Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến

1. CÁC VÍ DỤ MỞ ĐẦU:

Trong quá trình tính toán để xác định một dữ kiện nào đó, ta thường phải xác định rất nhiều thông số.

Ví dụ 1: Thể tích của hình trụ được xác định bởi: V = {\pi}r^2h

Như vậy, xác định được bán kính r và chiều cao h ta tính được thể tích V. (r,h) \rightarrow V= f(r,h)

Ví dụ 2: Bài toán về con lắc toán học.

Cho một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo một đường tròn L trong mặt phẳng thẳng đứng, dưới tác dụng của trọng lực. Nếu bỏ qua sức cản (lực ma sát, sức cản không khí…) thì phương trình chuyển động của chất điểm là:

s = s_0 \sin \left( \sqrt{ \dfrac{g}{l}}t \right) ; l bán kính, s0 biên độ.

Nghĩa là: (s_0, l, t) sẽ xác định được vị trí của chất điểm M tại thời gian t: s = f(s_0, l, t)

Ví dụ 3: Tốc độ phân hủy của một chất bán rã tỉ lệ thuận với khối lượng của nó tại mỗi thời điểm. Khối lượng của chất bán rã còn lại sau thời gian t được xác định bởi: m = m_0e^{-kt}

trong đó: m0 khối lượng ban đầu, k hệ số phân rã, t thời gian.

Vậy: (m_0, k, t) \rightarrow m = g(m_0, k, t)

Ví dụ 4: Tầm đi xa R của đường bay của viên đạn bắn ra với vận tốc ban đầu  V_0 từ nòng súng làm với đường nằm ngang một góc \varphi được xác định bởi:

R = \dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\varphi }{g} \Rightarrow (v_0, \varphi) \rightarrow R(v_0, \varphi) .

2. ĐỊNH NGHĨA HÀM NHIỀU BIẾN:

Giả sử D là tập hợp của n số thực (x_1, x_2, ..., x_n) . Một hàm số thực f trên D là một biểu thức (quy tắc toán học) ứng mỗi phần tử của D xác định một giá trị thực w = f(x_1, x_2, ..., x_n) . Ký hiệu: f : D \rightarrow R .

Khi đó: f là một hàm số của n biến số độc lập x_1, x_2, ..., x_n xác định trên D.

Trong trường hợp hàm hai biến, ta dùng ký hiệu z = f(x, y)

Tập hợp tất cả các giá trị x_1, x_2, ..., x_n làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi là miền xác định của hàm số f, ký hiệu D_f .

Nếu tương ứng cặp giá trị (x, y) với 1 điểm M(x,y) trong mặt phẳng Oxy thì miền xác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tại những điểm đó hàm số được xác định. Vì vậy, miền xác định của hàm số hai biến thường được biểu diễn hình học.

Tập hợp các giá trị w được xác định bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàm số.

Ví dụ: Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số: z = \sqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}

Ta có miền xác định $ latex D_f = \left\{(x, y): 1 -x^2 -y^2 \ge 0 \right\} $. Đó là những điểm nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 1.

Biểu diễn hình học:

hnb13. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:

3.1 Khoảng cách:

Giả sử M(x_1,x_2,...,x_n), N(y_1, y_2, ...,y_n) là hai điểm trong R^n . Khoảng cách giữa hai điểm ấy, ký hiệu là d(M,N), được cho bởi công thức:

d(M,N) = {{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-{{y}_{i}} \right)}^{2}}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}

3.2 Lân cận:

Cho M_0 là một điểm thuộc R^n . Lân cận (bán kính \varepsilon hoặc \varepsilon – lân cận) của M_0 là tập hợp tất cả những điểm M của R^n sao cho d(M,M_0) < \varepsilon . Ký hiệu B(M_0, \varepsilon)

3.3 Điểm trong: (Interrior point)

E là một tập hợp trong \mathbb{R}^n . Điểm M \in E được gọi là điểm trong (int) của E nếu: \exists r>0: B(M,r) \subset E

(Vẽ hình minh họa)

3.4 Điểm biên: (Boundary point)

Điểm M được gọi là điểm biên của E nếu mỗi lân cận của M đều có chứa điểm thuộc E và điểm không thuộc E. Tập hợp các điểm biên được gọi là biên của E ký hiệu \delta

(Vẽ hình minh hoạ)

3.5 Tập mở: Tập E được gọi là mở (open set) nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

3.6 Tập đóng: Tập E được gọi là đóng (close set) nếu nó chứa mọi điểm biên của nó.

3.7 Tập bị chặn: Tập E được gọi là bị chặn (giới nội, bounded) nếu: \exists r>0: E \subset B(0; r)

3.8 Tập liên thông: Tập E gọi là liên thông nếu mọi cặp điểm P1, P2 trong E luôn có một đường cong liên tục nối P1 và P2 và nằm hoàn toàn trong E.

Ví dụ: Trong mặt phẳng (Oxy) hãy tìm một số ví dụ về tập mở, tập đóng, tập bị chặn.

4. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA HÀM HAI BIẾN:

4.1 Đồ thị hàm nhiều biến: Đối với hàm nhiều biến số, ta chỉ có thể biểu diễn hình học, bằng vẽ đồ thị, hàm hai biến z = f(x,y).

Đồ thị của hàm số z = f(x,y) là tập hợp G(f) = \{(x, y, f(x,y)) \in \mathbb{R}^3 : (x,y) \in D(f) \}

Đồ thị của hàm số f(x,y) còn được gọi là mặt z = f(x,y). Đây là một mặt cong trong không gian ba chiều với hệ tọa độ Decartes (Oxyz).

4.2 Đường mức: Tập hợp những điểm trong mặt phẳng mà tại đó hàm số f(x,y)f(x,y) = C gọi là đường mức của hàm f. có một giá trị hằng số

Đường cong này chính là hình chiếu thẳng đứng lên Oxy của giao đồ thị của hàm với mặt phẳng ngang z = C.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số f(x,y) = 100 - x^2 - y^2 và vẽ các đường mức f(x,y) = 0; f(x,y) = 51, f(x,y) = 75 trong mặt phẳng (Oxy).

Trong áp dụng thực tế, các bản đồ địa lý và khí tượng thuờng ở dạng tập các đường mức, chẳng hạn là các đường có cùng độ cao trong bản đồ địa hình, các đường đẳng áp, các đường đẳng nhiệt… trong bản đồ khí tượng.

Nhận xét: Tuy không biết được hình dạng của hàm 3 biến trong không gian, nhưng ta có thể dùng các đường mức để biểu diễn hình học hàm 3 biến. Thay cho các đường mức n =3 ta có các mặt mức.

5. CÁC MẶT CONG THÔNG DỤNG:

Ta đã biết đồ thị của hàm hai biến z= f(x,y) là mặt cong trong không gian ba chiều Oxyz. Bây giờ ta xét các mặt cong đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và ứng dụng.

5.1. Mặt phẳng: Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính: Ax + By + Cz + D = 0. (1)

Ở đây, vectơ n(A,B,C) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu biết vecto pháp tuyến và một điểm P(x^0, y^0, z^0) của mặt phẳng thì nó được xác định hoàn toàn và có phương trình:

A(x - x^0) + B(y - y^0) + C(z - z^0) = 0

Vậy phương trình bậc nhất (3 biến) là phương trình mặt phẳng, dạng tổng quát là (1). Phương trình bậc 2 tổng quát (của 3 biến) là:

Ax^2 + By^2 +Cy^2 +2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0

5.2. Mặt bậc 2 suy biến:

Ta có các trường hợp đặc biệt, gọi là suy biến của phương trình (2) như sau:

Tập rỗng: ví dụ: x^2 = -1

Một điểm: ví dụ: x^2 + y^2 + z^2 = 0

Một đường thẳng: ví dụ: x^2 + y^2 = 0

Một mặt phăng: ví dụ: x^2 = 0

Hai mặt phẳng song song: ví dụ: y^2 = 1

Hai mặt phẳng giao nhau: thí dụ: xy = 0 .

Trong các mặt bậc 2 không suy biến, tức là mặt chính quy, thì các mặt sau đây, mà ta xét lần lượt, là quan trọng nhất.

