Giới hạn của hàm hai biến số

Để lại phản hồi Go to comments

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm M_n(x_n, y_n) dần đến điểm M_0(x_0,y_0) và viết M_n \to M_0 , nếu dãy khoảng cách d(M_n, M_0) dần đến 0 khi n \to \infty .

Nhận xét:

Vì d(M_n;M_0) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}

nên : \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d({x_n};{y_n}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_n} \to {x_0} \\ {y_n} \to {y_0} \\ \end{array} \right.

Ví dụ 1:

\left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{1}{n}} \right) \to \left( 0;0 \right) ; \left({ \dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ \dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} \right)\xrightarrow{n\to \infty }(1;0)

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm (a; b) \in {\mathbb{R}}^2 là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy \{x_n ; y_n \} \in E, (x_n ; y_n) \ne (a; b) sao cho (x_n ; y_n) \to (a; b)

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M_0(x_0, y_0), (có thể trừ điểm M_0 ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến M_0 khi và chỉ khi: với mọi dãy M_n(x_n ; y_n) (\ne M_0) dần tiến đến M_0 ta đều có: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim}} \, f(x_n; y_n) = L

Khi đó, ta viết: \lim\limits_{(x;y) \to (x_0;y_0)} f(x;y) = L hay \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim}} \, f(x;y) = L

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi x \to x_0, y \to y_0 (hay là M(x;y) \to M_0(x_0 ; y_0) nếu:

\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:d(M,M_0)< \delta \Rightarrow \left| f(M)-L \right| < \varepsilon

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến (x_0; y_0) theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến (x_0; y_0) , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy \left(x_n^1;y_n^1 \right) , \left( x_n^2;y_n^2 \right) cùng dần tiến về \left( x_0;y_0 \right) nhưng : f\left( x_{n}^{1};y_{n}^{1} \right)\to {{L}_{1}}\ne f\left( x_{n}^{2};y_{n}^{2} \right)\to {{L}_{2}} .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi x \to x_0, y \to y_0 .

2. Định lý:

Cho \lim f(x;y) = a, \qquad \lim g(x;y) = b thì:

1. \lim \left[ f(x;y)+g(x;y) \right] = a+b

2. \lim cf(x;y) = c.a (c là hằng số hữu hạn)

3. \lim \left[ f(x;y).g(x;y) \right] = a.b

4. \lim \left[ \dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} \right] = \dfrac{a}{b} (b \ne 0)

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

h(x;y)\le f(x;y)\le g(x;y),\forall (x;y)\in D

Hơn nữa: \lim h(x;y) = \lim g(x;y) = 0

Khi đó: \lim f(x;y) = 0

4. Các ví dụ:

a.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{x} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{y.\sin xy}{xy} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, y.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{xy} = 0.1 = 0

b. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Cách 1: Ta xét hai dãy \left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{1}{n} \right),\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{2}{n} \right)\to (0;0)

Ta có: f(x;y) = \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Và: f \left( \dfrac{1}{n} ; \dfrac{1}{n} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{1}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{1}{n^2}}}} \to { \dfrac{1}{2}}

nhưng f \left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{2}{n}} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{2}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{4}{n^2}}}} \to { \dfrac{2}{5}}

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = \dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}

Ta có: 0\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} \right| = \dfrac{1}{2}\left| x \right|, \forall (x,y) \ne (0;0)

Mà: \underset{(x;y)\to (0;0)}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right| = 0

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \left|{ \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} \right| = 0

Vậy: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị y \ne y_0 , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y)=g(y)

Nếu tồn tại giới hạn: \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(y) = a thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi x \to x_0 , y \to y_0 và viết:\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }} \, \left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right) = a .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right)

Trang: 1 2

  1. moneynghia
    18.02.2009 lúc 21:26 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    thưa thầy cho em hỏi bài này:
    lim
    x->0 y(x^2+y^2) / [y^2 + (x^2+y^2)^2]
    y->0

    nếu em làm theo cách chọn dãy hoặc là đặt y theo x thì em làm ra là không có giới hạn
    nhưng khi em đưa về tọa độ cực:
    lim r^3sinp / [r^2(sinp)^2 + r^4]
    r->0
    thì em làm cách nào giới hạn nó cũng ra 0 hết (không phụ thuộc vào p) vậy thì làm sao kết luận nó ko có giới hạn dc vậy thầy. lỡ giả sử đề thi yêu cầu mình phải đổi ra tọa độ cực mà làm thì không lẽ em phải pó tay.

    mà thầy ơi sao cái Mathtype6.0 em đánh xong hết trơn rồi mà sao khi copy wa đây lại không paste dc vậy thầy,

