1. Các dấu hiệu so sánh:
Xét chuỗiKhi đó nếu tổng riêng phần
là dãy không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.
1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương:
1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:
Cho hai chuỗi 
Nếu chuỗi
hội tụ thì
hội tụ.
Ngược lại, nếu chuỗi
phân kỳ thì
phân kỳ.
Chứng minh
Không mất tính tổng quát, giả sử n0 = 1.
Gọi Sn và Tn là tổng riêng phần tương ứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)
Do (*) ta có: Sn ≤ Tn
Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T
Vì các số hạng của chuỗi luôn dương nên Tn < T
Suy ra: Sn < T
Vậy Sn bị chặn trên nên nó có giới hạn
1.1.2 Dấu hiệu so sánh 2:
Cho hai chuỗi số dương 
Giả sử
1. Nếu k = 0 thì chuỗi (2) hội tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ
2. 0< k < ∞ thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
3. k = + ∞ thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.
Chứng minh
Chứng minh kết quả 1:
Do
nên:
∀ε > 0, ∃N: ∀n ≥ N ⇒
.
Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.
Chứng minh kết quả 2:
Giả sử k <+∞. Khi đó, do
nên:
∀ε > 0, ∃N: ∀n ≥ N ⇒ un/vn < k + ε ⇒ un < (k + ε)vn
Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.
Mặt khác do 0 < k ⇒< +∞.
Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ.
Vậy mệnh đề 2 đúng
Kết quả 3 được suy ra từ kết quả 1 và 2.
1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:
Xét hàm số f : [1; +∞) ⇒ℝ, f(x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ℕ, đặt 
Khi đó: tích phân suy rộng
⇔ chuỗi
hội tụ
1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy:
1.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức):
- Cho
là chuỗi số dương. Giả sử rằng:
- Khi đó chúng ta có:
- 1. Nếu C < 1, thì chuỗi
là hội tụ
- 2. Nếu C > 1, thì chuỗi
- 3. Nếu C = 1, thì chuỗi
có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.
-
1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert (tiêu chuẩn tỷ số):
- Cho
. Giả sử rằng:
- Khi đó chúng ta có:
- 1. Nếu D < 1, thì chuỗi
- 2. Nếu D > 1, thì chuỗi
- 3. Nếu D = 1, thì chuỗi
Trang: 1 2
Thưa thầy, cho e hỏi khi xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu, nếu nó không thỏa mãn giả thiết của tiêu chuẩn Leibnizt thì có kết luận được chuỗi đó phân kì không ạ. Theo suy luận logic thì ko thế suy ra chuỗi đó phân kì, nhưng e thấy có sách viết như vậy, thầy có thể giải thích cho e rõ vấn đề này. Cảm ơn thầy nhiều.
VỚi chuỗi Leibnitz, nếu không thỏa mãn giả thiết của tiêu chuẩn Leibnitz thì nghĩa là : Hoặc {u_n} là một dãy tăng hoặc
là dãy tăng.
là dãy tăng nhưng không bị chặn trên nên không hội tụ. Vậy chuỗi phân kỳ.
nên chuỗi bằng 0 mà thôi.
có 
thì chuỗi phân kỳ.
Th1:
Như vậy:
Th này chỉ hội tụ khi un là dãy tăng và tiến về 0. Khi đó:
Th2:
Trường hợp này ta có kết quả nếu chuỗi số thực
Thưa thầy, em có bài này nghĩ mãi không ra, thầy giúp em nhé ^_^:
xét sự hội tụ đều của 2 hàm sau:
f(x)=x^n-x^(3n) với x[0,1]
g(x)=\frac{{x}^{n}}{1+{x}^{n}}
thankss
cho dãy số g(n) = (x^2+(1/n^2))^1/2 dãy số trên có hội tụ đều hay không? thầy giải giúp em với được không ạ? em không hiều dạng này phải làm thế nào?
thầy ơi dãy số tổng xích ma sinnx/n ,n=1..n có hội tụ đều không ạ.
Khi
trên R, đồng thời:
Vậy g_n(x) hội tụ đều về x trên R.
thầy ơi giúp e bài này mới:
xét sự hội tụ phân kì của các hàm sau:
1. tổng xima n=1 đến vô cùng của x^3*e^(-nx)
2. tổng xima n=1 đến vô cùng của arctg(2x/(x^n+n^3)
3. tổng xima n=1 đến vô cùng của n^2/sqrt(n!)
xét tính khả vi của hàm sau:
tổng xima n=1 đến vô cùng của sin(nx)/n^3
3. Bạn dùng tiêu chuẩn D’Alambert sẽ có chuỗi hội tụ.
4. Do hàm sinnx liên tục trên R. Ngoài ra, chuỗi
hội tụ đều (theo dấu hiệu Wiertrass) do đó tồn tại đạo hàm của chuỗi f(x) là: 
và theo tính chất thì f(x) và f’(x) liên tục. Vậy f(x) khả vi.
e chào thầy ạ! e rấ cảm ơn thầy vì thầy đã tạo ra trang web này.từ lúc e biết đến trang này e cảm thấy học môn toán đỡ hơn vì đã có thầy chỉ bảo. từ trong thâm tâm e chân thành cảm ơn thầy….hihi e chẳng biết nói j hít
trong mục các phần học phần ko có chuỗi lũy thừa nên e đăng 1 bài về chuỗi lũy thừa ở phần chuỗi dương như sau:
tìm miền hội tụ của chuỗi sau:
\sum_{n=1}^{oo}(n!)^2*x^n/(2n)!
thank thầy!
Ta có:
– chuỗi Leibnitz nên hội tụ.
Vậy chuỗi có khoảng hội tụ: -4 < x < 4
Với x = -4 ta có:
Với x = 4 ta có: chuỗi phân kỳ.
Vậy miền hội tụ: [-4;4)
em thưa thầy nếu bài toán cho ở dạng sau thì làm thế nào ạ?
tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: Tổng xích ma (x^n/(a^n+b^n) , n bằng 1 dến vô cùng. và g(x) có dạng (x^2+(1/n))^(1/2) thì có hội tụ đều không?em chân thành cảm ơn thầy!
a. Ta có:
: chuỗi phân kỳ.
Nếu a > b thì
Nếu b > a thì
Do đó: R = a hoặc R = b.
Tại
Vậy miền hội tụ là: -a < x < a (b < a) hoặc -b < x < b.(a < b)
b. Bạn muốn chứng minh chuỗi hội tụ đều, nghĩa là chứng minh nó hội tụ đều trên R. thì bạn chỉ cần chỉ ra khoảng hội tụ của nó là R
em thưa thầy. thầy giải giúp em bài này với ạ.em chuẩn bị thi rồi mà em không hiểu bài này nên làm thế nào? Cảm ơn thầy!
xét sự hội tụ hay phân kì và tính tổng của chuỗi với số hạng tổng quát là:
u(n)=(sin(1/(n(n+1))) / (cos(1/n)cos(1 / (n+1))). và chuỗi n/(n^4+n^2+1),n =1 đến vô cùng.
Xét chuỗi:
nên 2 chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
hội tụ. Vậy chuỗi đã cho hội tụ
, bằng cách thay các VCB, VCL tương đương bạn sẽ xét chuỗi tương đương là 
Ta nhận thấy khi
Do vậy ta xét chuỗi
Khi đó:
Mà chuỗi
Với chuỗi
thầy giải giúp em bài này với ạ
Ta có:
Do vậy:
Khi đó:
Từ đó:
thầy ơi tại sao lại m=2 , k=3 , l=4 , j=5.
và tiếp sau đó khi thay các số vào
un=1/24*(1+1/2+1/3+1/4)-1/6*(1/2+1/3+1/4)+1/4*(1/3+1/4)-11/64+(1/24-1/6+1/4-1/6+1/24)
lại viết như trên?
e cảm ơn thầy
Cái này là trong chuỗi:
, mình đã đặt m = n + 1 đó bạn.
, mình đã đặt j = n+4.
tương tự, trong chuỗi:
Khi đó các chuỗi đều có dạng
Nhưng chuỗi đầu lại bắt đầu từ n =1, chuỗi tiếp theo bắt đầu từ m = 2, … , chuỗi cuối cùng bắt đầu từ j = 5. Do đó, ta đưa các chuỗi số đều bắt đầu từ 5.
Vì vậy, chuỗi đầu dư 4 số hạng, chuỗi sau dư ra 3 số hạng… nên có kết quả như trên.
(*-*)e chào thầy .e đang chuẩn bị thi nên có nhiều bài muốn hỏi thấy lém ạ.
cho chuỗi số
\sum_{n=1}^{oo}{n}^{2}/n!
tính tổng của chuỗi
và bài
cho chuỗi số với số hạng tổng quát
{u}_{n}=lnn+aln(n+1)+bln(n+2).
khi đó chuỗi số hội tụ khi nào và tổng của chuỗi là bao nhiêu?
1.
. Do đó, để tính được tổng trên ta phải làm mất n+1 ở trên tử số. Muốn vậy, ta lấy tích phân 2 vế
Trước tiên ta xét chuỗi hàm:
Đây là chuỗi hội tụ đều nó tồn tại tổng S(x).
Mặt khác, ta có
Khi đó: ta có:
Vậy
Áp dụng với x = 1 ta có tổng của chuỗi ban đầu sẽ là: 2e
2. Dể dàng nhận thấy khi n tiến vô cùng thì số hạng tổng quát không thể tiến đến 0 với mọi giá trị của a, b. Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
em chào thầy ạ.thầy có thể giải bài này giúp e được ko? tính tổng của chuỗi số:
và chuỗi số sau hội tụ khi nào:
Câu a: phân tích số hạng thứ n ta có:
(1)
(2)
(3)
Ta lại có:
Tương tự:
Vậy:
Từ (1), (2), (3) ta có:
Mà:
Do đó tổng của chuỗi là:
Câu b là 1 bài tương đối khó.
(*)
(**)
Trước tiên, ta chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử (*) đúng với n. Ta chứng minh đúng với n+1
Thật vậy:
Do đó:
Vậy ta chứng minh được (*)
Từ đó ta có:
Suy ra:
Mà:
Vậy bài toán trở về bài toán xét sự hội tụ của chuỗi
Ta có:
Vậy theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi phân kỳ khi
Áp dụng tiêu chuẩn tích phân, ta chứng minh được chuỗi hội tụ với mọi s lớn hơn 1.
Vậy (**) hội tụ khi p-1 > 1. Hay: p > 2
xét sự hội tụ của chuỗi
u(n)=tan^n(pi/6+1/2n^2)
Bài này em dùng tiêu chuẩn Cauchy xét![\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}](http://s2.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clim%5Climits_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Csqrt%5Bn%5D%7Bu_n%7D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 "\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}")
em sẽ có kết quả chuỗi hội tụ
thay oi giup em bai nay voi: xet su hoi tu, phan ky:
sin{ pi.[can2(n^2 + k^2)]} tu` 1 den vo cung
Ta có:![u_n = sin[({\pi}{\sqrt{n^2+k^2}}-{\pi}n)+{\pi}n]](http://s3.wordpress.com/latex.php?latex=u_n+%3D+sin%5B%28%7B%5Cpi%7D%7B%5Csqrt%7Bn%5E2%2Bk%5E2%7D%7D-%7B%5Cpi%7Dn%29%2B%7B%5Cpi%7Dn%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0 "u_n = sin[({\pi}{\sqrt{n^2+k^2}}-{\pi}n)+{\pi}n]")
là dãy giảm và thuộc 
nên theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ
Đây là chuỗi đan dấu, ta chỉ cần chứng minh dãy