Đạo hàm riêng

Để lại phản hồi Go to comments

I. Đạo hàm riêng cấp một:

Cho z = f(x,y) là hàm theo hai biến số độc lập x, y.

Bây giờ, ta cố định giá trị của biến số y (cho y là hằng số).

Như vậy, ta sẽ có hàm số theo 1 biến số x. Ta xem xét sự thay đổi của hàm số mới này theo biến số x.

Giả sử rằng hàm số z = f(x,y) (coi y là hằng số) có đạo hàm theo biến số x, thì giá trị đạo hàm này sẽ là:

\lim\limits_{\Delta x \to 0 } { \dfrac{f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}}

Ta ký hiệu giới hạn trên là f_{x}^{'}(x,y) , trong đó biến x ở chỉ số dưới, ngầm chỉ rằng đạo hàm được lấy theo biến x khi cố định biến y. Và gọi là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x.

Vậy: chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại điểm (x0, y0) như là đạo hàm thường của hàm f(x, y0) tại điểm x = x0

I.1 Định nghĩa:

Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z = f(x, y) tại điểm (x0, y0) là giới hạn (nếu có)

\lim\limits_{\Delta x \to 0 } { \dfrac{f(x_{0} + \Delta x, y_{0}) - f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}

và được ký hiệu là f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) , z_{x}^{'}(x_{0},y_{0}), { \dfrac{ \partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0}) , { \dfrac{ \partial z}{\partial x}}(x_{0},y_{0}) đọc là “del f del x” “del z del x”.

Rõ ràng ta có:

{ \dfrac{ {\partial} f}{{\partial}x}}(x_{0},y_{0}) = { \dfrac{d}{dx}}f(x, y_{0})|_{x=x_{0}}

Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến số y:

{ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0}) = \lim\limits_{{\Delta}y \to 0 } { \dfrac{f(x_{0} , y_{0} + {\Delta}y) - f(x_{0},y_{0})}{{\Delta}y}}

Nhận xét:

1. Để chỉ ký hiệu đạo hàm riêng, ta dùng ký hiệu \partial thay cho ký hiệu d (vốn dùng để ký hiệu đạo hàm thường – đạo hàm của hàm 1 biến)

2 . Để tính đạo hàm riêng theo biến x, ta chỉ việc xem các biến còn lại là các hằng số và lấy đạo hàm như hàm số 1 biến số x.

3 . Các quy tắc lấy đạo hàm thường vẫn đúng trong trường hợp lấy đạo hàm riêng.

4. Trong thực hành, để tính { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0}), dựa vào định nghĩa, ta có hai cách:

  • Cách 1: tìm { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}} , suy ra { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0}) ( trong trường hợp hàm số { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}} xác định tại (x0, y0).
  • Cách 2: Theo định nghĩa, Lập hàm f(x, y_{0}) tìm { \dfrac{d}{dx}}f(x,y_{0}) , suy ra giá trị { \dfrac{d}{dx}}f(x,y_{0})|_{x=x_{0}} thì đây chính là giá trị { \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0})

5. Khi hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng theo các biến, vecto có các thành phần lần lượt là các đạo hàm riêng theo các biến của hàm f được gọi là vecto gradient, ký hiệu

\overline{grad} f(x,y) {\equiv} ({ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,y),{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x,y))

Ta còn dùng ký hiệu {\nabla} f thay cho \overline{grad} f . Ta sẽ đề cập chi tiết về grad f trong các phần sau.

II.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1. Tính { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) , \nabla f(1, 1) biết f(x,y) = {sin({\pi}xy^{2})}

Ta tính các đạo hàm riêng theo 2 cách:

Cách 1:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} = { \dfrac{\partial}{{\partial}x}}(sin({\pi}xy^{2})) = {\pi}y^{2}.{cos({\pi}xy^{2})}

Suy ra: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) = {\pi}.{cos({\pi})} = - {\pi}

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} = { \dfrac{\partial}{{\partial}y}}(sin({\pi}xy^{2})) = {\pi}x.2y.{cos({\pi}xy^{2})}

Do đó: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) = 2{\pi}.{cos({\pi})} = - 2{\pi}

Cách 2: Tính { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) :

Thay giá trị y = 1, ta nhận được: f(x,1) = sin{\pi} x là hàm theo một biến (biến x). Lúc này:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,1) = (sin{\pi}x)^{'} = {\pi}cos{\pi}x

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) = {\pi}.{cos({\pi})} = - {\pi}

tương tự: f(1, y) = sin{\pi}y^{2} là hàm theo một biến y và

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,y) = (sin{\pi}y^{2})^{'} = {\pi}x.2y.{cos({\pi}xy^{2})}

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) = 2{\pi}.{cos({\pi})} = - 2{\pi}

Cả hai cách trên ta có cùng 1 kết quả. Bấy giờ, ta suy ra:

{\nabla}f(1,1) = (-{\pi},-2{\pi})

Tuy nhiên, để tìm {\nabla} f thì rõ ràng cách 1 là tổng quát hơn, còn cách 2 chỉ có thể tìm được giá trị của đạo hàm tại 1 điểm cụ thể.

Ví dụ 2: Cho hàm f(x,y) = \left \{ \begin{array}{c c} { \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}} & (x,y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \\ \end{array} \right.

Tìm { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0)

Với hàm số f(x,y) này, ta không thể tìm hàm đạo hàm riêng { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}, { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} , rồi suy ra giá trị đạo hàm riêng tại (0,0), vì hai hàm { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,y), { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x,y) không xác định tại (0, 0).

Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0). Ta có:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) = { \lim\limits_{{\Delta}x{\to}0}{ \dfrac{f(0+{\Delta}x,0) - f(0,0)}{{\Delta}x}}} = { \lim\limits_{{\Delta}x{\to}0}{ \dfrac{0}{{\Delta}x}}} = 0

Tương tự, ta cũng nhận được { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0) = 0

Nhận xét:

1. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng cách 2 để tìm { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0) .

2. Ta đã biết: đối với hàm số 1 biến, nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì sẽ liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, Theo lý thuyết về giới hạn hàm số hai biến, ta đã biết hàm số trên không liên tục tại điểm (0, 0) mặc dù hàm số trên có 2 đạo hàm riêng tại (0,0). Vì vậy, việc tồn tại đạo hàm riêng chưa đảm bảo sự liên tục của hàm số.

Trang: 1 2

  1. Hoang Vu
    21.05.2008 lúc 17:47 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi! Thầy cho em hỏi, em xem trên blog này mà không thấy có tài liệu của tích phân hai lớp và lớp. Thầy có thể chỉ cho em chỗ nào được không ạ.
    Em muốn xem điểm thi nhưng mà blog đòi pass. vậy làm sao để vô được thầy ạ. Có phải, là thành viên mới xem được hay là mỗi lớp đã có pass riêng rồi.
    Em cảm ơn thầy Ạ!…..

    • hoangtruc
      22.05.2008 lúc 12:30 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Để tải tài liệu tích phân bội, em có thể vào mục Maths Ebooks. Hiện có 1 số giáo trình co viết về phần này.

      Để xem điểm thi, em phải nhập đúng password (đã được công bố theo từng lớp). Việc này nhằm đảm bảo tính riêng tư cho các sinh viên của mỗi lớp.

  2. như
    22.12.2008 lúc 13:48 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi giải giúp em bài này
    cho x là hàm số theo y có pt:
    xy=arctg(y/x)
    viết pt tiếp tuyến tại điểm xo=1

    • 2Bo02B
      23.12.2008 lúc 11:20 | #4
      Trả lời | Trích dẫn

      Bạn đã có kết quả : Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 có dạng:
      y - y_0 = y'(x_0). (x - x_0) (1)
      Mặt khác, với phương trình hàm số ẩn xác định bởi phương trình F(x,y) = 0 thì ta sẽ có: y_x^{'} = -{ \dfrac{F_x^{'}}{F_y^{'}}} (2) với điều kiện F_y^{'} \ne 0
      Khi đó, thế (2) vào (1) ta sẽ có: phương trình tiếp tuyến của đường cong xác định bởi hàm số ẩn tại điểm (x_0; y_0) có dạng:
      F_x^{'} (x_0;y_0) (x - x_0) + F_y^{'} (x_0;y_0) (y -y_0) = 0
      Tuy nhiên, ở bài này, với x_0 = 1 \Rightarrow y_0 = arctg(y_0) \Rightarrow y_0 = 0 thì khi đó: F_x^{'}(1;0) = 0 ; F_y^{'}(1;0) = 0 nên không tồn tại y'(1) . Do đó, không xác định được phương trình tiếp tuyến tại (1;0). Điều này cũng dễ hiểu vì điểm (1;0) là điểm kỳ dị.

  3. giaglahchah
    25.12.2008 lúc 20:12 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy giải giúp em bài này với ạ
    tìm gh: lim(e^2x.cos2x – 1) : x^4 khi x –>0

  4. vu van tien
    03.01.2009 lúc 09:57 | #6
    Trả lời | Trích dẫn

    theo to bai nay khong ton tai gioi han
    ban co the su dung Lo pi tan Hoac su dung kai trien Maclaurin.

  5. PADũng
    04.01.2009 lúc 11:18 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    Nhờ thầy và các bạn giúp đỡ bài này : Cho f = (1 + x^3 )e^{x^3 } Tính d^{(n)}f ?

    • dia lan
      21.04.2009 lúc 09:56 | #8
      Trả lời | Trích dẫn

      Vi phân cấp 1, cấp 2 rùi quy nạp lên là được mà. Nhớ phải cm công thức bằng quy nạp công thức vừa tìm được đấy

  6. 2Bo02B
    04.01.2009 lúc 22:45 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    Bài này chỉ cần áp dụng công thức khai triển của e^u thì sẽ có kết quả với lưu ý hệ số bậc n của khai triển sẽ là: \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} . Do đó, em chỉ cần tìm hệ số của x^n trong khai triển

  7. dung
    14.02.2009 lúc 09:50 | #10
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy giải hộ em bài này với Cho f(x,y)=g(x+y;x-y) tính vi phân của f(x ,y) tại M(1;-1)

    • 2Bo02B
      14.02.2009 lúc 11:05 | #11
      Trả lời | Trích dẫn

      Vi phân của hàm f(x;y) tại M(1;-1) được xác định bởi:
      df(1;-1) = { \dfrac{\partial f}{\partial x}}(1;-1) \Delta x + { \dfrac{\partial f}{\partial y}}(1;-1) \Delta y
      Như vậy em cần tính hai đạo hàm riêng f'_x , f'_y Mà f(x;y) = g(x+y;x-y) = g(u;v) với u = x + y, v = x-y nên g là hàm hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.
      Do đó: { \dfrac{\partial f}{\partial x}} = g(u;v)'_x = { \dfrac{\partial g}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial g}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} = g_u^{'} + g_v^{'}
      Tương tự: { \dfrac{\partial f}{\partial y}} = g(u;v)'_y = { \dfrac{\partial g}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial y}} + { \dfrac{\partial g}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial y}} = g_u^{'} - g_v^{'}
      Mặt khác: x = 1; y = -1 thì u = 0 và v = 2.
      Vậy: { \dfrac{\partial f}{\partial x}}(1;-1) = g_u^{'}(0;2) + g_v^{'}(0;2) ; { \dfrac{\partial f}{\partial y}}(1;-1) = g_u^{'}(0;2) - g_v^{'}(0;2)
      Khi đó, em sẽ có kết quả

  8. tran xuan hung
    18.04.2009 lúc 07:27 | #12
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy giả hộ em bài này với em không hiểu dạng này làm the nào:
    cho z=(x, y) xác định bởi phương trình : x/z=ln(z/y)+1
    tính dz?
    em cảm ơn thầy.

    • 2Bo02B
      18.04.2009 lúc 20:16 | #13
      Trả lời | Trích dẫn

      Đầu tiên, dz là biểu thức vi phân của hàm z được xác định bởi: dz = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}dy
      Như vậy: em cần tính 2 đạo hàm riêng của hàm z. Mà hàm z lại xác định bởi phương trình: { \dfrac{x}{z}} = ln \left({ \dfrac{z}{y}} \right) + 1 , nghĩa là từ phương trình phải giải tìm z. Nghĩa là: z là hàm ẩn theo 2 biến x, y xác định bởi phương trình: F(x,y,z) = { \dfrac{x}{z}} – ln \left({ \dfrac{z}{y}} \right) -1 = 0 $
      Mà theo công thức đạo hàm hàm ẩn nếu z(x,y) là hàm ẩn xác định từ pt: F(X,y,z) = 0 thì { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} =-{ \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}} , { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}=-{ \dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}}}
      Từ đó, em sẽ có kết quả. Em có thể xem thêm chi tiết tại http://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/dao-ham-ham-so-an/

  9. dia lan
    21.04.2009 lúc 09:53 | #14
    Trả lời | Trích dẫn

    em muốn hỏi ý nghĩa của việc đánh giá địa phương của một hàm số(thông qua chuẩn)

  10. nguyễn loan
    06.06.2009 lúc 09:46 | #15
    Trả lời | Trích dẫn

    em chào thầy! Thầy có thể giải giúp em bài toán này được không.
    Cho bài toán \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2} + \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}y^2} = 0 với 0<x<pi
    \dfrac{{\partial}u}{{\partial}x}(0,y) = \dfrac{{\partial}u}{{\partial}x} (\pi,y) = 0
    U(x,0)=cosx-cos7x = f(x)
    U(x,1)=cos5x = g(x)
    Tìm nghiệm u(x,y) của bài toán bằng phương pháp tách biến.
    Em hi vong Thầy trả lời em trong thời gian gần nhất. em chân thành cảm ơn thầy.

    • 2Bo02B
      06.06.2009 lúc 20:32 | #16
      Trả lời | Trích dẫn

      Đây là dạng phương trình Laplace. Để giải phương trình này bằng phương pháp tách biến, ta tìm nghiệm u(x,y) dưới dạng: u(x,y)=X(x)Y(y).
      Khi đó, thế vào phương trình ta có: X”Y + XY” = 0
      Từ đó ta có: \dfrac{X''}{X} + \dfrac{Y''}{Y} = 0 \Rightarrow \dfrac{X''}{X} = - \dfrac{Y''}{Y} = \lambda (*)
      Từ điều kiện đầu u_x^{'}(0,y) = 0 \Rightarrow X'(0)Y(y) = 0 \Rightarrow X'(0) = 0
      u_x^{'}(\pi,y) = 0 \Rightarrow X'(\pi)Y(y) = 0 \Rightarrow X'(\pi) = 0
      Từ (*) ta có: X'' - {\lambda}X = 0 (**)
      Phương trình đặc trưng: k^2 - {\lambda} = 0 (***)
      - Th1: \lambda > 0 : k = \pm \sqrt{\lambda} = \pm p (k = p^2)
      Vậy nghiệm của (**) là: X(x) = C_1e^{px} + C_2e^{-px}
      Ta có: X'(x) = pC_1e^{px} - pC_2e^{-px} = 0
      Thế vào điều kiện biên ta có:
      X'(0) = C_1 - C_2 = 0 ; X'(\pi) = C_1e^{p{\pi}} - C_2e^{-p{\pi}} = 0
      \Rightarrow C_1 = C_2 = 0 (loại)
      - Th2: \lambda = 0: X(x) = C_1 + C_2x thế vào điều kiện biên ta có: C_1 = C_2 = 0 (loại)
      - Th3: \lambda < 0: \lambda = -q^2 Thế vào pt đặc trưng (***) ta có: k = \pm i.q \Rightarrow X(x) = A.cosqx + B.sinqx
      Khi đó: X'(x) = -A.q.sinqx + B.q.cosqx
      Thế vào điều kiện biên ta có:
      X'(0) = Bcos0 = 0 \Rightarrow B = 0
      X'(\pi) = A.qsin(q{\pi}) = 0 \Rightarrow sin(q{\pi}) = 0 \rightarrow q = n (n \in N)
      Vậy X_n(x) = A_ncos(nx) ; \lambda = -n^2 (n \in N)
      Do đó từ (*) ta có: \dfrac{Y''}{Y} = n^2 \Rightarrow Y'' - n^2Y = 0
      Từ đó: Y_n(y) = C_ne^{ny} + D_ne^{-ny}
      Vậy u(x,y) =X_n(x).Y_n(Y) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} A_ncos(nx).\left( C_ne^{ny}+D_ne^{-ny} \right)
      Ta có:
      U(x,0) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n(C_n+D_n)cos(nx) = cosx - cos7x
      sử dụng khai tiển Fourier thông thường, ta có:
      A_n(C_n+D_n) = \dfrac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} (cosx-cos7x).cos(nx) \, dx

  11. duc anh
    10.07.2009 lúc 23:43 | #17
    Trả lời | Trích dẫn

    Chào thầy ạ.Em thắc mắc bài này không biết làm thế nào cả..em mong thầy hướng dẫn em cách làm bài này
    f (x, y, z, t) = (x + 2*(y)^2 – 3z + t^2 , x^2 – y + z^2 – t )
    Xét ánh xạ hợp g(x, y) = f(x, y, z(x, y), t(x, y)) trong đó
    z = x^2 – 2y , t = xy . Tính đạo hàm Dg theo công thức đạo hàm hàm hợp và kiểm nghiệm bằng phép tính trực tiếp.

    • 2Bo02B
      11.07.2009 lúc 07:50 | #18
      Trả lời | Trích dẫn

      Ở đây z, t là hai hàm theo 2 biến x, y. Vậy g(x,y) là hàm số hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian z, t.
      Vậy theo quy tắc Xich ta có: { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y} + \dfrac{{\partial}f}{{\partial}z}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} + \dfrac{{\partial}f}{{\partial}t}.{ \dfrac{{\partial}t}{{\partial}x}}
      tương tự cho \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}

      • duc anh
        11.07.2009 lúc 09:13 | #19
        Trả lời | Trích dẫn

        nhưng thầy ơi…em còn chưa hiểu hàm f vẫn chưa xác định được công thức thì làm sao tính đạo hàm df / dx với df / dy được ạ….mà cái kiểm nghiệm bằng phép tính trực tiếp là như thế nào hả thầy….T_T…Mong thầy gợi ý thêm cho em ạ….em cảm ơn thầy nhiều.

  12. lampv270189
    20.09.2009 lúc 18:05 | #20
    Trả lời | Trích dẫn

    giúp em bài này thầy ơi T_T
    The wind-chill index is a measure of how cold it feels in windy weather. It is modeled by the function
    W = 13.12 + 0.6215T – 11.37v^(0.16) + 0.3965Tv^(0.16)
    Where T is the temperature (℃) and v is the wind speed (km/h). when T = -15℃ and v = 30 km/h, by how much would you expect the apparent temperature to drop if the actual temperature decreases by 1℃? What if the wind speed increases by 1 km/h

    • 2Bo02B
      21.09.2009 lúc 07:15 | #21
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài toán yêu cầu tìm sự thay đổi của {\Delta}W(T;v) tại T = -15 và v = 30 khi {\Delta}T = -1 ; {\Delta}v = 1
      Do vậy nó liên quan đến vi phân toàn phần của W. Khi đó, em sử dụng công thức:
      {\Delta}W(T_0;v_0) = \dfrac{{\partial}W}{{\partial}T}(T_0;v_0).{\Delta}T + \dfrac{{\partial}W}{{\partial}v}(T_0;V_0).{\Delta}v

  1. No trackbacks yet.