Chuỗi Fourier Sine và Cosine

Khai triển Fourier của hàm số trên nửa đoạn [0; π]

Để tìm được khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0; π] ta có thể thác triển hàm f(x) trên cả đoạn {[- \pi ; \pi ]} , rồi sử dụng công thức đã có ở phần khai triển Fourier cho hàm số trên đoạn {[- \pi ; \pi ]} .

Thông thường có 3 cách thác triển:

1. Thác triển chẵn: (khai triển thành chuỗi Fourier cosin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

2. Thác triển lẻ: (khai triển thành chuỗi Fourier sin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ - f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

3. Thác triển tự do:

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Khi đó, khai triển Fourier của hàm số g(x) trên đoạn [0 ; π ] chính là khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0 ; π ]

Ví dụ: Tìm khai triển Fourier và khai triển Fourier theo các hàm số cosin, sin của hàm số f(x) = 1 , 0 \le x \le \pi

1. Thác triển Fourier thông thường:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} ) = { \dfrac{1}{2}}

a_{n} = { \frac{1}{\pi}} { \int_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.cos(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.sin(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n} - 1}{n}} \Big ) .

Vậy:

a_{0} = { \dfrac{1}{2}} , a_{n} = 0 , b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{2}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim { \dfrac{1}{2}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{{ \dfrac{2}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)}

2. Thác triển Fourier cosin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 1

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} \Big ) = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) = 0 , \forall n \ge 1

Vậy: a_{0} = 1 , a_{n} = 0 , b_{n} = 0

Nên khai triển Fourier cosin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim 1

3. Thác triển Fourier sin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ -1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} -1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 0

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = 0, \forall n \ge 1

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}}{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}}{ \int\limits_{0}^{\pi} sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} \\ \qquad = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n}}{n}} + { \dfrac{1^{n}}{n}} \Big )

Vậy: a_{n} = 0 , \forall n ; b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{4}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier sin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{4}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)

pic06.gif

3 phản hồi

  1. huynhchidung, on Tháng tám 22nd, 2008 lúc 12:07 Said:

    Thưa thầy sao trong blog của em ,em đã chọn chế độ reading summary nhưng sao khi post bài nó cứ hiện full text dzậy thầy .

    Trả lời
    • 2Bo02B, on Tháng tám 22nd, 2008 lúc 13:06 Said:

      Chế độ reading summary chỉ có hiệu lực khi em click vào 1 category bất kỳ. Khi đó nó mới hiện các bài viết trong mục đó dưới dạng summary.

      Còn trang home, nếu em chọn chế độ Show new post thì nó vẫn hiện toàn bộ bài viết. Nếu em muốn ngắt trang bài viết để người đọc muốn theo dõi tiếp phải nhấn readmore thì trong quá trình soạn thảo bài viết, em đặt con trỏ ở đầu đoạn cần ngắt rồi nhấn vào nút Insert More Tags (nút hình trang giấy bị đứt đôi có đoạn kẻ nét đứt ở giữa), hoặc trong thẻ HTML em đặt đoạn code ở đầu đoạn cần ngắt.

      Trả lời
  2. Alex, on Tháng tám 17th, 2008 lúc 11:13 Said:

    Your blog is interesting!

    Keep up the good work!

    Trả lời

Để lại hồi âm