  2. 2Bo02B
    18.02.2009 lúc 23:02 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    Em chưa xét đường cong r = sinp (đường tròn x^2 + y^2 = y) nên có kết quả chưa đúng. Vả lại, việc chuyển qua tọa độ cực cũng chỉ giúp xem xét giới hạn đang xét có khả năng tồn tại hay không, chứ dựa vào đó vẫn chưa thể kết luận được giá trị giới hạn của hàm số.
    Về MathType, có lẽ em chưa chọn bộ gõ LATEX 2.09 trong mục Translator ở menu Preferences của Math Type rồi

  3. moneynghia
    19.02.2009 lúc 22:43 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi đối với những bài mà chỉ có tích thui (ở tử hoặc mẫu) thì em thấy ta có thể đặt x = m^a ,y = m^b
    rùi sau đó thế vào tử và mẫu và cho bậc cao nhất của tử = bậc cao nhất của mẫu để tìm ra a theo b từ đó ta tìm dc 1 dãy số phù hợp.

    vd:
    \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle x \to 0 \hfill \atop \scriptstyle y \to 0 \hfill} \dfrac{{x^3 y}}{{x^6 + y^2 }} \to \dfrac{{m^{3a + b} }}{{m^{6a} + m^{2b} }} \\ 6a > 2b \to 3a > b \to 3a + b = 6a \to b = 3a \\ 6a < 2b \to 3a < b \to 3a + b = 2b \to b = 3a \\ 6a = 3b \to b = 3a \\ \end{array}
    vậy b=3a
    nên ta chọn dãy \begin{array}{l} (\dfrac{1}{{n^3 }},\dfrac{1}{n}) \to (0,0),n \to \infty \\ f(\dfrac{1}{{n^3 }},\dfrac{1}{n}) \to \dfrac{1}{2} \\ \end{array}
    còn lại thì chọn 1 trong 3 dãy cơ bản là dc

    • 2Bo02B
      20.02.2009 lúc 06:58 | #4
      Trả lời | Trích dẫn

      trong phần translator của menu Preference của MathType, em đã thiết lập dư các tùy chọn, nên công thức hiện ra bị dư các mã, thầy đã xóa các đoạn mã đi rồi. Em xem lại bài hướng dẫn nhé

      • moneynghia
        20.02.2009 lúc 07:11 | #5
        Trả lời | Trích dẫn

        lạ nhỉ, hồi trước em có đọc thấy bài hướng dẫn ở đâu đó mà sao bi h em kiếm ko ra thầy ơi

        • 2Bo02B
          20.02.2009 lúc 20:17 | #6
          Trích dẫn

          Em xem phần chú ý ở mục đôi lời, bên menu cột phải đó

  4. moneynghia
    03.03.2009 lúc 20:18 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    thưa thầy cho em hỏi bài này tí: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)}{ \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}}
    Xét (x;y) tiến về (0;0) theo họ đường cong y^2 = kx^4 - x^2 = x^2 (kx^2 - 1)
    Khi đó: \lim\limits_{x \to 0}{ \dfrac{x^4 + x^4(kx^2 - 1)^2}{kx^4}} = { \dfrac{2}{k}}
    với cách giải như trên thì hàm ko có giới hạn nhưng
    Ta có: 0 \le { \dfrac{x^2}{x^2 + y^2}} \le 1 , 0 \le { \dfrac{y^2}{x^2 + y^2}} \le 1
    \Rightarrow 0 \le { \dfrac{x^4}{x^2 + y^2}} \le x^2 , 0 \le { \dfrac{y^4}{x^2 + y^2}} \le y^2
    \Rightarrow 0 \le { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le x^2 + y^2
    \Rightarrow \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} 0 \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} x^2 + y^2
    \Rightarrow 0 \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le 0
    vậy giới hạn là 0
    vậy bài này có giới hạn ko vậy thầy ?

    • 2Bo02B
      03.03.2009 lúc 21:29 | #8
      Trả lời | Trích dẫn

      Đây là câu hỏi khá thú vị, nên Thầy chuyển về mục lời bình của trang giới hạn hàm 2 biến luôn.
      Thoạt nhìn, cả hai cách, cách nào cũng có lý cả. Vậy cách nào đúng, cách nào sai?
      Với cách 2 thì không thể bắt bí chỗ nào được cả, nếu vậy thì giới hạn bằng 0, nhưng lại mâu thuẫn với cách 1. Lạ nhỉ?
      Cách 1, khi thế đường cong vào giới hạn thì mọi thứ đều ổn. Vậy việc chọn đường cong đã hợp lý chưa?
      À, xem nào y^2 = x^2(kx^2 -1) tồn tại khi nào ta? A, đây rồi, đường cong muốn tồn tại thì phải có kx^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow kx^2 \ge 1 . Như vậy k dương và x \ge { \dfrac{\sqrt{k}}{k}} ; x \le -{ \dfrac{\sqrt{k}}{k}} , mà nếu vậy thì x không thể tiến đến 0 được. Vậy là sai lầm ở đây nè.

