Đạo hàm của hàm hợp

1. Định nghĩa:

Giả sử phương trình \mathop z = f(u,v) (1) xác định với u, v là hàm số của các biến độc lập x và y: u = g(x,y) , v = h(x,y) (2) thì khi đó z được gọi là hàm số hợp của các biến số x và y thông qua 2 biến trung gian u và v.

Như vậy z cũng có thể biểu diễn như hàm 2 biến x, y: z = f(g(x,y);h(x,y)) (3)

Ví dụ: Cho z = uv + u^v ; u = sin(x+y) , v = \sqrt{x^2+y^2}

Khi đó: z = sin(x+y).{\sqrt{x^2+y^2}}+(sin(x+y))^{\sqrt{x^2+y^2}}

Tình huống:

Nếu ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số hợp thì có thể viết hàm số dưới dạng tường minh theo 2 biến x, y. Tuy nhiên, với hàm trên thì việc lấy đạo hàm riêng sẽ rất khó khăn. Hoặc nếu hàm số chưa xác định được công thức, ví dụ: z = f(x+y;xy) hoặc z = sin(u(x,y);v(x,y)) thì làm sao tính được các đạo hàm riêng

2. Định lý: (Tính { \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}} từ (1), (2) mà không dùng (3)

Cho z = f(u,v) và u, v là các hàm của hai biến u = u(x,y) và v = v(x,y). Cho các hàm z, u, v khả vi tại các điểm tương ứng. Khi đó, z = f(u,v) có các đạo hàm riêng { \dfrac{\partial z}{\partial x}} , { \dfrac{\partial z}{\partial y}} xác định bởi công thức:

{ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} ; { \dfrac{\partial z}{\partial y}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial y}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial y}}

3. Quy tắc Xích để xác định công thức tính đạo hàm cho hàm hợp:

xich2- Dòng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z

- Dòng 2: Xác định các biến trung gian có trong hàm z. Ví dụ: (u,v)

- Dòng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm. Ví dụ x

- Nối z với các biến trung gian u, v bằng những đoạn kẻ. Mỗi đoạn kẻ tương ứng với phép lấy đạo hàm.

- Nếu u, v là những biến phụ thuộc x thì nối u với x bằng 1 đường kẻ; nối v với x bằng 1 đường kẻ. Các đường kẻ trên chính là các phép toán lấy đạo hàm riêng.

- Tổng hợp tất cả các cách nối được từ z đến x ta sẽ có công thức tính đạo hàm của z theo x.

4. Một số trường hợp tổng quát:

xich311. Với z = f(u,v, w) , trong đó u = u(t), v = v(t), w = w(t)

Khi đó: z là hàm số hợp của 1 biến số t thông qua 3 biến trug gian u, v, w.

Bấy giờ, đạo hàm của z theo t được xác định

{ \dfrac{dz}{dt}} = { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{du}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{dv}{dt}} + { \dfrac{\partial z}{\partial w}}.{ \dfrac{dw}{dt}}

(do z, u, v, w đều là hàm theo 1 biến t nên đạo hàm là đạo hàm thường)

Áp dụng: tính { \dfrac{du}{dt}} , nếu z = xyz , với x = t^2 + 1 , y = lnt , z = tgt

Tương tự quy tắc trên, ta có: { \dfrac{du}{dt}} = { \dfrac{\partial u}{\partial x}}.{ \dfrac{dx}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dt}} + { \dfrac{\partial u}{\partial z}}.{ \dfrac{dz}{dt}}

Nghĩa là: { \dfrac{du}{dt}} = yz.2t + xz.{ \dfrac{1}{t}} + xy.(1+tg^2t)

Hay: { \dfrac{du}{dt}} = 2t.lnt.tgt + { \dfrac{(t^2+1).tgt}{t}} + (t^2+1).lnt.(1+tg^2t)

Ví dụ 1: Tính { \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}} nếu z = y^x với y = f(x).

Trong ví dụ này, ta cần chú ý và phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu { \dfrac{dz}{dx}} , { \dfrac{\partial z}{\partial x}}

Đầu tiên, ký hiệu { \dfrac{dz}{dx}} chỉ z là hàm theo 1 biến x, trong khi đó, biểu thức xác định của z là: z = y^x , y = f(x) nên với ký hiệu này ta sẽ hiểu là z là hàm số hợp của 1 biến x thông qua biến trung gian y.

Còn ký hiệu, \dfrac{\partial z}{\partial x} chỉ đạo hàm riêng của z theo biến x, điều này được hiểu là z là hàm hai theo 2 biến độc lập x, y.

Như vậy: { \dfrac{\partial z}{\partial x}} = y^x.lny

Còn: { \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{\partial z}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = y^x.lny + x.y^{x-1}.f'(x)

Ví dụ 2: Tìm { \dfrac{\partial w}{\partial r}} , { \dfrac{\partial w}{\partial s}}, { \dfrac{\partial w}{\partial s}} biết w = x + 2y + z^2 , x = { \dfrac{r}{st}} , y = tgr + ln{\sqrt{s^2+1}} , z = e^{sin(st)}

Bạn có thể lập sơ đồ xích cho 3 biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm như sau:

xich4Dựa vào sơ đồ trên, ta có:

{ \dfrac{\partial w}{\partial r}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial r}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial r}} , { \dfrac{\partial w}{\partial s}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial s}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial y}}.{ \dfrac{\partial y}{\partial s}} + { \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial s}}

{ \dfrac{\partial w}{\partial t}} = { \dfrac{\partial w}{\partial x}}.{ \dfrac{\partial x}{\partial t}}+{ \dfrac{\partial w}{\partial z}}.{ \dfrac{\partial z}{\partial t}}

Việc còn lại bạn làm tiếp tục nhé.

Ví dụ 3: Tìm { \dfrac{\partial}{\partial x}} f(x^2y ; cos(lnx + y^2))

Ta đặt: \mathop u = x^2y , v = cos(lnx + y^2) thì f là hàm số hợp của 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Khi đó: { \dfrac{\partial f}{\partial x}} = { \dfrac{\partial f}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial f}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} = f_u^{'}.2xy + f_v^{'}. \left( -{ \dfrac{1}{x}}.sin(lnx + y^2) \right)

= f_u^{'}.2xy - f_v^{'}. { \dfrac{sin(lnx + y^2)}{x}}

4. Đạo hàm cấp 2 của hàm số hợp 2 biến:

Giả sử z là hàm số hợp theo 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v. Khi đó ta đã có công thức tính đạo hàm riêng cấp 1 của z đối với 2 biến x, y. Vấn đề đặt ra là: vậy nếu cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số hợp thì ta phải làm thế nào?

Ta chú ý, trong công thức: { \dfrac{\partial z}{\partial x}}= { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}}

Các đại lượng { \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}} lại là các biểu thức theo u, v nên nó lại là những hàm số hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

Do đó: { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = \left( { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} \right)_x^{'}

= \left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial u}}.{ \dfrac{{\partial}^2u}{\partial x^2}} + \left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} + { \dfrac{\partial z}{\partial v}}.{ \dfrac{{\partial}^2v}{\partial x^2}} (*)

Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho 2 hàm { \dfrac{\partial z}{\partial u}}, { \dfrac{\partial z}{\partial v}} . Ta có:

\left({ \dfrac{\partial z}{\partial u}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial u^2}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}u{\partial}v}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} , \left({ \dfrac{\partial z}{\partial v}} \right)_x^{'} = { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}v{\partial}u}}.{ \dfrac{\partial u}{\partial x}} + { \dfrac{{\partial}^2z}{\partial v^2}}.{ \dfrac{\partial v}{\partial x}} (**)

Từ (*), (**) ta có:

{ \dfrac{{\partial}^2z}{\partial x^2}} = z_{uu}^{''}. \left(u_x^{'}\right)^2 + 2.z_{uv}^{''}.u_x^{'}.v_x^{'} + z_{vv}^{''}. \left( v_x^{'} \right)^2 + z_u^{'}.u_{xx}^{''} + z_v^{'}.v_{xx}^{''}

Hoàn toàn tương tự, ta tìm được công thức xác định { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}} (bạn thử tìm xem nhé)

Ví dụ áp dụng: Tìm { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} , { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} , { \dfrac{{\partial}^z}{{\partial}y^2}} nếu z =f(u,v) ; u = xy ; v = { \dfrac{x}{y}}

Đáp số:

{ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} = y^2f_{uu}^{''}+ 2f_{uv}^{''}+{ \dfrac{f_{vv}^{''}}{y^2}}

{ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}} = xy.f_{uu}^{''} - { \dfrac{x}{y^3}} f_{uv}^{''} + f_u{'} + { \dfrac{1}{y^2}}.f_v^{'} { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}y^2}} = x^2y f_{uu}^{''} - { \dfrac{2x^2}{y^2}} f_{uv}^{''} + { \dfrac{x^2}{y^4}} f_{vv}^{''} + { \dfrac{2x}{y^3}} f_v^{'}

Tình huống:

Cho y là hàm theo biến số x xác định từ phương trình: y^x = x^y .Bạn thử tìm đạo hàm: y_x^{'} .

Nếu giải tìm được y theo x thì bài toán quá dễ dàng. Còn nếu không giải tìm được hàm y theo biến x thì thế nào đây?


Thảo luận

26 thoughts on “Đạo hàm của hàm hợp

  1. thầy giúp em giải bài này được k ạ, tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y)=tg(x+y).e^(x/y)

    Like

    Posted by diepvien007 | 03/03/2013, 13:05
  2. em cảm hơn thầy nhiều ,khi đọc bài của thầy em đã phần nào hiểu ra rất nhiều

    Like

    Posted by Thanh Thủy | 22/11/2012, 17:40
  3. Thầy có thể vừa giải vừa nêu cách làm cho dạg bài sau gjúp em với !
    Y={x^2 . e^(-x^2) khi |x|1}
    e xjn cám ơn thầy !

    Like

    Posted by Kartos | 28/12/2011, 18:18
  4. Thầy cho em hỏi :
    côg thức ngắn gọn và dễ hiểu nhất về đạo hàm hàm 2 biến số .
    (thầy cứ xem như là em chưa học về đh hàm đa biến )
    Em xin cám ơn !

    Like

    Posted by Kartos | 28/12/2011, 12:13
  5. Thay cho em hoi dao ham cua ham z= xy+x.f(y/x) tinh nhu the nao a. Cam on thay.

    Like

    Posted by Thu thao | 03/12/2011, 18:50
  6. cảm ơn thầy nhiều lắm. em đang cần tìm hiểu đạo hàm cấp cao của hàm số hợp. đọc xong giải tỏa được nhiều khúc mắc ^^. hay lắm ạ

    Like

    Posted by Huỳnh | 03/12/2011, 16:58
  7. chỉ lý thuyết suôn ai hiểu chết liền.

    Like

    Posted by lê lộc | 08/11/2011, 18:30
    • Cảm ơn bạn đã góp ý. Có thể đối với người này thì dễ hiểu, đối với người khác thì rất khó hiểu. Chính vì vậy, chúng ta mới cần trao đổi để nắm rõ vấn đề. Nếu bạn bình tâm đọc, suy ngẫm các hướng dẫn và xem lại các ví dụ, có thể bạn sẽ nắm được nội dung của vấn đề. Nếu chỗ nào chưa rõ, hoặc không hiểu, bạn cứ mạnh dạn trao đổi để mọi người có thể hướng dẫn cho bạn. Quan điểm của tôi là không làm thay các bạn, mà chỉ định hướng, hướng dẫn để các bạn tự tin vào bản thân mình và tự tìm được các kết quả. Hy vọng bạn sẽ tìm được 1 chút gì đó hữu ích từ trang web này.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 08/11/2011, 19:25
  8. Thầy cho em hỏi đạo hàm riêng của 1/căn bậc 2 (x^2 + y^2 + z^2) theo từng biến thì tính thế nào ạ
    em xin cảm ơn thầy

    Like

    Posted by Hà Nguyễn | 02/11/2011, 03:33

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 025 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 025 other followers

%d bloggers like this: