Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-7V

1. Định nghĩa tích phân kép:

fig22Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn bởi đường L (đóng và bị chặn ; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín, và các điểm trên biên L được coi là thuộc D)

Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác định và liên tục trong miền D).

Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là {\Delta}S_i , i = 1,2,.., n và mỗi miền có đường kính là d_i (đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc miền đó. Hay ta có thể ký hiệu: d_i = \{ d(x,y); \forall (x,y) \in {\Delta}S_i \} )

Lấy trên mỗi miền 1 điểm P_{i}(x_i;y_i) khi đó trên mỗi miền {\Delta}S_i , thì hình trụ sẽ xấp xỉ với hình trụ có đáy là {\Delta}S_i và chiều cao là f(x_i;y_i) . Do đó, thể tích của hình trụ có mặt đáy là D và mặt trên là f(x,y) có thể tính xấp xỉ bởi:

V_n = \sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i;y_i)}{\Delta}S_i

Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch của ) miền D và cách chọn điểm Pi. Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chính xác. Nghĩa là, đường kính di của mỗi miền càng nhỏ (càng tiến về 0) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D.

Vậy, cho n \to \infty sao cho max(d_i) \to 0 . Khiđó, nếu tổng Vn tiến đến 1 giá trị hữu hạn V không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn điểm Pi thì giới hạn V đó được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và được ký hiệu \int{\int\limits_D f(x;y) } \, ds

trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D được gọi là miền lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được xuất phát từ yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Do đó, f(x,y) > 0. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xét trường hợp f(x,y) < 0 (trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới là f(x,y) và mặt trên là mặt phẳng z = 0. Và như vậy, ta có thể xét f(x,y) là hàm có dấu bất kỳ.

2. Do tích phân 2 lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau 1 khoảng Δx) và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau 1 đoạn Δy). Khi đó Δs = Δx.Δy và ds được thay bởi dxdy. Nên ta thường dùng ký hiệu:

\iint\limits_D f(x;y) \, ds = \iint\limits_D f(x;y) \, dxdy

3. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền kín D thì nó khả tích trên miền D ấy. Nghĩa là, \iint\limits_D f(x;y) \, dxdy tồn tại (ta công nhận điếu này)

2. Tính chất của tích phân kép:

Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất sau đây ủa tích phân kép:

1. \iint\limits_D \, dxdy = S(D) (diện tích miền D)

2. \iint\limits_D C.f(x;y) \, dxdy = C.{\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy}

3. \iint\limits_D f(x;y)+g(x;y) \, dxdy = {\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy} + {\iint\limits_D g(x;y) \, dxdy}

4. Nếu miền D được chia thành 2 phần D1, D2 không có điểm trong chung (D1, D2 chỉ có điểm biên chung) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = {\iint\limits_{D_1} f(x;y) \, dxdy} + {\iint\limits_{D_2} f(x;y) \, dxdy}

5. Nếu f(x;y) \le g(x,y) trên D, thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy \le {\iint\limits_D g(x;y) \, dxdy}

6. Nếu m \le f(x;y) \le M, \forall (x;y) \in D thì

m.S(D) \le {\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy} \le M.S(D)

Thảo luận

127 thoughts on “Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

  1. thầy ơi cho em hỏi bài
    I = tích phân 2 lớp của (x+y)dxdy ; giới hạn x=y
    y=0
    x+y=1
    x+y=2
    phải làm như nào ạ thầy giúp em đc ko ạ ??

    Like

    Posted by le duc viet | 14/04/2013, 03:35
  2. Thay oi, thay lam on giup em cau nay voi a:
    Tim toa do trong tam cua hinh phang dong chat (p(x,y)=p0 khong doi) duoc gioi han boi cac duong y=can bac hai cua 2x – x^2 va y= 0.

    Like

    Posted by Luna | 07/02/2013, 17:48
  3. Thầy ơi cho e hỏi bài này: tích phân của cosy/(1+x^2) mà D{0<=x<=1;0<=y<=pi?2} thì xác định cận như thế nào ạ?e cám ơn Thầy trước ạ!

    Like

    Posted by Trần Văn Cường | 01/06/2012, 16:39
  4. thầy ơi em hoc. lại gt1 ki vừa rồi ak. thầy oi trên khoa có điêm của k37 ma sao k36 chưa có điểm hả thầy.lam sao biết điểm dc ha thầy

    Like

    Posted by thu hoai | 27/02/2012, 21:37
  5. Thầy ơi cho em hỏi với bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường xicloit và trục hoành thì phải làm thế nào ah

    Like

    Posted by Hoài Thu | 26/02/2012, 12:03
    • Để tìm diện tích hình phẳng, trong trường hợp miền D cho bởi phương trình tham số
      \left\{\begin{array}{c} x = x(t) \\ y = y(t) \\ \end{array} \right. t_1 \le t \le t_2
      Giả sử em có đường vào y = y1(t), đường ra: y = y2(t), với a \le x \le b , ứng với t \in [t_1;t_2]
      Khi đó: em có công thức:
      \int\limits_a^b dx \int\limits_{y_1(t)}^{y_2(t)} dy = \int\limits_{t_1}^{t_2} x'(t)dt \int\limits_{y_1(t)}^{y_2(t)} dy
      Với bài em hỏi, theo phân tích như trên em sẽ có:
      \int\limits_0^{2\pi} x'(t)dt \int\limits_0^{y(t)} dy = \int\limits_0^{2\pi} a^2.(1-cost)^2 dt = 3{\pi}.a^2

      Like

      Posted by 2Bo02B | 29/02/2012, 06:42
  6. thầy giải giúp em bài này :

    tich phân kép của (3x bình-2y-4) với D: x=y bình và y= x bình .

    em càm ơn thầy nhiều !!!

    Like

    Posted by lam quang | 05/02/2012, 15:34
  7. thầy ơi ! thầy chứng minh công thức chu vi đường tròn bằng tích phân giùm em ạh

    Like

    Posted by tai | 16/12/2011, 18:45
  8. thưa thầy em muốn thầy giúp em làm câu này:tích phân kép của(x+2y)dxdy với D được xác định bởi x^2+y^2<=9.em cảm ơn thầy

    Like

    Posted by phạm thu | 28/11/2011, 15:24
  9. kỳ này thầy bận hay sao mà không thấy thầy trả lừi các câu hỏi của chúng em thế thầy???

    Like

    Posted by Lê Quang Minh | 18/08/2011, 08:59
  10. thầy giúp em bài này với.
    tính tích phân đường: ∫(x^2 + y^2) dS
    trong đó L là đường cong cho bởi phương trình x^2 +2x + (y^2)/4 = 0
    em cảm ơn thầy!

    Like

    Posted by Lê Quang Minh | 17/08/2011, 16:17
    • Từ pt đường cong, ta thấy nếu viết pt dưới dạng x là hàm theo y, hoặc y là hàm theo x thì pt sẽ khá phức tạp. Do đó ta cần tham số hóa đường cong.
      Ta có: x^2 + 2x + \dfrac{y^2}{4} = 0 \Leftrightarrow (x+1)^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1
      Đặt: x = -1 + cost ; y = 2sint thì t \in [-\pi;\pi]
      Thế vào tích phân ta có:
      \int\limits_{-\pi}^{\pi} \left[ (-1+cost)^2 + (2sint)^2 \right].\sqrt{(-sint)^2+(2cost)^2}dt

      Like

      Posted by 2Bo02B | 20/08/2011, 10:37
  11. thầy ơi, sao thầy không có bài giảng về tích phân đường loại 1?

    Like

    Posted by Lê Quang Minh | 16/08/2011, 16:38
  12. e chào thầy ạ.thưa thầy e có bài toán này e chưa bit giải thế nào e đã giải thử n lần rùi n e vẫn chưa giải đc.thầy có thể giải giúp e đc k ạ.e mong nhận đc sự hồi âm của thầy sơm nhất.chúc thầy lun mạnh khỏe hp.e cảm ơn thầy.
    đổi thứ tự tích phân sau:
    ∫dx∫f(x,y)dy 0≤x≥1; căn bậc 2 của (2x-x2)≤y≥căn bậc 2 của(2x)

    Like

    Posted by tạ văn huy | 29/05/2011, 19:20

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 005 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 005 other followers

%d bloggers like this: