể có được ký hiệu là V.

Thí dụ:

1. Khi tung một con xúc xắc. Gọi V là biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấm” V là biến cố không thể có.

2. Biến cố nước sôi ở nhiệt độ , với 1 atm là biến cố không thể có.

c) Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu là A, B, C hoặc là

Thí dụ:

Khi tung một đồng xu, gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chữ” thì A là biến cố ngẫu nhiên.

Tất cả các biến cố ta gặp trong thực tế đều thuộc một trong ba loại biến cố trên. Tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là loại biến cố thường gặp hơn cả.

 

2.3 – Mối quan hệ giữa các biến cố:

Định nghĩa 1: (Hai biến cố tương đương)

Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương (ký hiệu là A = B). Nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.

Thí dụ:

Khi tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố “xuất hiện mặt 6 chấm“, B là biến cố “xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 4“. Ta thấy nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra. Vậy A = B.

Định nghĩa 2:

Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B (ký hiệu C = A + B). Nếu C xảy khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.

Thí dụ:

Chọn ngẫu nhiên từ 2 lớp Lý A, B mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “bạn chọn từ lớp A là nam” , B là biến cố “ bạn chọn từ lớp B là nam” và C là biến cố “ chọn được sinh viên nam”. Rõ ràng biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Vậy C = A + B.

Định nghĩa 3:

Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố: . A xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố đó xảy ra. Ký hiệu là:

Định nghĩa 4:

Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B nếu: “C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng đồng thời xảy ra“. Ký hiệu là: C = A.B.

Thí dụ:

Hai lớp A, B đều có sinh viên sống tại Đà Lạt. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Đà Lạt ở lớp A”, B là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Đà Lạt ở lớp A”, C là biến cố “cả hai sinh viên sống ở Đà Lạt”. Rõ ràng C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. Vậy C = A.B

Định nghĩa 5:

Biến cố A được gọi là tích của n biến cố: nếu A xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố ấy đồng thời xảy ra.

Ký hiệu là:

Thí dụ:

Xét phép thử lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 4 con hạc giấy từ hộp có 10 con hạc (trong đó có 4 con hạc màu trắng). Gọi là biến cố “lần thứ i lấy được lấy được hạc trắng” (). A là biến cố lấy được 4 hạc trắng. Ta thấy A xảy ra khi và chỉ khi cả 4 biến cố đồng thời xảy ra. Vậy:

Định nghĩa 6:

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử.

Thí dụ:

Xét phép chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Gọi A là biến cố “sinh viên được chọn là nam ” và B là biến cố “sinh viên được chọn là nữ” thì A và B là hai biến cố xung khắc.

Định nghĩa 7:

Nhóm n biến cố được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong n biến cố này xung khắc với nhau

Thí dụ:

Tung một con xúc xắc. Gọi () là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt i chấm“. Nhóm 6 biến cố là xung khắc từng đôi.

Định nghĩa 8:

Các biến cố được gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn.

Thí dụ:

Xét phép thử tung một con xúc xắc. Gọi Gọi () là biến cố “xuất hiện mặt i chấm” . Các biến cố tạo nên một nhóm các biến cố đầy đủ vì chúng xung khắc từng đôi một và tổng của 6 biến cố đó là biến cố chắc chắn: U = (biến cố U chắc chắn xảy ra trong một phép thử).

Định nghĩa 9:

Biến cố A và B gọi là hai biến cố đối lập nhau nếu chúng tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ.

Thí dụ:

Khi tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn“,” B là biến cố “xuất hiện mặt lẻ“. Rõ ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau.