Chuỗi Fourier Sine và Cosine

Để lại phản hồi Go to comments

Khai triển Fourier của hàm số trên nửa đoạn [0; π]

Để tìm được khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0; π] ta có thể thác triển hàm f(x) trên cả đoạn {[- \pi ; \pi ]} , rồi sử dụng công thức đã có ở phần khai triển Fourier cho hàm số trên đoạn {[- \pi ; \pi ]} .

Thông thường có 3 cách thác triển:

1. Thác triển chẵn: (khai triển thành chuỗi Fourier cosin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

2. Thác triển lẻ: (khai triển thành chuỗi Fourier sin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ - f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

3. Thác triển tự do:

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Khi đó, khai triển Fourier của hàm số g(x) trên đoạn [0 ; π ] chính là khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0 ; π ]

Ví dụ: Tìm khai triển Fourier và khai triển Fourier theo các hàm số cosin, sin của hàm số f(x) = 1 , 0 \le x \le \pi

1. Thác triển Fourier thông thường:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} ) = { \dfrac{1}{2}}

a_{n} = { \frac{1}{\pi}} { \int_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.cos(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.sin(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n} - 1}{n}} \Big ) .

Vậy:

a_{0} = { \dfrac{1}{2}} , a_{n} = 0 , b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{2}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim { \dfrac{1}{2}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{{ \dfrac{2}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)}

2. Thác triển Fourier cosin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 1

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} \Big ) = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) = 0 , \forall n \ge 1

Vậy: a_{0} = 1 , a_{n} = 0 , b_{n} = 0

Nên khai triển Fourier cosin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim 1

3. Thác triển Fourier sin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ -1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} -1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 0

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = 0, \forall n \ge 1

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}}{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}}{ \int\limits_{0}^{\pi} sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} \\ \qquad = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n}}{n}} + { \dfrac{1^{n}}{n}} \Big )

Vậy: a_{n} = 0 , \forall n ; b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{4}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier sin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{4}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)

pic06.gif

  1. Alex
    17.08.2008 lúc 11:13 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Your blog is interesting!

    Keep up the good work!

  2. huynhchidung
    22.08.2008 lúc 12:07 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    Thưa thầy sao trong blog của em ,em đã chọn chế độ reading summary nhưng sao khi post bài nó cứ hiện full text dzậy thầy .

    • 2Bo02B
      22.08.2008 lúc 13:06 | #3
      Trả lời | Trích dẫn

      Chế độ reading summary chỉ có hiệu lực khi em click vào 1 category bất kỳ. Khi đó nó mới hiện các bài viết trong mục đó dưới dạng summary.

      Còn trang home, nếu em chọn chế độ Show new post thì nó vẫn hiện toàn bộ bài viết. Nếu em muốn ngắt trang bài viết để người đọc muốn theo dõi tiếp phải nhấn readmore thì trong quá trình soạn thảo bài viết, em đặt con trỏ ở đầu đoạn cần ngắt rồi nhấn vào nút Insert More Tags (nút hình trang giấy bị đứt đôi có đoạn kẻ nét đứt ở giữa), hoặc trong thẻ HTML em đặt đoạn code ở đầu đoạn cần ngắt.

  3. mh
    20.09.2009 lúc 23:52 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    Em chào thầy! Thầy cho em hỏi về tích phân Fourier, em tìm tài liệu trên mạng và trong sách thì thấy có 2 dạng công thức (link: http://vi.wikipedia.org và http://dangtuanhiep.files.wordpress.com/2008/10/ch8.pdf ) nhưng em thấy hai công thức này không trùng với nhau ( không biết em có hiểu sai không)?
    Tìm chuỗi và tích phân Fourier có phải là biến đổi Fourier rời rạc và liên tục không thầy?
    Học trò cũ :) )

  4. Anh Tran
    02.11.2009 lúc 17:37 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    Em chào thầy! Thầy ơi, em muốn hỏi thầy một bài khai triển Fourier nhưng em không biết làm sao để đánh công thức ở đây. Thầy chỉ cho em cách làm được không ạ? Em cảm ơn thầy nhiều.

  1. No trackbacks yet.