Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-I2

Nội dung bài viết này không đi sâu vào các vấn đề lý thuyết của bài toán mà sẽ bàn luận các phương pháp để giải quyết các bài tích phân 2 lớp rơi vào những trường hợp phải chuyển qua tọa độ cực hoặc đổi biến. Vì vậy, các bạn nên xem các giáo trình liên quan để nắm rõ cơ sở lý thuyết của bài toán.

1. Mối liên hệ giữa tích phân 2 lớp trong tọa độ Decarster (Đề- các) vuông góc (Oxy) và tọa độ cực:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = \iint\limits_D f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdrd{\varphi} (1)

Chú ý:

tptdcuc1. Nếu miền lấy tích phân D giới hạn bởi 2 tia xuất phát từ cực: \varphi = \alpha , \varphi = \beta (\alpha \le \beta) tiếp xúc với biên của miền D tại A và B và đoạn đường cong APB có phương trình r = g(\varphi) , đoạn đường cong AQB có phương trình: r = h(\varphi) thì (1) được tính như  sau:

\iint\limits_D f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdrd{\varphi} \, = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \, d{\varphi} \int\limits_{g(\varphi)}^{h(\varphi)} f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdr (2)

2. Nếu gốc O nằm trong miền D và mọi tia xuất phát từ O đều cắt biên của miền HD tại 1 điểm có bán kính vec tơ là r(\varphi) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = \int\limits_{0}^{2\pi} \, d{\varphi} \int\limits_{0}^{r(\varphi)} f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdr (3)

3. Trong tọa độ cực để tích tích phân 2 lớp thường tính tích phân theo r trước.

2. Phương pháp xác định cận:

Bước 1: Nhập môn. Cần nằm lòng 4 điều quan trọng sau:

1. Bài toán nào thì chuyển sang tọa độ cực được?

Mọi bài toán đều có thể chuyển qua tọa độ cực được. Tuy nhiên, ta chỉ nên đổi để biến miền D từ phức tạp thành đơn giản. Bài nào tính dễ dàng trong tọa độ vuông góc thì bạn cứ tính toán bình thường. Ta chỉ đổi sang hệ tọa độ cực khi:

- Hàm dưới dấu tích phân có chứa \sqrt{x^2 + y^2} , đồng thời miền D giới hạn bởi các đường thẳng đi qua O.

- Miền lấy tích phân D là hình tròn, hình tròn lệch, giới hạn của hai hình tròn, hoặc đường cong có chứa x^2 + y^2

2. Với những miền lấy tích phân nào mà bạn có thể vẽ hình được thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dàng xác định cận lấy tích phân hơn.

3. Trước khi chuyển cận, bạn nên chú ý xem miền D và hàm lấy tích phân có tính chất đối xứng không? Điều này sẽ giúp ta thu hẹp miền lấy tích phân:

1. Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 2 \iint\limits_{D_1} f(x;y) \, dxdy (với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 0

2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 2 \iint\limits_{D'} f(x;y) \, dxdy (với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 0

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 4 \iint\limits_{D*} f(x;y) \, dxdy (với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

4. Để xác định chính xác cận tích phân, ta phải xét trong tọa độ cực thông thường, không xét trong tọa độ cực mở rộng. Nghĩa là: r \ge 0 ; 0 \le \varphi \le 2{\pi} (-{\pi} \le \varphi \le \pi ) , tức r dương, góc quay \varphi chỉ xét trong 1 vòng đường tròn lượng giác.

Bước 2: Xuất chiêu. Phương pháp xác định cận:

Cách 1:  xác định cận bằng phương pháp hình học.

- Vẽ miền lấy tích phân D.

- Xác định 2 tia \varphi = \alpha , \varphi = b tiếp xúc với biên miền D.  Nghĩa là, tìm 2 phương trình đường thẳng y = {\alpha}x ; y = {\beta}x tiếp xúc với đường cong  (C) giới hạn miền D lần lượt tại A, B.

- Vẽ bất kỳ 1 tia nằm giữa \alpha , \beta cắt biên D tại 2 điểm P, Q.  Xác định phương trình của  cung APB và AQB bằng cách chuyển đường cong (C) qua tọa độ cực. Tìm biểu thức xác định của r. Biểu thức nào có giá trị r nhỏ hơn, đó chính là phương trình của cung APB: r = g(\varphi) ,  còn lại là phương trình của cung AQB: r =h(\varphi) .

Nếu O thuộc miền D, hoặc trên biên của miền D thì cận dưới r = g(\varphi) = 0

Khi đó: cận tích phân sẽ là D = \left\{ \alpha \le \varphi \le \beta ; g({\varphi}) \le r \le h(\varphi) \right\}

Thảo luận

72 thoughts on “Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

  1. Thầy tính giúp em tích phân này với ạ!

    Tích phân của e^[a(x^2+y^2)] dxdy có cận của biến x là từ a_1 đến a_2, cận của biến y là từ 0 đến x.b_1 + b_2 ạ! trong đó a, a_1, a_2, b_1, b_2 là các hằng số nào đó!

    Em cảm ơn thầy nhiều ạ!

    Like

    Posted by Linh | 13/02/2014, 04:05
  2. thầy cho em hỏi bài này ạh. xác định miền D: x^2+ y^2-2y<=0 và y<=x
    tại sao góc phi chạy từ -pi/2 tới pi/4 mà không phải là pi/4 tới pi/2 ?
    em cảm ơn ạh

    Like

    Posted by tung phan | 15/10/2013, 23:01
  3. Thầy tìm cận giùm em với: 1<= x2+ y2<=2y (tính tích phân 2 lớp của f(x,y)=(x+y)2/y2 )

    Like

    Posted by thi | 03/06/2013, 18:09
  4. thay tinh giup em bai nay voi’ . Tính tích phân bằng cách chuyển sang tọa độ cực : ∫∫ sin (x^2+y^2)dydx -3=<x<=3 , 0=< y <= căn bậc 2 của (

    9-x^2)

    Like

    Posted by thanh | 26/10/2012, 11:20
  5. Em chào thầy ! Thầy giảng giúp em bài này với, em loay hoay mãi mà làm không được.
    +) Tính thể tích của vật thể xác định bởi :
    x^2 + y^2 + z^2 =< 2z và x^2 + y^2 =< z^2
    Em cảm ơn thầy nhiều !

    Like

    Posted by MrTung1990 | 24/10/2012, 08:59
  6. cám ơn thầy vi bai viết rất hay ! thầy có thề cho ví du về cách tìm cận bằng phương pháp hình học dược không ạ ? e chân thành cảm ơn!

    Like

    Posted by huỳnh văn trọng | 23/05/2012, 12:01
  7. mỗi bài giảng thầy nên lấy một ví dụ cụ thể cho bài giảng thêm chất lượng cũng như cho các trò hiểu và áp dụng dễ hơn ak.

    Like

    Posted by Phạm Bình Liêm | 06/03/2012, 21:10
  8. Thầy giải giúp em bài toán:
    Đưa các tích phân kép I= ∫∫ f x y dxdy về tích phân lặp, biết miền D giới hạn bởi (x −2)^2 +(y −3)^2 ≤ 4 .
    Em xin cảm ơn.

    Like

    Posted by toanst92 | 21/09/2011, 22:48
  9. chia hình ra làm 4 phần.chỉ tính phần trong góc phần tư thứ nhất.thì ta sẽ có 0<=phi<=pi/2. 0 <=R<=1

    Like

    Posted by khoa | 13/04/2011, 09:41
  10. Thầy tìm giúp em cận của bài này được ko ạ:
    Tính thể tích được cắt ra từ hình cầu: x^2+y^2+z^2=R^2 và hình trụ x^2+y^2=Rx. Trong sách họ ko nói rõ cách tìm như thế nào? Mà lại viết rất nhiều làm em ko nắm được nội dung chính, nếu thầy có tài liệu về cách tìm cận để giải các dạng toán như thế này thì có thể đưa lên đây được ko ạ!
    Em cảm ơn thầy vì những giải đáp.

    Like

    Posted by Cảnh An | 12/04/2011, 08:18
  11. Thưa thầy bài giảng của thầy rất hay và dể hiểu nhưng thầy có thể cho mọi người thêm một số bài tập cụ thể và điển hìh hơn đươc không a.

    Like

    Posted by nhatkhanh | 09/04/2011, 20:13

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 987 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 987 other followers

%d bloggers like this: