Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)

Để lại phản hồi Go to comments

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: Từ 1 đoạn thẳng có độ dài là a. Hãy tạo thành 1 tam giác có diện tích lớn nhất

Ký hiệu ba cạnh tam giác là x, y, z và p là nửa chu vi tam giác.

Ta cần tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Bài toán đưa về t2im cực đại của hàm số:

S = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)} (công thức Hê-rông),

trong đó x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y +z = a

Ví dụ 2: Từ một mảnh sắt có diện tích 2a. Bạn hãy làm 1 cái hộp dạng hình hộp sao cho nó có thể tích lớn nhất.

Ta ký hiệu chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hộp là x, y, z

Bài toán đưa về tìm cực trị của hàm số V = xyz , trong đó diện tích xung quanh của hình hộp phải bằng 2a, hay x, y, z phải thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = a.

Như vậy, trong thực tế, có rất nhiều bài toán cực trị nhưng các biến số không phải là biến độc lập, mà chúng bị ràng buộc bởi những điều kiện phụ nào đó.

2. Mô hình bài toán tìm cực trị có điều kiện:

Xét bài toán: tìm cực trị của hàm z = f(x,y) (1) , trong đó x, y là các biến thỏa điều kiện g(x,y) = 0 (2)

Nhận xét: mô hình bài toán có điều kiện chỉ xét với điều kiện (2) là 1 phương trình. Như vậy nếu điều kiện (2) có dạng: g(x,y) < 0 (hoặc g(x,y) > 0) (2′) thì được hiểu là tìm cực trị địa phương của hàm z = f(x,y), trong đó ta chỉ xét những điểm dừng nằm trong miền thỏa mãn điều kiện (2′)

3. Định nghĩa:

Ta nói rằng hàm z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 đạt cực tiểu tại \mathop {M_0(x_0;y_0)} nếu tồn tại một lân cận B(M_0;{\epsilon}) của M0 sao cho:

f(x,y) \ge f(x_0;y_0) , \forall (x,y) \in B(M_0;{\epsilon} thỏa: g(x,y) = 0

cuctriThông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của đường cong (C). Như vậy, ta chỉ so sánh f(M_0) với \mathop f(M) khi M nằm trên (C).

Tương tự, ta cũng có định nghĩa cực đại có điều kiện.

Cực tiểu có điều kiện và cực đại có điều kiện được gọi chung là cực trị có điều kiện.

4. các phương pháp tìm cực trị có điều kiện:

4.1 Cách 1: Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm được y = y(x) thì khi thế vào hàm số z = f(x,y) ta có z là hàm theo 1 biến số x: z = f(x,y(x)) . Như vậy, bài toán trở về bài toán tìm cực trị của hàm số 1 biến. —–> Quá quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z = \sqrt{x^2+y^2-1} với điều kiện x + y = 1

Từ điều kiện trên ta rút ra: \mathop y = 1 - x . Như vậy y xác định với mọi x.

Thay vào hàm số ta có:

z = \sqrt{x^2+(1-x)^2-1} = \sqrt{2x^2-2x} = {\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x}}

Đây là hàm số 1 biến, hàm số này xác định khi \mathop x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 v x \ge 1

Ta có: { \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{ \dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2 - x}}} \Rightarrow { \dfrac{dz}{dx}} = 0 \Leftrightarrow x = { \dfrac{1}{2}}

Như vậy, hàm số không có cực trị có điều kiện vì \mathop x = { \dfrac{1}{2}} không thuộc miền xác định của hàm số.

4.2 Cách 2: phương pháp Larrange:

Nếu từ pt (2) ta không giải tìm y theo x được. Khi đó, giả sử (2) xác định 1 hàm ẩn theo biến x:  y = y(x) . Để tồn tại hàm số ẩn, ta giả thiết { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} \ne 0 (*)

Như vậy: hàm số z = f(x;y) , với y là hàm theo x chính là hình ảnh hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y.

Với những giá trị của x làm cho z có thể có cực trị thì đạo hàm của z theo x phải triệt tiêu.

Vậy lấy đạo hàm của (1) theo biến x với quy tắc hàm hợp (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

{ \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}}

Do đó, tại những điểm cực trị ta phải có:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0 (3)

Từ điều kiện  (2), ta lấy đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0 (4)

Đẳng thức (4) này được thỏa mãn với mọi x, y thỏa mãn phương trình (2).

Như vậy, tại những điểm cực trị thỏa mãn điều kiện (2) thì sẽ thỏa mãn (3) và (4)

Nhân các số hạng của (4) với hệ số chưa xác định \mathop \lambda và cộng chúng với các số hạng tương ứng của (3), ta được:

\left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} \right) + {\lambda} \left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} \right) = 0

Hay:

\left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} \right) + \left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} \right) { \dfrac{dy}{dx}} = 0 (5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại những điểm cực trị thỏa điều kiện (2). Từ (5), ta chọn hằng số \mathop \lambda sao cho tại những điểm cực trị, hệ số của { \dfrac{dy}{dx}} sẽ triệt tiêu.

Nghĩa là: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 (6)

Vì vậy, từ phương trình (5) và (6) ta có: những điểm cực trị có điều kiện sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{l} { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} = 0 \qquad (I) \\ { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 \\ g(x,y) = 0 \\ \end{array} \right.

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange: F(x,y,{\lambda}) = f(x,y) + {\lambda}g(x,y)

Khi đó các điểm cực trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn hệ:

\left\{\begin{array}{l} F_x^{'} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} = 0 \qquad (II) \\ F_y^{'} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 \\ F_{\lambda}^{'} = g(x,y) = 0 \\ \end{array} \right.

Từ (I) và (II) ta nhận thấy: những điểm dừng của hàm Larrange có thể là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện (2).

Như vậy, bài toán cực trị có điều kiện trở về bài toán cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở đây {\lambda}   chỉ đóng vai trò phụ và sau khi tìm được giá trị {\lambda} thì không cần đến.

Điều kiện của cực trị có điều kiện liên quan đến việc khảo sát dấu của vi phân cấp 2 của hàm Larrange tại điểm (x_0; y_0) :

d^2F = { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) (dx)^2 + { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0)dxdy + { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0) (dy)^2

trong đó: dx, dy không phải là những giá trị bất kỳ mà phải thỏa điều kiện:

{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}}(x_0;y_0) dx + { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}}(x_0;y_0) dy = 0 trong đó: dx^2 + dy^2 \ne 0

Nếu d^2 F > 0 với mọi giá trị có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện.

Nếu d^2 F < 0 với mọi giá trị có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện.

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc xét dấu vi phân cấp 2 hơi phức tạp. Khi đó, ta có thể áp dụng kết quả sau:

Giả sử  (x_0;y_0) là 1 điểm dừng của hàm Larrange, ứng với giá trị {\lambda}_0 và đặt:

A = F_{xx}^{''}(x_0;y_0); B = F_{xy}^{''}(x_0;y_0) ; C = F_{yy}^{''}(x_0;y_0); \\ D = g_x^{'}(x_0;y_0); E = g_y^{'}(x_0;y_0)

Khi đó xét : \Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & D & E \\ D & A & B \\ E & B & C \\ \end{array}\right|

Nếu \Delta > 0 thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện tại (x_0;y_0)

Nếu \Delta < 0 thì hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện tại (x_0;y_0)

Trang: 1 2

  1. tran ngoc
    31.03.2009 lúc 22:47 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Vô cùng cảm ơn tác giả đã lập ra trang này!

  2. nguyen duc khai
    07.06.2009 lúc 22:59 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    Giá như mỗi bài học có thêm nhiều ví dụ hơn thì người đọc sẽ hiểu sâu hơn nội dung kiến thức. Với những cách làm bao quát như Larrange thì rất khó để nắm rõ được kiến thức.

  3. butida
    15.06.2009 lúc 01:57 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy cho em hỏi là cực trị của hàm ẩn co phải là cực trị co điều kiện hay ko và cách làm nó.cám ơn thầy

    • 2Bo02B
      15.06.2009 lúc 05:44 | #4
      Trả lời | Trích dẫn

      Cực trị của hàm ẩn là cực trị địa phương bình thường chỉ có điều hàm đó hoặc phải giải pt để tìm ra hàm cụ thể hoặc không thể giải được. Nó không được xếp vào loại cực trị có điều kiện.
      Giả sử z =f(x,y) là hàm ẩn xác định bởi pt F(x,y,z) = 0.
      Khi đó theo lý thuyết cực trị thì hàm z = f(x,y) chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm dừng z_x^{'} = 0 ; z_y^{'} = 0
      Dù hàm ẩn z = f(x,y) không thể giải được từ pt F(x,y,z) = 0 nhưng ta có thể tìm được z_x^{'} = - \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}} ; z_y^{'} = - \dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}} từ đó tọa độ điểm dừng của hàm ẩn là nghiệm hệ F_x^{'} = 0; F_y^{'} = 0 ; F_z^{'} \ne 0
      Sau khi có tọa độ điểm dừng ta tính z_{xx}^{''} ; z_{yy}^{''} ; z_{xy}^{''} từ đó tìm được cực trị.

  4. trongdat
    15.07.2009 lúc 17:16 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy có thể hướng dẫn em cách giải bài này:
    cho hàm f(x,y)=x^4-4x^2y^2+3y^4 với x^2+y^2=a. Tìm a để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất f= -1/8.

    • 2Bo02B
      19.07.2009 lúc 08:42 | #6
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài này em cứ coi a là tham số. Em giải tìm cực trị có điều kiện bình thường. Khi đó, trong trường hợp này, giá trị cực tiểu sẽ là giá trị nhỏ nhất. Em cho giá trị đó bằng -1/8 thì sẽ tìm được a.

  5. trongdat
    22.07.2009 lúc 09:32 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    Em rut x theo y thay vao phuong trinh sau do em giai nhu tim gia tri nho nhat ham 1 bien khong biet co dung khong thay . Cam on thay!

    • 2Bo02B
      22.07.2009 lúc 16:57 | #8
      Trả lời | Trích dẫn

      Làm thế cũng được, nhưng với bài toán của em thì phải xét tới 2 hàm ứng với x âm và x dương

  6. Bui Thanh Ha
    30.09.2009 lúc 21:06 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    Bac nao cho em hoi ve bai toan sau voi . Cho ham so y= f(x). Tim 3 cuc tri cua ham so sao cho 3 cuc tri la 3 dinh cua 1 tam giac co dien tich bang can 2

  7. Van Anh
    01.11.2009 lúc 23:14 | #10
    Trả lời | Trích dẫn

    Thưa thầy,ví dụ về “Bài tập giải mẫu” của thầy,theo phương pháp Lagrande,đạo hàm theo x,y bị thiếu thầy ạ.May là hệ của thầy cho ra x,y vô tình đúng chứ nếu không có lẽ bài toán bị sai mất.Em hiểu vậy có đúng ko thầy?Mong thầy giải đáp giùm em ạ.Em cám ơn thầy!

    • 2Bo02B
      02.11.2009 lúc 06:25 | #11
      Trả lời | Trích dẫn

      Cảm ơn em đã góp ý. Sau khi xem lại các ví dụ mẫu thì bài số 2 khi lấy đạo hàm thiếu mất số 1. Cái này là lỗi đánh máy thôi em à. Vì nếu không bài toán đã sai hết rồi. Cảm ơn em nhiều.

  8. xuan hy
    25.11.2009 lúc 23:42 | #12
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy giải giúp em bài này
    hãy tìm cực trị có điều kiện của hàm
    u(x,y,z)=xyz với các điều kiện
    x+y+z=4 ; xy + yz + xz = 5

  1. No trackbacks yet.