  5. moneynghia
    04.03.2009 lúc 12:30 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    àh, thì ra là vậy, em cám ơn thầy nhiều

  6. Vo Hoai Son
    20.03.2009 lúc 21:44 | #10
    Trả lời | Trích dẫn

    Sao trang này có nhiều chỗ ‘Formula does not parse’ nên cũng bị mất một vài thông tin.

    Nhưng dù sao cũng cảm ơn thầy vì em đã hiểu thêm bài này rồi!

    • 2Bo02B
      20.03.2009 lúc 22:13 | #11
      Trả lời | Trích dẫn

      Cảm ơn bạn đã cung cấp thông tin, hiện tại, các lỗi “Formula does not parse” đã được khắc phục. Nguyên do là lỗi phát sinh trong quá trình đổi tăng cỡ chữ làm cho đoạn code của Latex không thể chuyển sang dạng hình ảnh nên công thức thể hiện không được.

  7. Hoàng Viết Hội
    24.03.2009 lúc 11:10 | #12
    Trả lời | Trích dẫn

    Em mong thầy giải giúp em bài tập này:
    lim(sin3x+cos4x) khi x tiến tới 0.

    • moneynghia
      02.10.2009 lúc 21:57 | #13
      Trả lời | Trích dẫn

      lấy máy tính bấm ra liền mà ^.^

  8. Hoàng Viết Hội
    05.04.2009 lúc 12:29 | #14
    Trả lời | Trích dẫn

    tai sao mai ko co ai giai cho nhi

  9. maihhuongk12
    14.05.2009 lúc 18:26 | #15
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi thầy có thể cho em một số cách để lấy dãy chứng minh hàm không liên tục đều không ạ . Có cách nòa để mình xác đinh bằng trực quan một hàm có lien tục đều hay không một cách tương đối chính xác không ạ? Em cảm ơm thầy ạ

  10. nguyenducminh
    02.10.2009 lúc 19:16 | #16
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi cho em hỏi có những phương pháp nào để tìm giới hạn hàm nhiều biến số

    • moneynghia
      02.10.2009 lúc 22:02 | #17
      Trả lời | Trích dẫn

      nếu muốn cm hàm có giới hạn thì chỉ có thể dùng định lý kẹp ” bánh mì săn wích”
      còn để cm hàm ko có giới hạn thì có 3 cách:
      - chọn 2 dãy, rùi cm ứng với 2 dãy đóa thì giới hạn khác nhau
      - chọn dãy = cách đặt theo biến k rùi cm giới hạn phụ thuộc vào k
      - đổi sang tọa độ cực, cm giới hạn phụ thuộc góc phi

  11. phùng huấn
    14.10.2009 lúc 20:46 | #18
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy cho em hỏi cách tìm miền giá trị hàm 2 biến,và nhờ thầy giải giùm mấy bài này
    {sin(x^3+y^3)}/(x^2+y^2) ;{1-cos(x^2+y^2)}/{(x^2+y^2).x^2.y^2}

    và cho em hỏi khi chọn dãy và đường cong để cm ko tồn tại,thì chọn thế nào?Em cám ơn

  12. phùng huấn
    15.10.2009 lúc 22:48 | #19
    Trả lời | Trích dẫn

    mọi người và thầy giúp em với

  13. quang dinh
    11.11.2009 lúc 12:47 | #20
    Trả lời | Trích dẫn

    thua thay, em moi hoc mon giai tich ham nhieu bien thoi. nhung da bi kho khan ngay phan gioi han ham nhieu bien roi. em co cau hoi the nay: doi voi nhung ham ma gioi han cua no khong ton tại thì tai sao khi M(x,y) tien toi den diem Mo(xo,yo) theo nhieu dang đường khac nhau thì no lai cho ra nhieu gioi han khac nhau. mac dù cùng ve mot gia tri xo,yo.nhu vay, co phai hàm F(x,y) phu thuoc vao ham y=f(x) và neu co thi ve mac ly thuyet no se lien he voi nhau nhu the nao . thua thay

    • 2Bo02B
      13.11.2009 lúc 22:52 | #21
      Trả lời | Trích dẫn

      Giới hạn nếu có là duy nhất. Do đó, dù (x,y) có tiến về (x0;y0) như thế nào đi chăng nữa thì f(x;y) phải tiến về cùng 1 giá trị L thì mới tồn tại giới hạn, và giới hạn đó bằng đúng L. Do đó, không thể nói là cho ra nhiều giới hạn khác nhau được em à.

  14. quang dinh
    17.11.2009 lúc 17:43 | #22
    Trả lời | Trích dẫn

    da cám on thay, em suy nghi them ve van de nay,

Comment pages
  1. No trackbacks yet.