Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

Để lại phản hồi Go to comments

Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết được tốc độ thay đổi của hàm số khi cho 1 trong các biến số thay đổi giá trị.  Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 biến z = f(x,y) khi cho cả hai biến số thay đổi.

Xét hàm số z = f(x,y) và (x_0 ; y_0) là điểm thuộc miền xác định D. Ta cho x, y thay đổi 1 lượng tương ứng {\Delta}x , {\Delta}y sao cho (x_{0} + {\Delta}x ; y_{0} + {\Delta}y) \in D. Khi đó, giá trị của hàm số sẽ thay đổi một lượng:

{\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)

1. Định nghĩa 1:

Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi tại điểm (x_0;y_0) nếu số gia toàn phần {\Delta}f(x_0;y_0) có thể biểu diễn được dưới dạng:

{\Delta}f(x_0;y_0) = A.({\Delta}x +B.{\Delta}y) +{\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y (1)

trong đó A, B là những số không phụ thuộc Δx, Δy; còn α, β → 0 khi Δx, Δy → 0

Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại (x_0;y_0) ứng với các số gia Δx, Δy và được ký hiệu df(x_0;y_0)

Ví dụ:

Xét hàm số z = x^3 + y^3 . Ta có:

{\Delta}f(x_0;y_0) = (x_0 + {\Delta}x)^3 + (y_0 + {\Delta}y)^3 - x_0^3 - y_0^3

Hay:

{\Delta}f(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y + 3x_0.{\Delta}x^2 + 3y_0.{\Delta}y^2 + {\Delta}x^3 + {\Delta}y^3

Do đó:

A = 3.x_0^2 ; B = 3.y_0^2, {\alpha} = 3x_0.{\Delta}x + {\Delta}x^2 ; {\beta} = 3y_0.{\Delta}y + {\Delta}y^2

Cho nên hàm số khả vi tại (x_0;y_0) và df(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y

Nhận xét:

1. Xét {\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y = \left({\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right).{\rho} , {\rho} = \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2}

Cho {\Delta}x \to 0 , {\Delta}y \to 0 thì \rho \to 0 . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:

0 \le \epsilon = \left | {\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right| \le \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2} \to 0

Do đó, ε là VCB khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng:

{\Delta}f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +B.{\Delta}y) +{\theta}{\rho} , 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn ρ.

2. Ta không thể dùng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số z = sinx.cosy như ở ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm số dạng đa thức, còn các hàm số khác thì không thể dùng định nghĩa để khảo sát sự khả vi tại 1 điểm. Vì vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.

3. Hàm số z = f(x,y) được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D.

2. Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số khả vi)

Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi tại (x_0;y_0) thì nó liên tục tại điểm đó.

Chứng minh:

Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có:

\lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} {\left[f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)\right]} = 0

Vậy: \lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) = f(x_0 ; y_0)

Do đó, hàm số liên tục tại (x_0; y_0) .♦

Nhận xét:

1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tục tại (x_0;y_0) thì sẽ không khả vi tại điểm đó.

2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó.

3. Định lý 2:

Nếu f(x;y) khả vi tại (x_0;y_0) thì nó có các đạo hàm riêng f '_x , f '_y tại (x_0; y_0) và chúng tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của định nghĩa hàm số khả vi.

Chứng minh:

Thật vậy, từ công thức (1) ta cho \Delta y = 0 , ta được:

f(x_0 +{\Delta}x; y_0) -f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +{\alpha}.{\Delta}x

trong đó α →0 khi Δx → 0.

Do đó:

\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} { \dfrac{f(x_0+{\Delta}x ; y_0) - f(x_0 ; y_0)}{{\Delta}x}} = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} (A + \alpha ) = A

Vậy f'_x (x_0; y_0) = A

Hoàn toàn tương tự ta có: f'_y (x_0; y_0) = B

Nhận xét:

1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại (x_0;y_0) thì vi phân toàn phần của hàm số tại (x_0; y_0) được xác định bởi:

df(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}. {\Delta}x + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}. {\Delta}y

2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó đã khả vi tại điểm đó. Ta xét hàm số sau:

G(x;y) = \left \{ \begin{array}{cc} { \dfrac{xy}{x^2 + y^2}} & ,(x,y) \ne (0;0) \\ 0 & , (x,y) = (0;0) \end{array} \right.

Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta có:

G_x(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0) - G(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0)}{h}} = 0

Tương tự ta có: G_y(0;0) = 0 nhưng hàm số G(x;y) không liên tục tại (0; 0) (xem phần giới hạn hàm nhiều biến) nên không khả vi tại (0;0)

4. Định lý 3 (Điều kiện đủ để hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) có các đạo hàm riêng trong một miền D chứa điểm M(x_0;y_0) . Nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.

5. Các ví dụ:

1. Cho hàm: f(x;y) = \left\{\begin{array}{cc} { \dfrac{2xy}{x^2+y^2}} & \text{khi} (x;y) \ne (0;0) \\ 0 & \text{khi} (x;y) = (0;0) \\ \end{array} \right.

Tính { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0;0) và { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0) . Hàm có khả vi tại (0;0) hay không?

Giải

Để tính các đạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng định nghĩa mà không thể thế giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm

Ta có:

{ \dfrac{\partial f}{\partial x}}(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{f(0+h;0)-f(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{0 - 0}{h}} = 0

tương tự: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0) = \lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{f(0;0+h)-f(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{0 - 0}{h}} = 0

Mặc dù, hàm số có 2 đạo hàm riêng tại (0;0) nhưng không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã cho không liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta có.

\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)}f(x;y) = \lim\limits_{x \to 0} { \dfrac{2x.kx}{x^2+k^2x^2}} = { \dfrac{2k}{k^2+1}}

Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn tại.

Do đó: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} f(x;y) \ne f(0;0) = 0

Nên hàm số không liên tục tại (0;0) và do đó nó không khả vi tại (0;0)

2. Tìm vi phân của hàm số: z = ln(x+ \sqrt{x^2+y^2})

Hàm số luôn xác định và liên tục với mọi (x;y) \ne (0;0) nên khả vi tại mọi điểm (x;y) \ne (0;0) . Khi đó ta có:

df = { \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}}}+{ \dfrac{ydy}{\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right){\sqrt{x^2+y^2}}}}

Trang: 1 2

  1. thảo huyền
    04.06.2009 lúc 12:23 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy giả cho e bài này:đây là bài tóan trắc nghiệm
    chi phương trình : y'''= \dfrac{6y}{x^3}
    nếu đổi biến t=ln|x|
    thì phương trình trên trở thành
    A \dfrac{d^3y}{dt^3}+3{ \dfrac{d^2y}{dt^2}}+2{ \dfrac{dy}{dt}}-6y=0
    B \dfrac{d^3y}{dt^3}-3{ \dfrac{d^2y}{dt^2}}-2{ \dfrac{dy}{dt}}-6*y=0
    C \dfrac{d^3y}{dt^3}-3{ \dfrac{d^2y}{dt^2}}+2{ \dfrac{dy}{dt}}-6*y=0
    B \dfrac{d^3y}{dt^3}-3{ \dfrac{d^2y}{dt^2}}+2{ \dfrac{dy}{dt}}+6*y=0

    • 2Bo02B
      05.06.2009 lúc 11:17 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Để giải bài này em chú ý các kết quả sau:
      \dfrac{dy}{dx} = { \dfrac{dy}{dt}}.{ \dfrac{dt}{dx}} \Rightarrow \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{ \dfrac{dy}{dx}}{ \dfrac{dt}{dx}} = x.{ \dfrac{dy}{dx}}
      Từ đó:
      \dfrac{d^2y}{dt^2} = \left( x.{ \dfrac{dy}{dx}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{1}{ \dfrac{dt}{dx}}} = x. \left( { \dfrac{dy}{dx}} + x.{ \dfrac{d^2y}{dx^2}} \right) (2)
      tương tự: để tính \dfrac{d^3y}{dt^3} em lấy đạo hàm vế phải của 2 theo x, rồi chia cho \dfrac{dt}{dx} . Từ đó, ta có:
      \dfrac{d^3y}{dt^3} = x^3.{ \dfrac{d^3y}{dx^3}}+3x^2.{ \dfrac{d^2y}{dx^2}}+x.{ \dfrac{dy}{dx}}
      Khi đó, em dễ dàng nhận thấy đáp án C là đáp án đúng.

  2. tiến tài
    06.07.2009 lúc 10:26 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    Em chào thầy!
    Hôm nay em tình cờ vào blog của thầy. Quả thực đây là nơi rất bổ ích để tham khảo cũng như bổ sung kiến thức. Em cũng đã xong học sư phạm lý (HN) nhưng quả thực thấy kiến thức của mình còn vô cùng hạn chế nên rất mừng khi tìm được blog của thầy.
    Chúc thầy và gia đình luôn mạnh koẻ

  3. Tuananh
    16.09.2009 lúc 08:51 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    thay oi cho em hoi em lam bai tap Dk .(định nghĩa hàm số khả vi.Phát biểu và chứng minh điều kiện cần của hàm số khả vi.phát biểu chứng minh các định lý về giá trị trung binh.nêu rõ mối quan hệ giữa các định lý đó.)em chép het bài trên của thầy đă đủ chưa vậy thầy

    • 2Bo02B
      16.09.2009 lúc 18:52 | #5
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài tập điều kiện của em cho hàm số một biến, hay nhiều biến. Nếu nhiều biến thì là bao nhiêu biến… Quan trọng không phải là chép hết, mà quan trọng là mình hiểu gì về nó em à.

  4. myhong
    13.10.2009 lúc 09:15 | #6
    Trả lời | Trích dẫn

    em cám ơn thầy nhiều, bài giảng rất cụ thể ^^
    thầy cho em hỏi đề yêu cầu khảo sát sự khả vi của hàm số tại 1 điểm nào đó thì mình cần làm những bước nào ạ?

  5. Giang
    09.11.2009 lúc 12:27 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    Tại sao khi làm 1 bài toán chứng minh khả vi
    Vd như tìm a, b để hàm khả vi mình lại pahỉ xét tính liên tục của nó
    Như f(x) = s.sin1/x nếu x>= 0
    ax^2 +b nếu x<0
    ta lại phải xét tính liên tục, rồi lại xét tính khả vi tiếp
    Anh chị nào có thể giải thích cho em đc không
    Em đang học năm đầu xây dựng

  1. No trackbacks yet.