Chuỗi số dương

Để lại phản hồi Go to comments

1. Các dấu hiệu so sánh:

Xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} ,{u_n} {\ge} 0 (1)

Khi đó nếu tổng riêng phần S_{n} là dãy không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.

1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương:
1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:

Cho hai chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} (1) , \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) thỏa điều kiện: {\exists} {n_{0}} : 0 {\le} {u_{n}} {\le} {v_{n}} , { \forall} n {\ge} n_{o} (*). Khi đó:

Nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty}{v_n} hội tụ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} hội tụ.

Ngược lại, nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} phân kỳ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} phân kỳ.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử n0 = 1.
Gọi Sn và Tn là tổng riêng phần tương ứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)
Do (*) ta có: Sn ≤ Tn
Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T
Vì các số hạng của chuỗi luôn dương nên Tn < T
Suy ra: Sn < T
Vậy Sn bị chặn trên nên nó có giới hạn

1.1.2 Dấu hiệu so sánh 2:

Cho hai chuỗi số dương \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n} (1) , \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) ({u_{n}} {\ge} 0, {v_{n}} {\ge} 0 )

Giả sử \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}

1. Nếu k = 0 thì chuỗi (2) hội tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ
2. 0< k < ∞ thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
3. k = + ∞ thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh
Chứng minh kết quả 1:

Do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 0} nên:

∀ε > 0, ∃N: ∀n ≥ N ⇒ \dfrac{u_n}{v_n} \le \epsilon \Rightarrow u_n \le {{\epsilon}.{v_{n}}}.

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Chứng minh kết quả 2:

Giả sử k <+∞. Khi đó, do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k} nên:
∀ε > 0, ∃N: ∀n ≥ N ⇒ un/vn < k + ε ⇒ un < (k + ε)vn
Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.
Mặt khác do 0 < k ⇒ \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 1/k} < +∞.
Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ.
Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết quả 3 được suy ra từ kết quả 1 và 2.
1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:

Xét hàm số f : [1; +∞) ⇒ℝ, f(x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ℕ, đặt {a_{n} = f(n)}

Khi đó: tích phân suy rộng \int\limits_{1}^{\infty} {f(x)} ⇔ chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {a_n} hội tụ

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy:
1.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức):

Cho \sum a_n là chuỗi số dương. Giả sử rằng:
\lim\limits_{n \to \infty} {{x_n}^{ \dfrac{1}{n}}} = C
Khi đó chúng ta có:
1. Nếu C < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ
2. Nếu C > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ
3. Nếu C = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert (tiêu chuẩn tỷ số):

Cho \sum a_n là chuỗi số dương sao cho a_n \ne 0 . Giả sử rằng:
\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = D
Khi đó chúng ta có:
1. Nếu D < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ
2. Nếu D > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ
3. Nếu D = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

Trang: 1 2

  1. thuy_vuong
    16.09.2009 lúc 15:31 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Chào thầy ạ! Khi so sánh 2chuỗi, ta làm thế nào để chọn chuỗi v(n)thích hợp,khi nào ta sử dụng định nghĩa,khi nào sử dụng dấu hiệu 1,2 và các dấu hiệu khác?
    trong ví dụ:xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi u(n)=1/(n*(n+1)*(n+2)) (với n>=1).e sử dụng dấu hiệu 1 như sau:
    có n*(n+1)*(n+2)>n bình phương.Nên 1/(n*(n+1)*(n+2))<1/(n bình phương).
    Ta đặt chuỗi v(n)=1/(n bình phương),chuỗi này là chuỗi hội tụ nên chuỗi u(n) cũng là chuỗi hội tụ.
    Đến đây e ko biết làm thế nào tính tổng,e có đọc qua lời giải qua ví dụ của thầy nhưng ko hiểu lắm.
    Ở ví dụ trên em chọn chuỗi v(n) theo cảm tính,đọc sách thấy hay lấy chuỗi ấy làm so sánh nên em đem so sánh thôi.Kobiết em so sánh như trên có đúng ko nữa.

    • 2Bo02B
      16.09.2009 lúc 18:51 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Em xem câu trả lời cách chọn chuỗi v(n) tại: http://thunhan.wordpress.com/bai-tap/comment-page-7/#comment-3620
      Đồng thời, em nên xem thêm phần thay thế vô cùng bé tương đương để hiểu rõ cách xây dựng chuỗi v(n)

Comment pages
  1. No trackbacks yet.