Phép biến đổi Laplace – Các khái niệm mở đầu

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân mà mục tiêu là biến các phép tính giải tích (như phép lấy đạo hàm, tích phân) thành các phép tính đại số. Như vậy, qua phép biến đổi Laplace ta có thể chuyển phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân thành một phương trình đại số.

I. Các hàm cơ bản:

1. Hàm bậc thang đơn vị:

Trong kỹ thuật ứng dụng, chúng ta thường xuyên ghi nhận được các hàm số mà giá trị của nó thay đổi đột ngột tại một thời điểm t xác định. Một ví dụ phổ biến là sự thay đổi điện áp của một mạch điện tại thời điểm t khi đóng hoặc ngắt mạch.

Thông thường, giá trị t = 0 luôn được chọn là thời điểm bắt đầu cho việc đóng hoặc ngắt điện áp. Quá trình đóng, ngắt mạch trên có thể mô tả bằng mô hình toán học bởi hàm bậc thang đơn vị (còn được biết đến với tên gọi là hàm Heaviside – tên của nhà Toán học, Vật lý học người Anh Oliver Heaviside )

Định nghĩa: Hàm bậc thang đơn vị (Hàm Heaviside), u(t), là hàm số được định nghĩa bởi:

u(t) = \left \{ \begin{array}{l} 0, t < 0 \\  1, t > 0 \\ \end{array} \right.

Nghĩa là, u(t) là hàm theo biến thời gian t, và u nhận giá trị zero khi thời gian là âm (thời điểm trước khi ta đóng, mở mạch) và nhận giá trị 1 khi thời gian xác định dương (kể từ lúc ta đóng, mở mạch).

2. Hàm dời (hàm trễ) đơn vị:

Một hàm số nhận giá trị 0 cho đến thời điểm t = a và sau đó, nhận giá trị 1, thì đồ thị của nó có được chính là ta đã tịnh tiến đồ thị của hàm bậc thang đơn vị đi 1 khoảng là a. Như vậy, hàm số có thể được viết như sau:

u(t - a) = \left \{ \begin{array}{l} 0, t < a \\  1, t > a \\ \end{array} \right.

Ví dụ: Xét hàm số f(t) = u(t-3)

Biểu thức trên nghĩa là, hàm f(t) nhận giá trị 0 khi t< 3, và nhận giá trị 1 khi t > 3

Nhận xét:

Xét hàm số V(t) = u(t-a) - u(t-b) (b > a) thì hàm số này chính là mô hình toán học của bài toán khảo sát mạch điện khi đóng mạch tại thời điểm t = a, và ngắt mạch tại thời điểm sau đó t = b. Khi đó, mạch điện sẽ có hiệu điện thế 1 volt trong khoảng b – a. Nghĩa là giá trị của hàm V(t) được xác định như sau:

V(t) = u(t - a) - u(t-b) = \left \{ \begin{array}{l} 0, t < a \\  1, a< t < b \\ 0, t > b \end{array} \right.

Ví dụ: Với hàm {V(t) = u(t-1.2) - u(t-3.8)} ta có đồ thị sau:

3. Các ví dụ:

Viết các hàm dưới đây xác định theo hàm Heaviside:

1. Một nguồn 12 V được đóng mạch tại thời điểm t = 4s.

Trả lời:

Khi mạch điện được đóng mạch tại thời điểm t = 4s, thì trước thời điểm này hiệu điện thế của mạch sẽ ằng 0, và sau thời điểm này, hiệu điện thế của mạch là 12V. Do đó, ta cần sử dụng hàm u(t-4). Mặt khác, khi đóng mạch, thì mạch điện có hiệu điện thế 12 V nên chúng ta cần nhân hàm u(t-4) cho 12 (do giá trị của hàm u(t) bằng 1). Vậy:

V(t) = 12.u(t - 4)

Ta có đồ thị sau:

2. Biểu diễn hàm số sau dưới dạng hàm bậc thang đơn vị:

f(t) =  \left \{ \begin{array}{l} 0, t < 3 \\ 2t+8, 3< t < 5 \\ 0, t > 5 \end{array} \right.

Trả lời:

f(t) = (2t+8)(u(t-3)-u(t-5))

Đồ thị của hàm số biểu diễn như sau:

Thảo luận

8 thoughts on “Phép biến đổi Laplace – Các khái niệm mở đầu

  1. em rất cảm ơn thầy về bài viết.Thầy có thể cho nhiều ví dụ hơn về hàm bậc 2 hoặc 3 ko ạ.và thầy chỉ cho em cách vẽ với.Sắp thi rồi mà em vẫn chưa biết mấy.Mong thầy giúp em.em xin cảm ơn.

    Like

    Posted by hoàng trọng | 23/10/2010, 17:10
  2. Thầy ơi, giải hộ em bài toán tính vi phân bằng cách biến đổi laplace này với:
    X”- 2X’ + 2X = 2e^tcost vơi đk X(0)=X'(0)=0

    Like

    Posted by Bùi THị Hồng | 08/10/2010, 20:33
  3. Thay co the giai thich hoac cho em tai lieu ve Legendre functions.

    Like

    Posted by Nguyen Xuan Hao | 21/01/2010, 16:08
  4. EM DANG PHAI LAM DE TAI:CAC PHEP BIEN DOI LAPLACE VA UNG DUNG.THAY CO THE CHO EM BIET SACH NAO VIET VE VAN DE NAY 1 CACH RO RANG KO A?

    Like

    Posted by lien | 16/01/2010, 10:30
  5. có nhiêu thôi hả Thầy. hic. sao ít vậy Thầy. Thầy làm ơn post đề giải tích 3 giùm em nha Thầy. em cám ơn Thầy nhiều lắm

    Like

    Posted by Abu k34.105.032 | 15/12/2009, 22:53
  6. Em đang học môn hàm phức của vật lý. Trong bài thuyết thặng số có bài này em ko hiểu lắm. cho pt (z^2 + 1 )^2=0 . em giải theo pt trùng phương thì ra la z=+- căn(i) . nhưng thế vào lại thì pt ko bằng 0. xin thầy giải thích giùm em

    Like

    Posted by Khoa | 21/11/2009, 22:58
  7. Để biết cách gõ công thức Toán học trong blog wordpress, em có thể xem một số hướng dẫn ở menu cùng trao đổi hoặc em có thể xem bài viết hướng dẫn lấy đoạn mã bằng chương trình Mathtype tại:

    http://thunhan.wordpress.com/2008/01/05/su-dung-mathtype-de-viet-cong-thuc-toan/

    Like

    Posted by 2Bo02B | 29/08/2008, 13:07
  8. Thầy ơi! Chỉ cho em những cách học, gõ các công thức, biểu thức toán học đc ko thầy? Các hướng dẫn sử dụng mau lẹ ý thầy.
    Em cảm ơn thầy nhiều.

    Like

    Posted by huongtran | 29/08/2008, 10:33

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 989 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 989 other followers

%d bloggers like this: