Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-I2
Nội dung bài viết này không đi sâu vào các vấn đề lý thuyết của bài toán mà sẽ bàn luận các phương pháp để giải quyết các bài tích phân 2 lớp rơi vào những trường hợp phải chuyển qua tọa độ cực hoặc đổi biến. Vì vậy, các bạn nên xem các giáo trình liên quan để nắm rõ cơ sở lý thuyết của bài toán.
1. Mối liên hệ giữa tích phân 2 lớp trong tọa độ Decarster (Đề- các) vuông góc (Oxy) và tọa độ cực:
Chú ý:
1. Nếu miền lấy tích phân D giới hạn bởi 2 tia xuất phát từ cực: 
2. Nếu gốc O nằm trong miền D và mọi tia xuất phát từ O đều cắt biên của miền HD tại 1 điểm có bán kính vec tơ là 
3. Trong tọa độ cực để tích tích phân 2 lớp thường tính tích phân theo r trước.
2. Phương pháp xác định cận:
Bước 1: Nhập môn. Cần nằm lòng 4 điều quan trọng sau:
1. Bài toán nào thì chuyển sang tọa độ cực được?
Mọi bài toán đều có thể chuyển qua tọa độ cực được. Tuy nhiên, ta chỉ nên đổi để biến miền D từ phức tạp thành đơn giản. Bài nào tính dễ dàng trong tọa độ vuông góc thì bạn cứ tính toán bình thường. Ta chỉ đổi sang hệ tọa độ cực khi:
- Hàm dưới dấu tích phân có chứa 
- Miền lấy tích phân D là hình tròn, hình tròn lệch, giới hạn của hai hình tròn, hoặc đường cong có chứa
2. Với những miền lấy tích phân nào mà bạn có thể vẽ hình được thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dàng xác định cận lấy tích phân hơn.
3. Trước khi chuyển cận, bạn nên chú ý xem miền D và hàm lấy tích phân có tính chất đối xứng không? Điều này sẽ giúp ta thu hẹp miền lấy tích phân:
1. Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:
(với D1 là phần của D ứng với y > 0)
Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:
2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:
(với D’ là phần của D ứng với x > 0)
Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:
3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:
(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)
4. Để xác định chính xác cận tích phân, ta phải xét trong tọa độ cực thông thường, không xét trong tọa độ cực mở rộng. Nghĩa là: 
Bước 2: Xuất chiêu. Phương pháp xác định cận:
Cách 1: xác định cận bằng phương pháp hình học.
- Vẽ miền lấy tích phân D.
- Xác định 2 tia
tiếp xúc với biên miền D. Nghĩa là, tìm 2 phương trình đường thẳng
tiếp xúc với đường cong (C) giới hạn miền D lần lượt tại A, B.
- Vẽ bất kỳ 1 tia nằm giữa
cắt biên D tại 2 điểm P, Q. Xác định phương trình của cung APB và AQB bằng cách chuyển đường cong (C) qua tọa độ cực. Tìm biểu thức xác định của r. Biểu thức nào có giá trị r nhỏ hơn, đó chính là phương trình của cung APB:
, còn lại là phương trình của cung AQB:
.
Nếu O thuộc miền D, hoặc trên biên của miền D thì cận dưới
Khi đó: cận tích phân sẽ là
RSS - Posts
hay wa ta
Thầy giảng cho em về tích phân bội ba luôn đi ạ, Phần đó em chưa nắm được chắc lắm
Bài này đọc xong của thầy thì hiểu luôn. Cảm ơn thầy nhiều!
Em có thể xem phương pháp chung xác định cận của tích phân bội ba tại:
http://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-3/double-integrals/#comment-3062
Em đọc bài của Thầy, em cũng rất hiểu bài, em cũng hi vọng thầy post lên thật nhiều bài hay để chúng em tham khảo. Em cảm ơn Thầy rất nhiều, ah, thầy ơi, thầy có thể post phần tích phân ba lớp, tích phân đường và tích phân mặt được không ạ?
Em cảm ơn Thầy trước!
Thầy ơi, đổi cận trong tọa độ trụ bằng phương pháp hình học dễ nhận biết nhưng trong trường hợp em không nhớ hình hoặc không vẽ được hình thì có thể làm cách nào.
Thầy nói rõ phương pháp đại số giúp em với. Em cảm ơn thầy nhiều ạ! -:p
Thưa Thầy! Cho em hỏi khi làm bài thì có cần thiết phải vẽ hình ra không ạ? Hay chỉ cần vẽ ra nháp thôi.
Cái này tùy yêu cầu của giáo viên giảng dạy thôi. Thông thường thì không yêu cầu nhưng em nên vẽ hình (vào bài hoặc giấy nháp) để dễ dàng xác định cận.
Cám ơn thầy ! Bài viết của thầy giúp em có khái niệm về tích phân để có thể đọc sách để hiểu rõ hơn nữa . Hy vọng có kiến thức này em có thể vượt qua kì thi cuối kì này -:P
thầy ạ.trong phần tích phân 2 lớp em vẫn ko hiểu cách nhìn cân ạ.nếu em xét dx trước thì dy em nhìn từ trái sang phải hay từ trên xuống ạ.nếu cận nào mà nhìn thấy trước thì là cận dưới còn cận nào mà nhìn thấy sau thì là cận trên , có đúng ko ạ.thầy nói cho em bít ngay thầy nha. em sắp thi rồi ạ.em cảm ơn thầy nhiều ạ
Xét theo dx trước, nghĩa là em tính theo x trước, y sau. Như vậy, miền D em xét theo phương Ox với chiều từ trái qua phải
TINH THE TICH VAT THE GIOI HAN BOI
z = x2 + y2 + 1
x2 + y2 = 1
z = 3; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Nhận xét:
là mặt nón tâm tại (0,0,1)
là 1/4 mặt trụ có mặt đáy là đường tròn tâm (0,0,z) bán kính 1.
mặt phẳng song song với mp(Oxy).
và 
. Trong miền này thì mặt nón nằm phía dưới mp.
-
-
-
Miền giới hạn là phần mặt trụ giới hạn bởi 2 mặt
Hình chiếu D của miền giới hạn xuống mp (Oxy) là:
Do đó:
thưa thầy, thầy có thể chỉ giúp em cách xác định cận của bài này ko ạ?
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường :
(x/a+ y/b)^4= (x^2)/h^2 +(y^2)/k^2 (x>0,y>0)
Bài này chuyển qua tọa độ cực ta có:
(1)
nên: 
Do điều kiện x > 0, y > 0 nên
Và r xác định bởi công thức (1) với mọi giá trị của
Bài này em cũng có thể giải quyết bằng cách đặt biến:
nên từ điều kiện x,y suy ra: 
Khi đó, Jacobi của phép đổi biến là:
Do r luôn xác định dương với mọi giá trị của
Mặt khác, do O(0;0) nằm trên biên của đường cong nên:
thầy oi.phần các vd về tp bội sao dơload k được?thây gửi file qua email nguyenngdan@gmail.com júp e được không?
thay oi thay giang giup e ve cach xac dinh can cua tich phan duong trong truong hop tinh theo phuong trinh tham so dc k a.
cach xac dinh nay co giong nhu cach xac dinh trong truong hop bien doi trong toa do cuc k a,tuc la ve he toa do ra ay a.thay giup e nhe.e cam on thay