Số phức (Complex Number)

Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x^2 + 1 = 0 vô nghiệm thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

I. Khái niệm về số phức

1.1. Định nghĩa số phức:

1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i^2 = - 1 gọi là đơn vị ảo.

2. Biểu thức z = a + bi ; a, b \in \mathbb{R} gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là \mathbb{C} .

4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.

5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c ; b = d.

6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký hiệu \overline{z} . Khi đó: số phức liên hợp của \overline{z} là z.

1.2. Các dạng biểu diễn của số phức:

1. Dạng đại số: Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số phức.

2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b) của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.

Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục thực.

Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo.

Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.

Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ \vec{OA} Trong nhiều trường hợp, người ta xem vec tơ \vec{OA} như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.

3. Dạng lượng giác của số phức

sophucCho số phức z = a +bi và \vec{OA} là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy. Khi đó:

Độ dài r = | \vec{OA}| của vectơ \vec{OA} được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển nhiên ta có:

|z| \ge 0 , \forall z \in \mathbb{C}, |z | = 0 \Leftrightarrow z = 0

Bây giờ giả sử z \ne 0 , tức là \vec{OA} \ne \vec{0} . Góc định hướng giữa tia Ox và vectơ \vec{OA} (đo bằng radian) \varphi = \left( \widehat{Ox;\overrightarrow{OA}} \right) được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất mà sai khác nhau k2{\pi} .

Nếu chỉ giới hạn xét \varphi \in [0;2{\pi} thì khi đó \varphi được gọi là argument chính, ký hiệu argz.

Khi z = 0 thì \varphi không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.

Rõ ràng a = rcos{\varphi} ; b = rsin{\varphi} .

Do đó: z = a + bi = r(cos{\varphi} + isin{\varphi}) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1.3. Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cos{\varphi} + isin{\varphi})

Ta có: r = \sqrt{a^2 + b^2}, tan{\varphi}= \left({ \dfrac{b}{a}}\right)} , nếu a \ne 0 .

a = rcos{\varphi} ; b = rsin{\varphi} .

Từ định nghĩa của số phức liên hợp \overline{z} của z và biểu diễn hình học của \overline{z} , ta có:

|{\overline{z}}| = |z| ; arg({\overline{z}}) = -argz

Tình huống:

z = r(cos{\varphi} - isin{\varphi}) .có phải là dạng lượng giác của số phức z?

Ví dụ:

1. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a. z = -2 +2i{\sqrt{3}} \qquad b. z = 1+i \qquad c. z = 1- i

d. z = -\cos \left( \dfrac{\pi}{7} \right) + i.\sin \left( \dfrac{\pi}{7} \right) \qquad e. z = \sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right) + i.\cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right)

II. Những phép tính cơ bản trên số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là z = r_1(cos{\varphi}_1 + isin{\varphi}_1) , w = r_2(cos{\varphi}_2 + isin{\varphi}_2) .

1. Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)

2. Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:

z.w = r_1.r_2(cos({\varphi}_1 +{\varphi}_1) + isin({\varphi}_1 +{\varphi}_1)) (3)

Nhận xét: z.{\overline{z}} = a^2 + b^2 = | z |^2 , |z.w| = |z|.|w| , |z^n| = |z|^n ; Arg(z^n) = nArgz + k2{\pi}

3. Phép chia 2 số phức.

3.1 Bổ đề:

Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức z_1 sao cho z.z_1=1 . Khi đó z_1 được gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu z^{-1} . Vậy z^{-1} = { \dfrac{1}{z}} .

Chứng minh

Ta cần tìm z_1 = c + di sao cho z.z_1 = 1 .

Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1

Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1

Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được: c = { \dfrac{a}{a^2+b^2}} ; d = { \dfrac{-b}{a^2+b^2}}

Vậy z_1 tồn tại.

Do đó: z^{-1} = { \dfrac{a}{a^2 + b^2}} - { \dfrac{b}{a^2 + b^2}}.i (4)

Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm z^{-1} = 1/z bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp \overline{z}

3.2 Phép chia hai số phức:

Giả sử w \ne 0 . Khi đó:

{ \dfrac{z}{w}} = { \dfrac{z.\overline{w}}{w.\overline{w}}} = { \dfrac{(a+bi).(c-di)}{c^2+d^2}} = { \dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}} (5)

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:

{ \dfrac{z}{w}} = { \dfrac{r_1}{r_2}}(cos({\varphi}_1 - {\varphi}_1) + isin({\varphi}_1 - {\varphi}_1)) (6)

4. Các ví dụ:

1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w, z – w, z.w, z/w.

2. Tính (1+i)^2 , (1+i)^4 . Suy ra (1+i)^{2008} , (1-i)^{210908}

3. (3-i).(14+2i) ; { \dfrac{2+3i}{1 - 4i}} ; { \dfrac{(1 + 2i)^2}{1-i}}

4. { \dfrac{(1+i)^9}{(1-i)^7}} ; 1 + (1+i) + (1+i)^2 + ... + (1+i)^{99}

5. Tìm modun của các số phức sau: \dfrac{(1+i)^4}{(1+6i)(2-7i)}

Thảo luận

38 thoughts on “Số phức (Complex Number)

  1. Tính z= i^i, và cho em hỏi: 1^(x+yi)=? Cảm ơn thầy!

    Like

    Posted by PhamVanTuyen | 11/09/2011, 20:19

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 983 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 983 other followers

%d bloggers like this: