Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến

Để lại phản hồi Go to comments

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm M_0(x_0;y_0) \in D 1. Định nghĩa:

Ta nói M_0(x_0;y_0) là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại \varepsilon _lân cận của M_o , B(M_0;\varepsilon) sao cho:

f(x_0,y_0) \le f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0)

( f(x_0,y_0) \ge f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0) )

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại \mathop M_0 thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại \mathop M_0

Nhận xét:

- Hàm số \mathop z = f(x;y) đạt cực tiểu (cực đại) tại \mathop M_0(x_0;y_0) nếu: {\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x;y_0+{\Delta}y) - f(x_0;y_0) \ge 0 (\le 0), \forall {\Delta}x , {\Delta}y

- Nếu \mathop {\Delta}f(x_0;y_0) thay đổi dấu khi {\Delta}x , {\Delta}y thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại M_0

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số z = x^3 + y^3 có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét \mathop N(0+{\Delta}x;0+{\Delta}y) là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

{\Delta}f(0;0) = f({\Delta}x;{\Delta}y) - f(0;0) = ({\Delta}x)^3 +({\Delta}y)^3

Với {\Delta}x > 0 , {\Delta}y > 0 : {\Delta}f(0;0) > 0

Với {\Delta}x < 0 , {\Delta}y < 0 : {\Delta}f(0;0) < 0

Vậy {\Delta}f(0;0) thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm \mathop f(x,y) đạt cực trị (địa phương) tại M_0(x_0; y_0) \in D và nếu f có các đạo hàm riêng tại M_0(x_0; y_0) thì:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại M_0(x_0;y_0) (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm g(x) =f(x,y_0) ta có: g(x) = f(x;y_0) \le g(x_0) = f(x_0;y_0) , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay: g'(x_0) = 0

Mặt khác: g'(x_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) . Vậy: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Tương tự, nếu xét hàm h(y) = f(x_0;y) ta sẽ có: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0

Điểm \mathop (x_0;y_o) mà tại đó { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0 , được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số \mathop z = f(x;y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng \mathop M_0(x_0;y_0)

Đặt: A = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) ; B = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0) ; C = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0)

Khi đó:

a. Nếu B^2 - AC < 0 và A > 0 (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu B^2 - AC < 0 và A < 0 (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.

c. Nếu B^2 - AC > 0 thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu B^2 - AC = 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: z = x^3 + y^3 - 3xy

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số: z = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2


  1. moneynghia
    29.03.2009 lúc 21:59 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    thưa thầy cho em hỏi bài nì:
    tìm cực trị của: z = \sqrt{1- x^2- y^2}
    Tọa độ điểm dừng là nghiệm hệ:
    \left\{\begin{array}{l} z_x^{'}= { \dfrac{- x}{\sqrt{1- x^2-y^2}}} = 0 \\ z_y^{'} = { \dfrac{- y}{\sqrt{1 - x^2- y^2}}}= 0 \\ \end{array} \right.
    ta tìm được các điểm dừng để đạo hàm riêng kxđ và = 0 là: (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)
    Xét dz cho từng trường hợp thì ta có dc là: (0,0) là cực đại, còn lại là cực tiểu
    Mặt khác dễ thấy rằng: x^2 + y^2 + z^2 = 1, z \ge 0 là đồ thị là bán cầu tâm O bán kính r =1, nằm phía trên mp xOy
    có điểm cực đại (0,0) là hoàn toàn chính xác, nhưng các ngoài các điểm (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) thì tất cả những điểm trên mp xOy đều là cực tiểu hết . Như vậy, thì đồ thị này có qũy tích điểm cực tiểu là đường tròn tâm O bk r =1 nằm trên xOy.
    Em thấy hai cách giải trên nó mâu thuẫn với nhau về điểm cực tiểu, em không biết cách nào đúng, thầy giúp em với

    • 2Bo02B
      29.03.2009 lúc 22:37 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Dựa vào kết quả hình học thì chắc chắn đúng rồi, nhưng ở đây 2 đạo hàm riêng còn không xác định với x^2 + y^2 = 1 nữa mà. Bài này để đỡ rắc rối ta thấy z = \sqrt{1-x^2-y^2} đạt cực trị khi 1 - x^2 - y^2 đạt cực trị. Như vậy, hoàn toàn có kết quả như hình học thôi.

    • hmt
      15.06.2009 lúc 17:16 | #3
      Trả lời | Trích dẫn

      theo em hiểu bài này như vầy:
      theo đề ta có txđ x^2+y^2<=1
      lấy đạo hàm như bạn :
      x= { 0,1,-1}
      y={0,1,-1}
      vậy tất cả các điểm là (0,0) (0,1) (0,-1) (1,0) (-1,0) (1,1) (1,-1) (-1,-1) (-1,1)
      theo txđ bỏ đi 4 điểm(1,1) (-1,-1) (-1,1) (1,-1) (4 điểm ở cuối)
      vậy giải sẽ dc kết quả giống bạn.còn phần hình học là sai rồi.vì ở đây chỉ xét trong mặt phẳng Oxy nên chỉ có 4 điểm cực tiểu thui.
      (em lười viết công thức lém xin lỗi ạ oaoaoa..)

      • 2Bo02B
        15.06.2009 lúc 18:45 | #4
        Trả lời | Trích dẫn

        Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu hoặc không tồn tại. Như vậy bài này, đạo hàm không tồn tại tại những điểm thuộc đường tròn tâm O, bán kính R = 1.
        Xét lại hàm số thì rõ ràng z \ge 0 , \forall (x;y): x^2 + y^2 \le 1 và z = 0 khi x^2 + y^2 = 1
        Vậy những điểm nằm trên đường tròn (O;1) đều là những điểm cực tiểu.

        • hmt
          15.06.2009 lúc 19:37 | #5
          Trích dẫn

          thanks thầy nhiều. em biết thiếu nghiệm ở đâu rồi (thi tới nơi mà còn lơ tơ mơ we’ huhu…)

  2. Quang
    13.06.2009 lúc 09:27 | #6
    Trả lời | Trích dẫn

    cho em hỏi làm bài này như thế nào: tìm cực trị của ham sau
    z = 5xy + 10/x +20/y
    em làm z’(x) = 5y -10/x^2 = 0
    z’(y) = 5x -20/y^2 = 0
    => x=1 y=2 => điểm dừng là M(1,2)
    A= z”xx(1,2)=20 , B=z”xy(1,2)=5 ,C= Z”yy(1,2)=5
    B^2- AC = 25-100 = -75 và A=5 >0
    => M(1,2) là cực tiểu

    thầy cho em biết là em sai ở bước nào.em cám ơn thầy

    • 2Bo02B
      13.06.2009 lúc 13:11 | #7
      Trả lời | Trích dẫn

      Kết quả của em nhìn chung là chính xác rồi, chỉ có A = 20 (chứ ko phải A = 5) và z_{x}^{'} không nên ghi là z'(x) .. Ngoài ra, em nên tính cụ thể z_{xx}^{''} , z_{xy}^{''} ; z_{yy}^{''} và tính cụ thể giá trị cực tiểu mà hàm số đạt được là bao nhiêu.

  3. hmt
    15.06.2009 lúc 16:07 | #8
    Trả lời | Trích dẫn

    bài này cần dựa vào định nghĩa phải ko a.nhưng em ko hiểu cách giải bài này .thầy hướng dẫn cho em .thanks
    ” khảo sát cực trị của hàm f(x,y)=x^4 + y^4 -x^2-2xy-y^2 “

    • hmt
      15.06.2009 lúc 16:17 | #9
      Trả lời | Trích dẫn

      àh quên bài này có 3 điểm dừng (0,0),(-1,-1);(1,1)
      tại điểm (1,1)và (-1,-1) hàm đạt cực tiểu theo nghĩ hẹp.
      thầy hướng dẫn cho em tai điểm (0,0) là được rồi ạ.
      cám ơn thầy.

    • 2Bo02B
      15.06.2009 lúc 18:43 | #10
      Trả lời | Trích dẫn

      Em xem tại đây nhé:
      http://thunhan.wordpress.com/cung-trao-doi/trao-doi-ve-giai-tich/thao-luan-giai-tich-trng-2/#comment-3958

  4. Thanh Xuân
    15.06.2009 lúc 19:34 | #11
    Trả lời | Trích dẫn

    Tính cực trị: z = x^3+3xy^2-15x-12y
    Mong thầy giúp em ạ!

    • 2Bo02B
      15.06.2009 lúc 20:42 | #12
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài này em cứ mạnh dạn làm theo đúng các bước ở phương pháp trên đi. Rồi còn vướng chỗ nào thì Thầy sẽ hướng dẫn.

  5. Thanh Xuân
    15.06.2009 lúc 19:44 | #13
    Trả lời | Trích dẫn

    Bài này em làm mãi ko ra mong thầy cứu em ạ!
    Tìm cực trị: z = x^3y^2(6-x-y) x,y>=0

    • 2Bo02B
      15.06.2009 lúc 20:48 | #14
      Trả lời | Trích dẫn

      Mặc dù bài này có điều kiện x, y >= 0, nhưng đây không phải là mô hình bài toán cực trị có điều kiện. Vì mô hình bài toán cực trị điều kiện là tìm cực trị hàm z = f(x,y) với (x,y) thỏa mãn phương trình: g(x,y) = 0.
      Như vậy, bài này em áp dụng phương ph1ap tìm cực trị bình thường, nhưng khi xét điểm dừng, em chỉ xét những điểm thỏa: x, y >=0 thôi. Những điểm còn lại ta không cần quan tâm.

  6. VuBinh
    16.06.2009 lúc 16:10 | #15
    Trả lời | Trích dẫn

    Help me!!!
    Tìm cực trị của hàm số z =sinx +cosy +cos( x-y ) voi 0 ≤x,y ≤Π/2

    • 2Bo02B
      16.06.2009 lúc 20:00 | #16
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài này làm bình thường, khi tìm điểm dừng chỉ lấy những giá trị x,y nằm trong đoạn [0; pi/2]
      Giải ra ta tìm được tọa độ điểm dừng là \left( \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{6} \right)

  7. VuBinh
    16.06.2009 lúc 23:08 | #17
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi e giải được rùi. e cảm ơn!!!

  8. -T_L-
    22.06.2009 lúc 17:50 | #18
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy có thể dạy em phần tích phần đường loai 1 được ko ạ
    em ko thấy có phần tích phần đương loại 1 trong phần dạy của thầy ạ

  9. duccuongxc01
    29.09.2009 lúc 17:13 | #19
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, cho e hỏi chút nhé. Nếu tính cực trị của hàm ko có điều kiện ấy, khi ta tính B^2 - AC = 0 , ta có thể áp dụng định nghĩa và cho số gia delta X bằng số gia Delta Y, và Delta X bằng trừ Delta Y được không ạ?

    • 2Bo02B
      30.09.2009 lúc 07:29 | #20
      Trả lời | Trích dẫn

      Tất nhiên, trong trường hợp này phải dùng tới định nghĩa hoặc các công cụ khác. Còn dùng định nghĩa thì phải chứng minh là nó đúng với mọi giá trị của \Delta X, \Delta Y . Như vậy, em có thể cho các trường hợp đặc biệt của \Delta X, \Delta Y để khẳng định \Delta z thay đổi dấu và từ đó kết luận hàm không đạt cực trị.

  10. nhungbean
    13.10.2009 lúc 15:29 | #21
    Trả lời | Trích dẫn

    thưa thầy, thầy cho em hỏi khi D(M)=0 thì mình sẽ giải bằng định nghĩa như thế nào ạh, thầy có thể lấy một bài minh hoạ được không ạh, em cảm ơn thầy!!!

  11. Nguyen Duy Tan
    28.10.2009 lúc 23:07 | #23
    Trả lời | Trích dẫn

    minh dang hoc bang 2 lop ke toan, bo lau qua ko con nho gi, hom nay co bai nay ai tot bung giai ho minh cam on nhieu nha.
    1/ Tim cuc tri ham 2 bien sau
    a/f(x,y)=x2 – 2x – y2 + 8y – 2
    b/f(x,y)=-x2 + 2y2 + 6xy – 4x – 10y
    c/f(x,y)=(x+y-94)(4x+3y) – 6xy

    • 2Bo02B
      31.10.2009 lúc 23:12 | #24
      Trả lời | Trích dẫn

      Mấy bài này là những bài cơ bản mà em, em chỉ cần đọc nội dung bài giảng và các ví dụ minh họa là có thể giải được.

  1. No trackbacks yet.