Giới hạn của hàm hai biến số

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm M_n(x_n, y_n) dần đến điểm M_0(x_0,y_0) và viết M_n \to M_0 , nếu dãy khoảng cách d(M_n, M_0) dần đến 0 khi n \to \infty .

Nhận xét:

d(M_n;M_0) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}

nên : \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d({x_n};{y_n}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_n} \to {x_0} \\ {y_n} \to {y_0} \\ \end{array} \right.

Ví dụ 1:

\left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{1}{n}} \right) \to \left( 0;0 \right) ; \left({ \dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ \dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} \right)\xrightarrow{n\to \infty }(1;0)

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm (a; b) \in {\mathbb{R}}^2 là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy \{x_n ; y_n \} \in E, (x_n ; y_n) \ne (a; b) sao cho (x_n ; y_n) \to (a; b)

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M_0(x_0, y_0), (có thể trừ điểm M_0 ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến M_0 khi và chỉ khi: với mọi dãy M_n(x_n ; y_n) (\ne M_0) dần tiến đến M_0 ta đều có: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim}} \, f(x_n; y_n) = L

Khi đó, ta viết: \lim\limits_{(x;y) \to (x_0;y_0)} f(x;y) = L hay \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim}} \, f(x;y) = L

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi x \to x_0, y \to y_0 (hay là M(x;y) \to M_0(x_0 ; y_0) nếu:

\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:d(M,M_0)< \delta \Rightarrow \left| f(M)-L \right| < \varepsilon

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến (x_0; y_0) theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến (x_0; y_0) , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy \left(x_n^1;y_n^1 \right) , \left( x_n^2;y_n^2 \right) cùng dần tiến về \left( x_0;y_0 \right) nhưng : f\left( x_{n}^{1};y_{n}^{1} \right)\to {{L}_{1}}\ne f\left( x_{n}^{2};y_{n}^{2} \right)\to {{L}_{2}} .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi x \to x_0, y \to y_0 .

2. Định lý:

Cho \lim f(x;y) = a, \qquad \lim g(x;y) = b thì:

1. \lim \left[ f(x;y)+g(x;y) \right] = a+b

2. \lim cf(x;y) = c.a (c là hằng số hữu hạn)

3. \lim \left[ f(x;y).g(x;y) \right] = a.b

4. \lim \left[ \dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} \right] = \dfrac{a}{b} (b \ne 0)

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

h(x;y)\le f(x;y)\le g(x;y),\forall (x;y)\in D

Hơn nữa: \lim h(x;y) = \lim g(x;y) = 0

Khi đó: \lim f(x;y) = 0

4. Các ví dụ:

a.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{x} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{y.\sin xy}{xy} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, y.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{xy} = 0.1 = 0

b. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Cách 1: Ta xét hai dãy \left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{1}{n} \right),\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{2}{n} \right)\to (0;0)

Ta có: f(x;y) = \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Và: f \left( \dfrac{1}{n} ; \dfrac{1}{n} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{1}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{1}{n^2}}}} \to { \dfrac{1}{2}}

nhưng f \left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{2}{n}} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{2}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{4}{n^2}}}} \to { \dfrac{2}{5}}

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = \dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}

Ta có: 0\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} \right| = \dfrac{1}{2}\left| x \right|, \forall (x,y) \ne (0;0)

Mà: \underset{(x;y)\to (0;0)}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right| = 0

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \left|{ \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} \right| = 0

Vậy: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị y \ne y_0 , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y)=g(y)

Nếu tồn tại giới hạn: \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(y) = a thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi x \to x_0 , y \to y_0 và viết:\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }} \, \left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right) = a .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right)

Thảo luận

90 thoughts on “Giới hạn của hàm hai biến số

  1. Thầy có thể ví dụ cụ thể về giới hạn lặp khi tiến đến vô cùng đc ko ạ

    Like

    Posted by trang | 30/03/2014, 17:24

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 003 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 003 other followers

%d bloggers like this: