Tích phân hữu tỷ

Để lại phản hồi Go to comments

Tóm tắt lý thuyết:

tp-huu-ty-1-copy.giftp-huu-ty-2-copy.giftp-huu-ty-3-copy.giftp-huu-ty-4-copy.gif
Bài tập giải mẫu:
1. Tính tích phân:
\int { \dfrac{2x + 5 }{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx
Ở đây, ta gặp dạng tích phân bậc tử bé hơn bậc mẫu 1 bậc. Do đó, ta thêm bớt ở tử số để xuất hiện biểu thức là đạo hàm của mẫu. Bài này cần xuất hiện 4x + 2 ở tử số. Ta có:
\int { \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{(4x + 2) + 8}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx
Hay:
{ \dfrac{1}{2}} {\int { \dfrac{(4x + 2)}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx} + {\int { \dfrac{4}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx}
= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{x^{2} + x + 3/2}} \,dx}
= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{(x+1/2)^{2} + 5/4}} \, dx}
= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + 2.{ \dfrac{2}{\sqrt{5}}}.{arctg{({ \dfrac{x+1/2}{ \dfrac{\sqrt{5}}{2}}})}} + C
= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + { \dfrac{4.{\sqrt{5}}}{5}}.{arctg{({ \dfrac{{(2x+1)}.{\sqrt{5}}}{5}})}} + C
  1. cuong xc01
    13.05.2009 lúc 10:39 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, giúp em bài này với nhé: tính tích phân bất định sau: tich phan dx/((x^2)+1))^2

  2. Vũ Hoàng
    13.05.2009 lúc 10:47 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    Bài này chỉ cần đặt x = tgt là ra kết quả rồi mà. Bạn làm thử xem nhé.

  3. hoaivu
    02.06.2009 lúc 19:20 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    xin cac ban giup do tinh dum tich phan xac dinh :tri tuyet doi cua cosx – sinx lay can tu 0 den 2 pi.

    • Vũ Hoàng
      03.06.2009 lúc 08:09 | #4
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài này nếu bạn xét dấu của |cosx – sinx| thì sẽ khá dài.
      Ở đây ta nhận xét:
      |cos(x+\pi)-sin(x+\pi)|=|-cosx-(-sinx)|=|sinx-cosx|=|cosx-sinx|
      Vậy: \int\limits_{\pi}^{2\pi} |cosx-sinx| \, dx = \int\limits_0^{\pi} |cosx-sinx| \, dx
      Do đó: \int\limits_{0}^{2\pi} |cosx-sinx| \, dx =2 \int\limits_0^{\pi} |cosx-sinx| \, dx
      Tới đây bạn bung trị tuyệt đối sẽ có 2 tích phân 1 tích phân từ 0 đến pi/4 và 1 tích phân từ pi/4 đến pi

    • nguyen van quy
      03.07.2009 lúc 19:34 | #5
      Trả lời | Trích dẫn

      Đơn giản thui. Cậu chỉ cần giải cosx – sinx để tìm nghiệm của nó. Sau đó, cậu xét dấu trên các khoảng và tách ra làm 2 tích phân. Nếu khoảng nào âm thì cậu đổi dấu đằng trước, còn nếu dương thì cậu giữ nguyên dấu.

  4. nguyen van quy
    03.07.2009 lúc 19:31 | #6
    Trả lời | Trích dẫn

    Hay ghê. Cách này mình chưa biết. May quá hum nay đọc được. Thế là tìm ra cách giải mới nữa gùi hj`j`j

  5. doantrang
    13.11.2009 lúc 08:35 | #7
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, dạng mà trên tử bằng 1, mẫu là tích của nhiều hàm số thì làm thế nào ah? Ví dụ như tích phân của 1/((x+1)^3*(x-1)^2)

    • 2Bo02B
      13.11.2009 lúc 22:21 | #8
      Trả lời | Trích dẫn

      Em dùng phương pháp ở trên, tách thành các phân thức như sau:
      \dfrac{1}{(x+1)^3(x-1)^2} = \dfrac{A_1}{x+1} + \dfrac{A_2}{(x+1)^2} + \dfrac{A_3}{(x+1)^3} + \dfrac{B_1}{x-1} + \dfrac{B_2}{(x-1)^2}
      Sau đó, quy đồng mẫu số, ta tính được các hệ số A1, A2, A3, B1, B2

  6. doantrang
    14.11.2009 lúc 07:26 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    vâng, em làm được rồi. Em cám ơn thầy a. Thầy tuyệt vời quá!

Comment pages
  1. No trackbacks yet.