Đạo hàm của hàm hợp

Để lại phản hồi Go to comments

1. Định nghĩa:

Giả sử phương trình \mathop z = f(u,v) (1) xác định với u, v là hàm số của các biến độc lập x và y: u = g(x,y) , v = h(x,y) (2) thì khi đó z được gọi là hàm số hợp của các biến số x và y thông qua 2 biến trung gian u và v.

Như vậy z cũng có thể biểu diễn như hàm 2 biến x, y: z = f(g(x,y);h(x,y)) (3)

Ví dụ: Cho z = uv + u^v ; u = sin(x+y) , v = \sqrt{x^2+y^2}

Khi đó: z = sin(x+y).{\sqrt{x^2+y^2}}+(sin(x+y))^{\sqrt{x^2+y^2}}

Tình huống:

Nếu ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số hợp thì có thể viết hàm số dưới dạng tường minh theo 2 biến x, y. Tuy nhiên, với hàm trên thì việc lấy đạo hàm riêng sẽ rất khó khăn. Hoặc nếu hàm số chưa xác định được công thức, ví dụ: z = f(x+y;xy) hoặc z = sin(u(x,y);v(x,y)) thì làm sao tính được các đạo hàm riêng

2. Định lý: (Tính { \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}} từ (1), (2) mà không dùng (3)

Cho z = f(u,v) và u, v là các hàm của hai biến u = u(x,y) và v = v(x,y). Cho các hàm z, u, v khả vi tại các điểm tương ứng. Khi đó, z = f(u,v) có các đạo hàm riêng { \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}} xác định bởi công thức:

{ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} ; { \dfrac{\partial z}{\partial y}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial y}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial y}}

3. Quy tắc Xích để xác định công thức tính đạo hàm cho hàm hợp:

xich2- Dòng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z

- Dòng 2: Xác định các biến trung gian có trong hàm z. Ví dụ: (u,v)

- Dòng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm. Ví dụ x

- Nối z với các biến trung gian u, v bằng những đoạn kẻ. Mỗi đoạn kẻ tương ứng với phép lấy đạo hàm.

- Nếu u, v là những biến phụ thuộc x thì nối u với x bằng 1 đường kẻ; nối v với x bằng 1 đường kẻ. Các đường kẻ trên chính là các phép toán lấy đạo hàm riêng.

- Tổng hợp tất cả các cách nối được từ z đến x ta sẽ có công thức tính đạo hàm của z theo x.

4. Một số trường hợp tổng quát:

xich311. Với z = f(u,v, w) , trong đó u = u(t), v = v(t), w = w(t)

Khi đó: z là hàm số hợp của 1 biến số t thông qua 3 biến trug gian u, v, w.

Bấy giờ, đạo hàm của z theo t được xác định

{ \dfrac{dz}{dt}} = { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{du}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{dv}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial w}}.{ \dfrac{dw}{dt}}

(do z, u, v, w đều là hàm theo 1 biến t nên đạo hàm là đạo hàm thường)

Áp dụng: tính { \dfrac{du}{dt}} , nếu z = xyz , với x = t^2 + 1 , y = lnt , z = tgt

Tương tự quy tắc trên, ta có: { \dfrac{du}{dt}} = { \dfrac{\partial u}{\partial x}}.{ \dfrac{dx}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial z}}.{ \dfrac{dz}{dt}}

Nghĩa là: { \dfrac{du}{dt}} = yz.2t + xz.{ \dfrac{1}{t}} + xy.(1+tg^2t)

Hay: { \dfrac{du}{dt}} = 2t.lnt.tgt + { \dfrac{(t^2+1).tgt}{t}} + (t^2+1).lnt.(1+tg^2t)

Ví dụ 1: Tính { \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}} nếu z = y^x với y = f(x).

Trong ví dụ này, ta cần chú ý và phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu { \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}}

Đầu tiên, ký hiệu { \dfrac{dz}{dx}} chỉ z là hàm theo 1 biến x, trong khi đó, biểu thức xác định của z là: z = y^x , y = f(x) nên với ký hiệu này ta sẽ hiểu là z là hàm số hợp của 1 biến x thông qua biến trung gian y.

Còn ký hiệu, \dfrac{\partial z}{\partial x} chỉ đạo hàm riêng của z theo biến x, điều này được hiểu là z là hàm hai theo 2 biến độc lập x, y.

Như vậy: { \dfrac{\partial z}{\partial x}} = y^x.lny

Còn: { \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{\partial z}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = y^x.lny + x.y^{x-1}.f'(x)

Ví dụ 2: Tìm { \dfrac{\partial w}{\partial r}} , { \dfrac{\partial w}{\partial s}}, { \dfrac{\partial w}{\partial s}} biết w = x + 2y + z^2 , x = { \dfrac{r}{st}} , y = tgr + ln{\sqrt{s^2+1}} , z = e^{sin(st)}

Bạn có thể lập sơ đồ xích cho 3 biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm như sau:

xich4Dựa vào sơ đồ trên, ta có:

{ \dfrac{\partial w}{\partial r}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial r}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial r}} , { \dfrac{\partial w}{\partial s}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial s}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial s}} + { \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial s}}

{ \dfrac{\partial w}{\partial t}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial t}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial t}}

Việc còn lại bạn làm tiếp tục nhé.

Ví dụ 3: Tìm { \dfrac{\partial}{\partial x}} f(x^2y ; cos(lnx + y^2))

Ta đặt: \mathop u = x^2y , v = cos(lnx + y^2) thì f là hàm số hợp của 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Khi đó: { \dfrac{\partial f}{\partial x}} = { \dfrac{\partial f}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial f}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} = f_u^{'}.2xy + f_v^{'}. \left( -{ \dfrac{1}{x}}.sin(lnx + y^2) \right)

= f_u^{'}.2xy - f_v^{'}. { \dfrac{sin(lnx + y^2)}{x}}

4. Đạo hàm cấp 2 của hàm số hợp 2 biến:

Giả sử z là hàm số hợp theo 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v. Khi đó ta đã có công thức tính đạo hàm riêng cấp 1 của z đối với 2 biến x, y. Vấn đề đặt ra là: vậy nếu cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số hợp thì ta phải làm thế nào?

Ta chú ý, trong công thức: { \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}}

Các đại lượng { \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}} lại là các biểu thức theo u, v nên nó lại là những hàm số hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Do đó: { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = \left( { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} \right)_x^{'}

= \left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{{\partial}^2u}{\partial x^2}} + \left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{{\partial}^2v}{\partial x^2}} (*)

Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho 2 hàm { \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}} . Ta có:

\left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial u^2}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}u{\partial}v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} , \left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}v{\partial}u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial v^2}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} (**)

Từ (*), (**) ta có:

{ \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = z_{uu}^{''}. \left(u_x^{'}\right)^2 + 2.z_{uv}^{''}.u_x^{'}.v_x^{'} + z_{vv}^{''}. \left( v_x^{'} \right)^2 + z_u^{'}.u_{xx}^{''} + z_v^{'}.v_{xx}^{''}

Hoàn toàn tương tự, ta tìm được công thức xác định { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}} (bạn thử tìm xem nhé)

Ví dụ áp dụng: Tìm { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} , { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}} nếu z =f(u,v) ; u = xy ; v = { \dfrac{x}{y}}

Đáp số:

{ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} = y^2f_{uu}^{''}+ 2f_{uv}^{''}+{ \dfrac{f_{vv}^{''}}{y^2}}

{ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} = xy.f_{uu}^{''} - { \dfrac{x}{y^3}} f_{uv}^{''} + f_u{'} + { \dfrac{1}{y^2}}.f_v^{'} { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}y^2}} = x^2y f_{uu}^{''} - { \dfrac{2x^2}{y^2}} f_{uv}^{''} + { \dfrac{x^2}{y^4}} f_{vv}^{''} + { \dfrac{2x}{y^3}} f_v^{'}

Tình huống:

Cho y là hàm theo biến số x xác định từ phương trình: y^x = x^y .Bạn thử tìm đạo hàm: y_x^{'} .

Nếu giải tìm được y theo x thì bài toán quá dễ dàng. Còn nếu không giải tìm được hàm y theo biến x thì thế nào đây?


  1. duc anh
    12.07.2009 lúc 08:52 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Chào thầy ạ.Em thắc mắc bài này không biết làm thế nào cả..em mong thầy hướng dẫn em cách làm bài này
    f (x, y, z, t) = (x + 2*(y)^2 – 3z + t^2 , x^2 – y + z^2 – t )
    Xét ánh xạ hợp g(x, y) = f(x, y, z(x, y), t(x, y)) trong đó
    z = x^2 – 2y , t = xy . Tính đạo hàm Dg theo công thức đạo hàm hàm hợp và kiểm nghiệm bằng phép tính trực tiếp.
    note : em chưa hiểu hàm f vẫn chưa xác định được công thức thì làm sao tính đạo hàm df / dx với df / dy được ạ….mà cái kiểm nghiệm bằng phép tính trực tiếp là như thế nào hả thầy

  2. kim hue
    23.09.2009 lúc 08:41 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    dao ham cua x^x la gi? giup em voi!!!

    • 2Bo02B
      23.09.2009 lúc 10:26 | #3
      Trả lời | Trích dẫn

      y = x^x \Rightarrow lny = xlnx \Rightarrow \dfrac{y'}{y} = lnx + x.{\dfrac{1}{x}} Từ đó, em có kết quả

  3. PHAM VAN NGOC
    14.10.2009 lúc 21:19 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    em chào thầy ạ!thầy giúp em bài này với em làm mãi mà không được thầy ạ.

    đơn giải biểu thức:U’(x)+u’(y)+u’(z) nếu

    u = 1/12.x^4 – 1/6.x^3.(y+z)+1/2.x^2.y.z + f(y-x,z-x)
    trong đó F là hàm khả vi
    Em xin chân thành cảm ơn thầy

  4. vu xuan mui
    19.10.2009 lúc 07:36 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    lim(x^x) khi x=>0 thày có thể giúp em được ko? cảm ơn thày

    • 2Bo02B
      19.10.2009 lúc 21:53 | #6
      Trả lời | Trích dẫn

      Xét y = x^x \Rightarrow lny = xlnx
      Khi đó: \lim\limits_{x \to 0} x.lnx = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{lnx}{1/x}
      Dùng công thức L’Hospital – Bernoulli ta có giới hạn bằng 0. Vậy giới hạn cần tính là 1.

  5. thuhoa
    25.11.2009 lúc 11:12 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy cho em một ví dụ về dạo hàm riêng cấp 2 theo (xy)khác với dạo hàm riêng theo(yx):F”(xy)khác F”(yx). em tìm hồi không ra.em cảm ơn thầy

  1. No trackbacks yet.