Đạo hàm của hàm hợp

1. Định nghĩa:

Giả sử phương trình $\mathop z = f(u,v)$ (1) xác định với u, v là hàm số của các biến độc lập x và y: $u = g(x,y) , v = h(x,y)$ (2) thì khi đó z được gọi là hàm số hợp của các biến số x và y thông qua 2 biến trung gian u và v.

Như vậy z cũng có thể biểu diễn như hàm 2 biến x, y: $z = f(g(x,y);h(x,y))$ (3)

Ví dụ: Cho $z = uv + u^v ; u = sin(x+y) , v = \sqrt{x^2+y^2}$

Khi đó: $z = sin(x+y).{\sqrt{x^2+y^2}}+(sin(x+y))^{\sqrt{x^2+y^2}}$

Tình huống:

Nếu ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số hợp thì có thể viết hàm số dưới dạng tường minh theo 2 biến x, y. Tuy nhiên, với hàm trên thì việc lấy đạo hàm riêng sẽ rất khó khăn. Hoặc nếu hàm số chưa xác định được công thức, ví dụ: $z = f(x+y;xy)$ hoặc $z = sin(u(x,y);v(x,y))$ thì làm sao tính được các đạo hàm riêng

2. Định lý: (Tính ${ \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}}$ từ (1), (2) mà không dùng (3)

Cho z = f(u,v) và u, v là các hàm của hai biến u = u(x,y) và v = v(x,y). Cho các hàm z, u, v khả vi tại các điểm tương ứng. Khi đó, z = f(u,v) có các đạo hàm riêng ${ \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}}$ xác định bởi công thức:

${ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}}$ ; ${ \dfrac{\partial z}{\partial y}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial y}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial y}}$

3. Quy tắc Xích để xác định công thức tính đạo hàm cho hàm hợp:

– Dòng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z

– Dòng 2: Xác định các biến trung gian có trong hàm z. Ví dụ: (u,v)

– Dòng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm. Ví dụ x

– Nối z với các biến trung gian u, v bằng những đoạn kẻ. Mỗi đoạn kẻ tương ứng với phép lấy đạo hàm.

– Nếu u, v là những biến phụ thuộc x thì nối u với x bằng 1 đường kẻ; nối v với x bằng 1 đường kẻ. Các đường kẻ trên chính là các phép toán lấy đạo hàm riêng.

– Tổng hợp tất cả các cách nối được từ z đến x ta sẽ có công thức tính đạo hàm của z theo x.

4. Một số trường hợp tổng quát:

1. Với z = f(u,v, w) , trong đó u = u(t), v = v(t), w = w(t)

Khi đó: z là hàm số hợp của 1 biến số t thông qua 3 biến trug gian u, v, w.

Bấy giờ, đạo hàm của z theo t được xác định

${ \dfrac{dz}{dt}} = { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{du}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{dv}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial w}}.{ \dfrac{dw}{dt}}$

(do z, u, v, w đều là hàm theo 1 biến t nên đạo hàm là đạo hàm thường)

Áp dụng: tính ${ \dfrac{du}{dt}}$ , nếu $z = xyz$ , với $x = t^2 + 1 , y = lnt , z = tgt$

Tương tự quy tắc trên, ta có: ${ \dfrac{du}{dt}} = { \dfrac{\partial u}{\partial x}}.{ \dfrac{dx}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial z}}.{ \dfrac{dz}{dt}}$

Nghĩa là: ${ \dfrac{du}{dt}} = yz.2t + xz.{ \dfrac{1}{t}} + xy.(1+tg^2t)$

Hay: ${ \dfrac{du}{dt}} = 2t.lnt.tgt + { \dfrac{(t^2+1).tgt}{t}} + (t^2+1).lnt.(1+tg^2t)$

Ví dụ 1: Tính ${ \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}}$ nếu $z = y^x$ với y = f(x).

Trong ví dụ này, ta cần chú ý và phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu ${ \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}}$

Đầu tiên, ký hiệu ${ \dfrac{dz}{dx}}$ chỉ z là hàm theo 1 biến x, trong khi đó, biểu thức xác định của z là: $z = y^x , y = f(x)$ nên với ký hiệu này ta sẽ hiểu là z là hàm số hợp của 1 biến x thông qua biến trung gian y.

Còn ký hiệu, $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ chỉ đạo hàm riêng của z theo biến x, điều này được hiểu là z là hàm hai theo 2 biến độc lập x, y.

Như vậy: ${ \dfrac{\partial z}{\partial x}} = y^x.lny$

Còn: ${ \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{\partial z}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = y^x.lny + x.y^{x-1}.f'(x)$

Ví dụ 2: Tìm ${ \dfrac{\partial w}{\partial r}} , { \dfrac{\partial w}{\partial s}}, { \dfrac{\partial w}{\partial s}}$ biết $w = x + 2y + z^2 , x = { \dfrac{r}{st}} , y = tgr + ln{\sqrt{s^2+1}} , z = e^{sin(st)}$

Bạn có thể lập sơ đồ xích cho 3 biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm như sau:

Dựa vào sơ đồ trên, ta có:

${ \dfrac{\partial w}{\partial r}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial r}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial r}}$ , ${ \dfrac{\partial w}{\partial s}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial s}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial s}} + { \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial s}}$

${ \dfrac{\partial w}{\partial t}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial t}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial t}}$

Việc còn lại bạn làm tiếp tục nhé.

Ví dụ 3: Tìm ${ \dfrac{\partial}{\partial x}} f(x^2y ; cos(lnx + y^2))$

Ta đặt: $\mathop u = x^2y , v = cos(lnx + y^2)$ thì f là hàm số hợp của 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Khi đó: ${ \dfrac{\partial f}{\partial x}} = { \dfrac{\partial f}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial f}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} = f_u^{'}.2xy + f_v^{'}. \left( -{ \dfrac{1}{x}}.sin(lnx + y^2) \right)$

$= f_u^{'}.2xy - f_v^{'}. { \dfrac{sin(lnx + y^2)}{x}}$

4. Đạo hàm cấp 2 của hàm số hợp 2 biến:

Giả sử z là hàm số hợp theo 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v. Khi đó ta đã có công thức tính đạo hàm riêng cấp 1 của z đối với 2 biến x, y. Vấn đề đặt ra là: vậy nếu cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số hợp thì ta phải làm thế nào?

Ta chú ý, trong công thức: ${ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}}$

Các đại lượng ${ \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}}$ lại là các biểu thức theo u, v nên nó lại là những hàm số hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Do đó: ${ \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = \left( { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} \right)_x^{'}$

$= \left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{{\partial}^2u}{\partial x^2}} + \left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{{\partial}^2v}{\partial x^2}}$ (*)

Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho 2 hàm ${ \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}}$ . Ta có:

$\left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial u^2}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}u{\partial}v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}}$ , $\left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}v{\partial}u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial v^2}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}}$ (**)

Từ (*), (**) ta có:

${ \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = z_{uu}^{''}. \left(u_x^{'}\right)^2 + 2.z_{uv}^{''}.u_x^{'}.v_x^{'} + z_{vv}^{''}. \left( v_x^{'} \right)^2 + z_u^{'}.u_{xx}^{''} + z_v^{'}.v_{xx}^{''}$

Hoàn toàn tương tự, ta tìm được công thức xác định ${ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}}$ (bạn thử tìm xem nhé)

Ví dụ áp dụng: Tìm ${ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} , { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}}$ nếu $z =f(u,v) ; u = xy ; v = { \dfrac{x}{y}}$

Đáp số:

${ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} = y^2f_{uu}^{''}+ 2f_{uv}^{''}+{ \dfrac{f_{vv}^{''}}{y^2}}$

${ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} = xy.f_{uu}^{''} - { \dfrac{x}{y^3}} f_{uv}^{''} + f_u{'} + { \dfrac{1}{y^2}}.f_v^{'}$ ${ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}y^2}} = x^2y f_{uu}^{''} - { \dfrac{2x^2}{y^2}} f_{uv}^{''} + { \dfrac{x^2}{y^4}} f_{vv}^{''} + { \dfrac{2x}{y^3}} f_v^{'}$

Tình huống:

Cho y là hàm theo biến số x xác định từ phương trình: $y^x = x^y$ .Bạn thử tìm đạo hàm: $y_x^{'}$ .

