Giới hạn của hàm hai biến số « Maths 4 Physics(M4Ps) and more…

Giới hạn của hàm hai biến số

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm $M_n(x_n, y_n)$ dần đến điểm $M_0(x_0,y_0)$ và viết $M_n \to M_0$ , nếu dãy khoảng cách $d(M_n, M_0)$ dần đến 0 khi $n \to \infty$ .

Nhận xét:

Vì $d(M_n;M_0) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$

nên : $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d({x_n};{y_n}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_n} \to {x_0} \\ {y_n} \to {y_0} \\ \end{array} \right.$

Ví dụ 1:

$\left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{1}{n}} \right) \to \left( 0;0 \right)$ ; $\left({ \dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ \dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} \right)\xrightarrow{n\to \infty }(1;0)$

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm $(a; b) \in {\mathbb{R}}^2$ là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy $\{x_n ; y_n \} \in E, (x_n ; y_n) \ne (a; b)$ sao cho $(x_n ; y_n) \to (a; b)$

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm $M_0(x_0, y_0),$ (có thể trừ điểm $M_0$ ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến $M_0$ khi và chỉ khi: với mọi dãy $M_n(x_n ; y_n) (\ne M_0)$ dần tiến đến $M_0$ ta đều có: $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim}} \, f(x_n; y_n) = L$

Khi đó, ta viết: $\lim\limits_{(x;y) \to (x_0;y_0)} f(x;y) = L$ hay $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim}} \, f(x;y) = L$

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi $x \to x_0, y \to y_0$ (hay là $M(x;y) \to M_0(x_0 ; y_0)$ nếu:

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:d(M,M_0)< \delta \Rightarrow \left| f(M)-L \right| < \varepsilon$

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến $(x_0; y_0)$ theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến $(x_0; y_0)$ , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy $\left(x_n^1;y_n^1 \right)$ , $\left( x_n^2;y_n^2 \right)$ cùng dần tiến về $\left( x_0;y_0 \right)$ nhưng : $f\left( x_{n}^{1};y_{n}^{1} \right)\to {{L}_{1}}\ne f\left( x_{n}^{2};y_{n}^{2} \right)\to {{L}_{2}}$ .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi $x \to x_0, y \to y_0$ .

2. Định lý:

Cho $\lim f(x;y) = a, \qquad \lim g(x;y) = b$ thì:

1. $\lim \left[ f(x;y)+g(x;y) \right] = a+b$

2. $\lim cf(x;y) = c.a$ (c là hằng số hữu hạn)

3. $\lim \left[ f(x;y).g(x;y) \right] = a.b$

4. $\lim \left[ \dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} \right] = \dfrac{a}{b} (b \ne 0)$

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

$h(x;y)\le f(x;y)\le g(x;y),\forall (x;y)\in D$

Hơn nữa: $\lim h(x;y) = \lim g(x;y) = 0$

Khi đó: $\lim f(x;y) = 0$

4. Các ví dụ:

a. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{x} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{y.\sin xy}{xy} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, y.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{xy} = 0.1 = 0$

b. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Cách 1: Ta xét hai dãy $\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{1}{n} \right),\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{2}{n} \right)\to (0;0)$

Ta có: $f(x;y) = \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Và: $f \left( \dfrac{1}{n} ; \dfrac{1}{n} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{1}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{1}{n^2}}}} \to { \dfrac{1}{2}}$

nhưng $f \left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{2}{n}} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{2}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{4}{n^2}}}} \to { \dfrac{2}{5}}$

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = \dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}$

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

Ta có: $0\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} \right| = \dfrac{1}{2}\left| x \right|, \forall (x,y) \ne (0;0)$

Mà: $\underset{(x;y)\to (0;0)}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right| = 0$

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \left|{ \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} \right| = 0$

Vậy: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0$

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị $y \ne y_0$ , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y)=g(y)$

Nếu tồn tại giới hạn: $\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(y) = a$ thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi $x \to x_0 , y \to y_0$ và viết: $\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }} \, \left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right) = a$ .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right)$

Trang: 1 2

45 phản hồi

maihhuongk12, on Tháng Năm 14th, 2009 lúc 18:26 Said:

thầy ơi thầy có thể cho em một số cách để lấy dãy chứng minh hàm không liên tục đều không ạ . Có cách nòa để mình xác đinh bằng trực quan một hàm có lien tục đều hay không một cách tương đối chính xác không ạ? Em cảm ơm thầy ạ

Trả lời
Hoàng Viết Hội, on Tháng Tư 5th, 2009 lúc 12:29 Said:

tai sao mai ko co ai giai cho nhi

Trả lời
Hoàng Viết Hội, on Tháng Ba 24th, 2009 lúc 11:10 Said:

Em mong thầy giải giúp em bài tập này:
lim(sin3x+cos4x) khi x tiến tới 0.

Trả lời
Vo Hoai Son, on Tháng Ba 20th, 2009 lúc 21:44 Said:

Sao trang này có nhiều chỗ ‘Formula does not parse’ nên cũng bị mất một vài thông tin.

Nhưng dù sao cũng cảm ơn thầy vì em đã hiểu thêm bài này rồi!

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Ba 20th, 2009 lúc 22:13 Said:
  
  Cảm ơn bạn đã cung cấp thông tin, hiện tại, các lỗi “Formula does not parse” đã được khắc phục. Nguyên do là lỗi phát sinh trong quá trình đổi tăng cỡ chữ làm cho đoạn code của Latex không thể chuyển sang dạng hình ảnh nên công thức thể hiện không được.
  
  Trả lời
moneynghia, on Tháng Ba 4th, 2009 lúc 12:30 Said:

àh, thì ra là vậy, em cám ơn thầy nhiều

Trả lời
moneynghia, on Tháng Ba 3rd, 2009 lúc 20:18 Said:

thưa thầy cho em hỏi bài này tí: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)}{ \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}}$
Xét (x;y) tiến về (0;0) theo họ đường cong $y^2 = kx^4 - x^2 = x^2 (kx^2 - 1)$
Khi đó: $\lim\limits_{x \to 0}{ \dfrac{x^4 + x^4(kx^2 - 1)^2}{kx^4}} = { \dfrac{2}{k}}$
với cách giải như trên thì hàm ko có giới hạn nhưng
Ta có: $0 \le { \dfrac{x^2}{x^2 + y^2}} \le 1 , 0 \le { \dfrac{y^2}{x^2 + y^2}} \le 1$
$\Rightarrow 0 \le { \dfrac{x^4}{x^2 + y^2}} \le x^2 , 0 \le { \dfrac{y^4}{x^2 + y^2}} \le y^2$
$\Rightarrow 0 \le { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le x^2 + y^2$
$\Rightarrow \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} 0 \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} x^2 + y^2$
$\Rightarrow 0 \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le 0$
vậy giới hạn là 0
vậy bài này có giới hạn ko vậy thầy ?

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Ba 3rd, 2009 lúc 21:29 Said:
  
  Đây là câu hỏi khá thú vị, nên Thầy chuyển về mục lời bình của trang giới hạn hàm 2 biến luôn.
  Thoạt nhìn, cả hai cách, cách nào cũng có lý cả. Vậy cách nào đúng, cách nào sai?
  Với cách 2 thì không thể bắt bí chỗ nào được cả, nếu vậy thì giới hạn bằng 0, nhưng lại mâu thuẫn với cách 1. Lạ nhỉ?
  Cách 1, khi thế đường cong vào giới hạn thì mọi thứ đều ổn. Vậy việc chọn đường cong đã hợp lý chưa?
  À, xem nào $y^2 = x^2(kx^2 -1)$ tồn tại khi nào ta? A, đây rồi, đường cong muốn tồn tại thì phải có $kx^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow kx^2 \ge 1$ . Như vậy k dương và $x \ge { \dfrac{\sqrt{k}}{k}} ; x \le -{ \dfrac{\sqrt{k}}{k}}$ , mà nếu vậy thì x không thể tiến đến 0 được. Vậy là sai lầm ở đây nè.
  
  Trả lời
moneynghia, on Tháng Hai 19th, 2009 lúc 22:43 Said:

thầy ơi đối với những bài mà chỉ có tích thui (ở tử hoặc mẫu) thì em thấy ta có thể đặt $x = m^a ,y = m^b$
rùi sau đó thế vào tử và mẫu và cho bậc cao nhất của tử = bậc cao nhất của mẫu để tìm ra a theo b từ đó ta tìm dc 1 dãy số phù hợp.

vd:
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle x \to 0 \hfill \atop \scriptstyle y \to 0 \hfill} \dfrac{{x^3 y}}{{x^6 + y^2 }} \to \dfrac{{m^{3a + b} }}{{m^{6a} + m^{2b} }} \\ 6a > 2b \to 3a > b \to 3a + b = 6a \to b = 3a \\ 6a < 2b \to 3a < b \to 3a + b = 2b \to b = 3a \\ 6a = 3b \to b = 3a \\ \end{array}$
vậy b=3a
nên ta chọn dãy $\begin{array}{l} (\dfrac{1}{{n^3 }},\dfrac{1}{n}) \to (0,0),n \to \infty \\ f(\dfrac{1}{{n^3 }},\dfrac{1}{n}) \to \dfrac{1}{2} \\ \end{array}$
còn lại thì chọn 1 trong 3 dãy cơ bản là dc

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Hai 20th, 2009 lúc 06:58 Said:
  
  trong phần translator của menu Preference của MathType, em đã thiết lập dư các tùy chọn, nên công thức hiện ra bị dư các mã, thầy đã xóa các đoạn mã đi rồi. Em xem lại bài hướng dẫn nhé
  
  Trả lời
  - moneynghia, on Tháng Hai 20th, 2009 lúc 07:11 Said:
    
    lạ nhỉ, hồi trước em có đọc thấy bài hướng dẫn ở đâu đó mà sao bi h em kiếm ko ra thầy ơi
    
    Trả lời
    - 2Bo02B, on Tháng Hai 20th, 2009 lúc 20:17 Said:
      
      Em xem phần chú ý ở mục đôi lời, bên menu cột phải đó
2Bo02B, on Tháng Hai 18th, 2009 lúc 23:02 Said:

Em chưa xét đường cong r = sinp (đường tròn x^2 + y^2 = y) nên có kết quả chưa đúng. Vả lại, việc chuyển qua tọa độ cực cũng chỉ giúp xem xét giới hạn đang xét có khả năng tồn tại hay không, chứ dựa vào đó vẫn chưa thể kết luận được giá trị giới hạn của hàm số.
Về MathType, có lẽ em chưa chọn bộ gõ LATEX 2.09 trong mục Translator ở menu Preferences của Math Type rồi

Trả lời
moneynghia, on Tháng Hai 18th, 2009 lúc 21:26 Said:

thưa thầy cho em hỏi bài này:
lim
x->0 y(x^2+y^2) / [y^2 + (x^2+y^2)^2]
y->0

nếu em làm theo cách chọn dãy hoặc là đặt y theo x thì em làm ra là không có giới hạn
nhưng khi em đưa về tọa độ cực:
lim r^3sinp / [r^2(sinp)^2 + r^4]
r->0
thì em làm cách nào giới hạn nó cũng ra 0 hết (không phụ thuộc vào p) vậy thì làm sao kết luận nó ko có giới hạn dc vậy thầy. lỡ giả sử đề thi yêu cầu mình phải đổi ra tọa độ cực mà làm thì không lẽ em phải pó tay.

mà thầy ơi sao cái Mathtype6.0 em đánh xong hết trơn rồi mà sao khi copy wa đây lại không paste dc vậy thầy,

Trả lời

Để lại hồi âm

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Các địa chỉ thay thế khi bạn không vào được blog này:

1. thunhan.tk

2. thunhan.co.cc

3. m4ps.tk

maihhuongk12, on Tháng Năm 14th, 2009 lúc 18:26 Said:

thầy ơi thầy có thể cho em một số cách để lấy dãy chứng minh hàm không liên tục đều không ạ . Có cách nòa để mình xác đinh bằng trực quan một hàm có lien tục đều hay không một cách tương đối chính xác không ạ? Em cảm ơm thầy ạ

Trả lời

Hoàng Viết Hội, on Tháng Tư 5th, 2009 lúc 12:29 Said:

tai sao mai ko co ai giai cho nhi

Hoàng Viết Hội, on Tháng Ba 24th, 2009 lúc 11:10 Said:

Em mong thầy giải giúp em bài tập này:
lim(sin3x+cos4x) khi x tiến tới 0.

Vo Hoai Son, on Tháng Ba 20th, 2009 lúc 21:44 Said:

Sao trang này có nhiều chỗ ‘Formula does not parse’ nên cũng bị mất một vài thông tin.

Nhưng dù sao cũng cảm ơn thầy vì em đã hiểu thêm bài này rồi!

2Bo02B, on Tháng Ba 20th, 2009 lúc 22:13 Said:

Cảm ơn bạn đã cung cấp thông tin, hiện tại, các lỗi “Formula does not parse” đã được khắc phục. Nguyên do là lỗi phát sinh trong quá trình đổi tăng cỡ chữ làm cho đoạn code của Latex không thể chuyển sang dạng hình ảnh nên công thức thể hiện không được.

Trả lời

moneynghia, on Tháng Ba 4th, 2009 lúc 12:30 Said:

àh, thì ra là vậy, em cám ơn thầy nhiều

moneynghia, on Tháng Ba 3rd, 2009 lúc 20:18 Said:

thưa thầy cho em hỏi bài này tí: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)}{ \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}}$
Xét (x;y) tiến về (0;0) theo họ đường cong $y^2 = kx^4 - x^2 = x^2 (kx^2 - 1)$
Khi đó: $\lim\limits_{x \to 0}{ \dfrac{x^4 + x^4(kx^2 - 1)^2}{kx^4}} = { \dfrac{2}{k}}$
với cách giải như trên thì hàm ko có giới hạn nhưng
Ta có: $0 \le { \dfrac{x^2}{x^2 + y^2}} \le 1 , 0 \le { \dfrac{y^2}{x^2 + y^2}} \le 1$
$\Rightarrow 0 \le { \dfrac{x^4}{x^2 + y^2}} \le x^2 , 0 \le { \dfrac{y^4}{x^2 + y^2}} \le y^2$
$\Rightarrow 0 \le { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le x^2 + y^2$
$\Rightarrow \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} 0 \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} x^2 + y^2$
$\Rightarrow 0 \le \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}} \le 0$
vậy giới hạn là 0
vậy bài này có giới hạn ko vậy thầy ?

2Bo02B, on Tháng Ba 3rd, 2009 lúc 21:29 Said:

Đây là câu hỏi khá thú vị, nên Thầy chuyển về mục lời bình của trang giới hạn hàm 2 biến luôn.
Thoạt nhìn, cả hai cách, cách nào cũng có lý cả. Vậy cách nào đúng, cách nào sai?
Với cách 2 thì không thể bắt bí chỗ nào được cả, nếu vậy thì giới hạn bằng 0, nhưng lại mâu thuẫn với cách 1. Lạ nhỉ?
Cách 1, khi thế đường cong vào giới hạn thì mọi thứ đều ổn. Vậy việc chọn đường cong đã hợp lý chưa?
À, xem nào $y^2 = x^2(kx^2 -1)$ tồn tại khi nào ta? A, đây rồi, đường cong muốn tồn tại thì phải có $kx^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow kx^2 \ge 1$ . Như vậy k dương và $x \ge { \dfrac{\sqrt{k}}{k}} ; x \le -{ \dfrac{\sqrt{k}}{k}}$ , mà nếu vậy thì x không thể tiến đến 0 được. Vậy là sai lầm ở đây nè.

Trả lời

moneynghia, on Tháng Hai 19th, 2009 lúc 22:43 Said:

thầy ơi đối với những bài mà chỉ có tích thui (ở tử hoặc mẫu) thì em thấy ta có thể đặt $x = m^a ,y = m^b$
rùi sau đó thế vào tử và mẫu và cho bậc cao nhất của tử = bậc cao nhất của mẫu để tìm ra a theo b từ đó ta tìm dc 1 dãy số phù hợp.

vd:
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle x \to 0 \hfill \atop \scriptstyle y \to 0 \hfill} \dfrac{{x^3 y}}{{x^6 + y^2 }} \to \dfrac{{m^{3a + b} }}{{m^{6a} + m^{2b} }} \\ 6a > 2b \to 3a > b \to 3a + b = 6a \to b = 3a \\ 6a < 2b \to 3a < b \to 3a + b = 2b \to b = 3a \\ 6a = 3b \to b = 3a \\ \end{array}$
vậy b=3a
nên ta chọn dãy $\begin{array}{l} (\dfrac{1}{{n^3 }},\dfrac{1}{n}) \to (0,0),n \to \infty \\ f(\dfrac{1}{{n^3 }},\dfrac{1}{n}) \to \dfrac{1}{2} \\ \end{array}$
còn lại thì chọn 1 trong 3 dãy cơ bản là dc

2Bo02B, on Tháng Hai 20th, 2009 lúc 06:58 Said:

trong phần translator của menu Preference của MathType, em đã thiết lập dư các tùy chọn, nên công thức hiện ra bị dư các mã, thầy đã xóa các đoạn mã đi rồi. Em xem lại bài hướng dẫn nhé

Trả lời
- moneynghia, on Tháng Hai 20th, 2009 lúc 07:11 Said:
  
  lạ nhỉ, hồi trước em có đọc thấy bài hướng dẫn ở đâu đó mà sao bi h em kiếm ko ra thầy ơi
  
  Trả lời
  - 2Bo02B, on Tháng Hai 20th, 2009 lúc 20:17 Said:
    
    Em xem phần chú ý ở mục đôi lời, bên menu cột phải đó

2Bo02B, on Tháng Hai 18th, 2009 lúc 23:02 Said:

Em chưa xét đường cong r = sinp (đường tròn x^2 + y^2 = y) nên có kết quả chưa đúng. Vả lại, việc chuyển qua tọa độ cực cũng chỉ giúp xem xét giới hạn đang xét có khả năng tồn tại hay không, chứ dựa vào đó vẫn chưa thể kết luận được giá trị giới hạn của hàm số.
Về MathType, có lẽ em chưa chọn bộ gõ LATEX 2.09 trong mục Translator ở menu Preferences của Math Type rồi

moneynghia, on Tháng Hai 18th, 2009 lúc 21:26 Said:

thưa thầy cho em hỏi bài này:
lim
x->0 y(x^2+y^2) / [y^2 + (x^2+y^2)^2]
y->0

nếu em làm theo cách chọn dãy hoặc là đặt y theo x thì em làm ra là không có giới hạn
nhưng khi em đưa về tọa độ cực:
lim r^3sinp / [r^2(sinp)^2 + r^4]
r->0
thì em làm cách nào giới hạn nó cũng ra 0 hết (không phụ thuộc vào p) vậy thì làm sao kết luận nó ko có giới hạn dc vậy thầy. lỡ giả sử đề thi yêu cầu mình phải đổi ra tọa độ cực mà làm thì không lẽ em phải pó tay.

mà thầy ơi sao cái Mathtype6.0 em đánh xong hết trơn rồi mà sao khi copy wa đây lại không paste dc vậy thầy,

	2Bo02B trong bài Điểm thi
	Trần Việt Hà trong bài Định thức
	Nguyễn Thị Kiều Thu trong bài Điểm thi
	2Bo02B trong bài Tích phân hai lớp (Tích phân…
	2Bo02B trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	AnHa trong bài Tích phân hai lớp (Tích phân…
	AnHa trong bài Tích phân hai lớp (Tích phân…
	Dung trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	NTTL trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	trongdat trong bài Cực trị có điều kiện (cực trị …
	hb trong bài Bài tập
	hb trong bài Bài tập
	manh tuan nguyen trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	Trần Đặng Bảo Ân trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	dungdang trong bài Học cách Tư duy tích cực

Maths 4 Physics(M4Ps) and more…

Vote for my blog

Dạy & Học Toán Cao cấp

Blog, web của Giáo viên

Liên kết tài trợ

Liên Kết Web