Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti

Để lại phản hồi Go to comments

1. Định nghĩa:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

y' = -p(x).y+q(x) (1) (hay y'+p(x).y=q(x) )

trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.

Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

2. Cách giải:

2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số e^{\int p(x) \, dx }

Ta được:

y'.e^{\int p(x) \, dx} + p(x).e^{\int p(x) \, dx}.y=q(x)e^{\int p(x) \, dx} (*)

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số y.e^{\int p(x) \, dx} . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

\left( y.e^{\int p(x) \, dx} \right)^{'} = q(x).e^{\int p(x) \, dx}

Lấy tích phân hai vế ta được:

y.e^{\int p(x) \, dx} = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

y=e^{-{\int p(x) \, dx}}. \left[ \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \right]

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.

Ví dụ: Giải phương trình y' + 2x.y = 4x

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2} .

Ta đươc: y'.e^{x^2} + 2xe^{x^2}.y = 4x.e^{x^2}

Hay:

{ \dfrac{d}{dx}} \left( y.e^{x^2} \right) = 4x.e^{x^2}

Lấy tích phân 2 vế ta được:

y.e^{x^2} = 4{\int x.e^{x^2} \, dx} + C = 2e^{x^2} + C

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = 2 + C.e^{-x^2}

2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: y = u(x).v(x)

Ta có: y' = u'.v + v'.u

Thế vào phương trình ta có: (u'.v+v'.u)+p(x).(u.v) = q(x)

Hay: (u'+p(x).u)v + v'.u = q(x) (*)

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho u' + p(x).u = 0 (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

{ \dfrac{du}{u}}=-p(x)dx \Rightarrow u(x)=C.e^{- \int p(x) \, dx}

Chọn C = 1 ta có: u(x) = e^{- \int p(x) \, dx}

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

v' = { \dfrac{q(x)}{u(x)}} = q(x).e^{\int p(x) \, dx} \Rightarrow v = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C_1

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

y = e^{- \int p(x) \, dx} \left[ \int q(x)e^{\int p(x) \, dx} + C_1 \right]

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng y = u(x).v(x) với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: u(x) = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: y =e^{- \int p(x) \, dx}.v(x) chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số  C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

y' + p(x).y = 0

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

y = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

y = v(x).e^{- \int p(x) \, dx}

Ta có: y' = v'.e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx}

Thế vào phương trình ta có:

v'e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx} + p(x).v.e^{- \int p(x) \, dx}= q(x)

Suy ra: v' = q(x).e^{\int p(x) \, dx} . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v’(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.

Trang: 1 2

  1. keynet101
    03.05.2009 lúc 09:41 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi giải giúp em bài toán này
    y’(x+y^2)=y

    • 2Bo02B
      03.05.2009 lúc 10:11 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài này ta đưa về dạng: y' = \dfrac{y}{x+y^2} thì không phải phân li biến số, không phải đẳng cấp, ko thể chuyển về pttt, Bernoulli với y là hàm theo x, cũng ko phải phương trình vi phân toàn phần. Nhưng em có thể áp dụng phương trình đẳng cấp mở rộng để đưa về phương trình tách biến bằng cách đặt y=z.{\sqrt{x}} (em có thể xem thêm tại: http://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/pt-tach-bien-va-pt-dang-cap/ )
      Ngoài ra, nếu đổi lại xem x là hàm theo y em sẽ có: x' = { \dfrac{1}{y}}x + y (đây là phương trình tuyến tính dạng: x' + p(y).x = q(y) với p(y) = -{ \dfrac{1}{y}} , q(y) = y
      Đến đây, việc giải pttt là dễ dàng rồi.

      • Linh
        23.06.2009 lúc 13:03 | #3
        Trả lời | Trích dẫn

        em nho thay giai ho em bai tap nay duoc k?
        giai phuong trinh vi phan y’=y-2x/y

        • 2Bo02B
          23.06.2009 lúc 16:23 | #4
          Trích dẫn

          Bài này ta có: y' = y -2x.y^{-1} hay: y' - y = -2x.y^{-1} có dạng: y' + p(x).y = q(x)y^{\alpha} nên là phương trình Bernoulli

  2. kangin_super_junior
    07.05.2009 lúc 21:33 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    Thưa thầy sao 1 số sách nói rằng dạng pt vp tuyến tính này luôn có công thức nghiệm là: C(x)=tichphân(f(x)*e^(tíchphân(p(x))
    là sao?
    có được công nhận ngay công tức đó ko ạ?

    • Vũ Hoàng
      08.05.2009 lúc 17:24 | #6
      Trả lời | Trích dẫn

      Cái này chính là thừa số phía sau trong phương pháp đó bạn. Thường mấy sách hay viết y = e^{-{\int p(x) \, dx}}. C(x) với C(x) là biểu thức mà bạn ghi. Tùy Thầy Cô dạy bạn có cho sử dụng không thôi, nhưng cách này khó nhớ lắm, Thầy hay khuyên tụi mình dùng phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số) thì dễ nhớ hơn và biết kiểm tra mình làm đúng hay sai.

      Ở đây, thầy Nhân ký hiệu vế phái là q(x), còn 1 số sách ký hiệu là f(x).

  3. SyTan001
    09.05.2009 lúc 10:52 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    thày ơi,giải giùm em bài này với thầy:
    tìm nghiệm của pt: y’+ycosx=sinx.cosx biết y(0)=0

    • Vũ Hoàng
      09.05.2009 lúc 15:48 | #8
      Trả lời | Trích dẫn

      Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 rồi. Bạn giải như sau:
      B1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với phương trình (1):
      y'+y.cosx = 0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = - y.cosx \Rightarrow \dfrac{dy}{y} = -cosx.dx
      Vậy lny = -sinx + lnC \Rightarrow y = C.e^{-sinx}
      B2: Nghiệm của pt (1) có dạng: y = u(x).e^{-sinx} $
      Suy ra: y' = u'.e^{-sinx} - cosx.u.e^{-sinx}
      Thế vào phương trình (1) ta có:
      u'e^{-sinx} - u(x).cosx.e^{-sinx} + cosx.u.e^{-sinx} = sinx.cosx
      Từ đó ta có: u' = sinx.cosx.e^{sinx} dx = sinx.e^{sinx} d(sinx)
      Đây là ptvp toàn phần dạng t.e^t dt , tính toán tích phân bạn có:
      u(x) = (sinx-1)e^{sinx} + C
      Vậy nghiệm pt là: y = sinx - 1 + C.e^{-sinx} (*)
      Mặt khác: y(0) = 0 nên thế x = 0, y = 0 vào (*) ta có: 0 = 0 - 1 + C.e^0 \Rightarrow C = 1
      Vậy nghiệm thỏa ptvp và thỏa mãn điều kiện đầu y(0) = 0 là: y = sinx - 1 + e^{-sinx}

      • 2Bo02B
        10.05.2009 lúc 20:51 | #9
        Trả lời | Trích dẫn

        Thầy cảm ơn Vũ Hoàng. Em đã giải chính xác!

  4. anhdi_audi
    18.05.2009 lúc 01:07 | #10
    Trả lời | Trích dẫn

    sao em không thấy bài của phương trình vi phân cấp 2 vậy thầy !khi có điều kiện, thầy vui lòng post lên cho em và các bạn cùng tham khảo nhé! cảm ơn thầy nhiều!

    • bathang
      24.05.2009 lúc 17:12 | #11
      Trả lời | Trích dẫn

      Sao nhà trường lại ra những bài toán hoàn toàn khác so với trong sách vậy

  5. nga_lê
    11.06.2009 lúc 14:09 | #12
    Trả lời | Trích dẫn

    Thưa thầy.thầy giúp em bài toán này được không a?
    Cho pt vi phân toàn phần:
    (sinx+xcosx+2ycosx)dx + (2sinx-7)dy =0
    Giả sử tích phân tổng quát có dạng U(x,y) =C. Từ giá trị U(0,1)=3 ta tìm đc nghiemjej riêng y=y(x). tính giá trị của nghiệm riêng vừa tìm đc tai x= pi/2.
    Em cảm ơn !

    • Vũ Hoàng
      12.06.2009 lúc 21:38 | #13
      Trả lời | Trích dẫn

      Chào bạn Nga Lê,
      Bài này theo phương pháp tìm nghiệm của ptvp toàn phần ta sẽ có:
      \int\limits_{0}^x (sinx+xcosx) \, dx + \int\limits_{0}^y (2sinx - 7) \, dy = C
      Hay: xsinx + 2ysinx - 7y = C
      Mà U(0,1) = 3 nên : thế x = 0, y = 1 ta có: C = -7
      Vậy: xsinx + 2ysinx – 7y + 7 = 0
      Hay y = \dfrac{xsinx + 7}{7-sinx}
      Khi đó y \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi + 14}{12}

  6. Linh
    23.06.2009 lúc 13:04 | #14
    Trả lời | Trích dẫn

    voi ca bai nay nua y’=y/(x+1)-y^2

    • 2Bo02B
      23.06.2009 lúc 16:25 | #15
      Trả lời | Trích dẫn

      Đây cũng là dạng phương trình Bernoulli:
      y' - { \dfrac{1}{x+1}}y = -y^2 với \alpha = 2

  7. leduy
    11.07.2009 lúc 16:27 | #16
    Trả lời | Trích dẫn

    Gợi ý giúp em bài này với. Xin cảm ơn
    dx – xy(x^2 y^2+1)dy=0

    • 2Bo02B
      11.07.2009 lúc 21:49 | #17
      Trả lời | Trích dẫn

      Từ phương trình ta có: \dfrac{dx}{dy} -y.x = y^3.x^3
      Đây là phương trình Bernoulli với x là hàm theo biến y có dạng: x' + p(y).x = q(y).x^{\alpha} với bài toán trên thì \alpha = 3

  8. tan
    09.11.2009 lúc 02:23 | #18
    Trả lời | Trích dẫn

    thay oi thay giai giup em bai nay voi a
    y”=1/y^1/2

  9. tan
    09.11.2009 lúc 02:40 | #19
    Trả lời | Trích dẫn

    thay oi thay giai giup em them y nay nua
    tinh tich phan sau
    x=(1+z^2)^1/2(C+nguyen ham[(1/(1+z^1/2).(1/(1+z2)]dz

  10. vo thi loan
    10.11.2009 lúc 20:13 | #20
    Trả lời | Trích dẫn

    giai giup bai nay nha thay…e cam on thay
    y’x^2+(1+x)y=1

  1. No trackbacks yet.