Nếu giải tìm được y theo x thì bài toán quá dễ dàng. Còn nếu không giải tìm được hàm y theo biến x thì thế nào đây?

Thảo luận

27 bình luận về “Đạo hàm của hàm hợp”

cho em hỏi bài này Z= f(e^xy- e^(-xy)) Tính ∂z/∂x=? ∂z/∂y=?

ThíchThích

Posted by Tình Thái | 17/12/2016, 21:52

Reply to this comment
thầy giúp em giải bài này được k ạ, tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y)=tg(x+y).e^(x/y)

ThíchThích

Posted by diepvien007 | 03/03/2013, 13:05

Reply to this comment
em cảm hơn thầy nhiều ,khi đọc bài của thầy em đã phần nào hiểu ra rất nhiều

ThíchThích

Posted by Thanh Thủy | 22/11/2012, 17:40

Reply to this comment
Thầy có thể vừa giải vừa nêu cách làm cho dạg bài sau gjúp em với !
Y={x^2 . e^(-x^2) khi |x|1}
e xjn cám ơn thầy !

ThíchThích

Posted by Kartos | 28/12/2011, 18:18

Reply to this comment
Thầy cho em hỏi :
côg thức ngắn gọn và dễ hiểu nhất về đạo hàm hàm 2 biến số .
(thầy cứ xem như là em chưa học về đh hàm đa biến )
Em xin cám ơn !

ThíchThích

Posted by Kartos | 28/12/2011, 12:13

Reply to this comment
Thay cho em hoi dao ham cua ham z= xy+x.f(y/x) tinh nhu the nao a. Cam on thay.

ThíchThích

Posted by Thu thao | 03/12/2011, 18:50

Reply to this comment
cảm ơn thầy nhiều lắm. em đang cần tìm hiểu đạo hàm cấp cao của hàm số hợp. đọc xong giải tỏa được nhiều khúc mắc ^^. hay lắm ạ

ThíchThích

Posted by Huỳnh | 03/12/2011, 16:58

Reply to this comment
chỉ lý thuyết suôn ai hiểu chết liền.

ThíchThích

Posted by lê lộc | 08/11/2011, 18:30

Reply to this comment
- Cảm ơn bạn đã góp ý. Có thể đối với người này thì dễ hiểu, đối với người khác thì rất khó hiểu. Chính vì vậy, chúng ta mới cần trao đổi để nắm rõ vấn đề. Nếu bạn bình tâm đọc, suy ngẫm các hướng dẫn và xem lại các ví dụ, có thể bạn sẽ nắm được nội dung của vấn đề. Nếu chỗ nào chưa rõ, hoặc không hiểu, bạn cứ mạnh dạn trao đổi để mọi người có thể hướng dẫn cho bạn. Quan điểm của tôi là không làm thay các bạn, mà chỉ định hướng, hướng dẫn để các bạn tự tin vào bản thân mình và tự tìm được các kết quả. Hy vọng bạn sẽ tìm được 1 chút gì đó hữu ích từ trang web này.
  
  ThíchThích
  
  Posted by 2Bo02B | 08/11/2011, 19:25
  
  Reply to this comment
Thầy cho em hỏi đạo hàm riêng của 1/căn bậc 2 (x^2 + y^2 + z^2) theo từng biến thì tính thế nào ạ
em xin cảm ơn thầy

ThíchThích

Posted by Hà Nguyễn | 02/11/2011, 03:33

Reply to this comment
- Đạo hàm riêng theo biến nào thì các biến khác là hằng số.
  Ta có: $u = (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \Rightarrow \dfrac{{\partial}u}{{\partial}x} = -\dfrac{1}{2}.(2x).(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}$
  tương tự cho đạo hàm riêng theo biến y và z.
  
  ThíchThích
  
  Posted by 2Bo02B | 02/11/2011, 07:29
  
  Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Maths 4 Physics & more…

Tìm