5.3. Ellipsoid: là mặt có phương trình: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1

Ta thấy ngay là (x,y,z) thuộc mặt thì ({\pm}x, {\pm}y, {\pm}z) cũng thuộc mặt, nên mặt này đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ và do đó cũng đối xứng qua gốc tọa độ. Giao tuyến của nó với các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ là các đường ellipse, hoặc là tập trống.

hnb2Chẳng hạn giao bởi mặt phẳng z = h sẽ là ellipse \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 - \dfrac{h^2}{c^2} \\ z=h \\ \end{array} \right. Nếu -c < h < c

Khi a = b ta được ellipse tròn xoay.

Khi a = b = c ta được mặt cầu.

Thảo luận

13 thoughts on “Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến

  1. thầy ơi giúp em bài này với
    xét trong R2 tập E={(x1,x2); (x1^2/4)+(x2^2/9)<1}
    chứng tỏ rằng E là tập mở, bị chặn.

    Like

    Posted by tran trung thanh | 11/02/2014, 12:05
  2. Giải giúp em bài toán: tính giới hạn của (xy)/(can bậc 2 của x^2 + y^2) khi x,y dần về (0;0)

    Like

    Posted by Nguyen thien my | 18/10/2010, 19:04
  3. Thầy ơi! Thầy có thể giải thích cho em phân biệt rõ 2 khái niệm hàm số liên tục và liên tục đều được không ạ? Rất cảm ơn Thầy!

    Like

    Posted by tnkh | 11/01/2010, 14:38
  4. cho em hỏi cách tính giới hạn và cách tìm miền giá trị của hàm 2 biến,em đọc 1 số sách thì họ làm khó hiễu quá,thầy có thể hướng dẫn em phương pháp tổng quát để tìm giới hạn và miền giá trị được không ạ?

    Like

    Posted by phùng huấn | 14/10/2009, 20:23
  5. thay oi goi y cho em cm: A compact va B dong => A+B dong. Chi ra mot day bi chan nhung ko la day cauchy. nhanh thay nghe em rat can. em cam on thay. Rat mong thay hoi am.

    Like

    Posted by Thanh Quan | 10/08/2009, 09:01
  6. Cơ cấu phanh dùng dây như hình 9. Hệ số ma sát giữa đĩa và đai là f = 0,30; khoảng cách a = 12,7 cm; b = R = 38 cm; lực P = 45 N. Gọi M là mômen ngẫu lực đặt vào đĩa. Xác định M để đĩa cân bằng (a) khi M thuận chiều kim đồng hồ, (b) ngược chiều kim đồng hồ.

    Like

    Posted by tungduong | 28/05/2009, 11:34
  7. thầy ơi cho em hỏi làm sao em có thể vẽ hình lên được diển đàn vậy .àh . thầy có thể cho em biết một số trang web học môn cơ lí thuyết được không àh

    Like

    Posted by tungduong | 27/05/2009, 22:41
    • Đầu tiên, em đưa hình lên 1 host bất kỳ. Sau đó, trong phần viết comment, em thêm đoạn mã sau thì sẽ thể hiện hình trong comment của mình:
      $img src=”http://dia chi host” alt=”mo ta ve hinh anh” /$
      Em lưu ý, thay dấu $ ở sau bằng > và ở trước bằng <
      Để tìm tài liệu học môn Cơ lý thuyết em có thể vào http://thuvienvatly.info hoặc http://vatlysp.com

      Like

      Posted by 2Bo02B | 27/05/2009, 22:53
  8. mọi người giúp em với.em muốn tìm tài liệu về ứng dụng của định lý Rolle trong hàm số nhiều biến số.em cảm ơn mọi người nhiều a

    Like

    Posted by thuy | 28/03/2009, 09:43
  9. rat hay

    Like

    Posted by viet | 03/02/2009, 07:39

Trackbacks/Pingbacks

  1. Pingback: Tích phân hai lớp (Tích phân kép) « vươn tới ước mơ - 21/08/2010

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 003 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 003 other followers

%d bloggers like this: