Đạo hàm hàm số ẩn

Để lại phản hồi Go to comments

1. Định nghĩa: Xét phương trình F(x,y) = 0 (1) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác định. Nếu \forall x \in E thì (1) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta có: F(x,f(x)) = 0 , \forall x \in E

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

Ví dụ: Phương trình x^2 + y^2 = 1 (1) xác định 2 hàm số y = \sqrt{1-x^2} , y = -{\sqrt{1-x^2}} nên (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

2. Định lý:

Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó F: U \subset R^2 \to R là hàm số theo 2 biến x,y có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U. Giả sử \mathop (x_0;y_0) \in U : F(x_0;y_0) = 0 , nếu F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0 thì (1) xác định trong 1 lân cận nào đó của x_0 một hàm số ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số ấy bằng y_0 khi x = x_0 , liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

(Ta không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo cách chứng minh định lý trong quyển Toán học Cao cấp tập 3, của tác giả Nguyễn Đình Trí )

Vậy điều kiện để tồn tại 1 hàm ẩn gồm các điều kiện:

1. F(x,y) là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục.

2. Tồn tại (x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0

3. F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0

Ví dụ: Phương trình y^x = x^y xác định 1 hàm số ẩn vì xét: F(x,y) = y^x - x^y xác định với x, y dương, hàm số này có các đạo hàm riêng liên tục, và F(1,1) = 0 , F_y^{'} = xy^{x-1} - x^{y}lnx \Rightarrow F_y^{'}(1;1) = 1 \ne 0

3. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 1 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y) = 0 (1) xác định 1 hàm ẩn y = f(x) thì ta có: F(x,f(x)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y. Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của (1) theo biến x bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0

Mà { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} \ne 0 nên suy ra: { \dfrac{dy}{dx}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}} (2.1)

Ví dụ: Cho x^2 + siny - 2y = 0 Tìm { \dfrac{dy}{dx}} ?

Xét F(x;y) = x^2 + siny - 2y . Dễ dàng thấy F(x,y) liên tục và F(0;0) = 0 nên phương trình xác định 1 hàm ẩn y theo biến x.

Ta có: { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} = 2x ; { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} = cosy - 2 \ne 0 , \forall y

Do đó: { \dfrac{dy}{dx}} = - { \dfrac{2x}{cosy-2}}

Lưu ý: Việc tìm (x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0 là quan trọng vì nếu không sẽ dẫn tới tình huống phương trình vô nghiệm (ví dụ: x^2 + y^2 = -1 ) nhưng vẫn có dy/dx ( – x/y) (!!!)

- Nhìn chung, đạo hàm dy/dx lại là 1 biểu thức liên quan đến x và y. Trong biểu thức đó, phải xem y là hàm theo biến x

Ví dụ 2: Tìm { \dfrac{dy}{dx}} , { \dfrac{d^2y}{dx^2}} nếu x - y + arctgy = 0

Xét F(x;y) = x - y + arctgy (việc kiểm tra phương trình tồn tại hàm ẩn dành cho bạn đọc)

Khi đó ta có: y_x^{'} = - { \dfrac{1}{-1 + { \dfrac{1}{1+y^2}}}} = { \dfrac{y^2+1}{y^2}} = 1 + { \dfrac{1}{y^2}} (*)

Để tìm đạo hàm cấp 2 { \dfrac{d^2y}{dx^2}} , ta lấy đạo hàm của (*) theo biến x, trong đó y là hàm theo x. Ta có:

{ \dfrac{d^2y}{dx^2}} = - { \dfrac{2y.y_x^{'}}{y^4}} = - { \dfrac{2(1+y^2)}{y^5}}

4. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 2 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y,z) = 0 (2) xác định 1 hàm ẩn 2 biến z = f(x;y) thì tương tự ta có: F(x;y;f(x;y)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của 2 biến số x, y thông qua biến trung gian z. Do đó, ta sẽ lấy các đạo hàm riêng của (1) theo biến x (hoặc y) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = 0

Nếu { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}} \ne 0 thì suy ra: { \dfrac{\partial z}{\partial x}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.2)

Tương tự: { \dfrac{\partial z}{\partial y}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.3)

Nhận xét: ngoài cách tính theo công thức trên, ta có thể xác định các đạo hàm riêng bằng quy tắc tính vi phân. Nghĩa là tính vi phân toàn phần của hàm F(x,y,z) bằng quy tắc vi phân và cho nó bằng 0:

{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}dy + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}dz = 0

Sau đó, tìm dz theo dx và dy: dz = Adx + Bdy. Khi đó A = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} , B = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}

(Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong các ví dụ)

Trang: 1 2

  1. long nguyen
    07.04.2009 lúc 22:17 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    giải giúp em bài này
    cho u=(x+3) / (y+z) trong đó z là hàm ẩn của x,y xác định bởi phương trình z*e^z=x*e^x + y*e^y
    tính u’(x) và u’(y) ?

    • 2Bo02B
      10.04.2009 lúc 21:12 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Hàm u = { \dfrac{x+3}{y+z}} , trong đó z là hàm ẩn theo 2 biến x, y. Vì vậy: u là hàm hợp của 2 biến x, y thông qua hàm trung gian z.
      Vậy: u'(x) = { \dfrac{{\partial}u}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}u}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} (*)
      Từ phương trình hàm ẩn, em dễ dàng tìm được { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}}
      Khi đó, thế vào (*) em sẽ tìm được u'(x)
      Tương tự với u’(y)

  2. long nguyen
    07.04.2009 lúc 22:19 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    sao không thấy hướng dẫn cách giải bài tương tự thế này

  3. kien
    24.04.2009 lúc 01:18 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    Nhờ mấy bác giải giúp em bài này với
    Tính Đạo hàm Y’(1) , nếu X SinY – Y SinX = 0 và Y(1) =0

  1. No trackbacks yet.