Tích phân suy rộng (Improper Integrals)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

\mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \int\limits_a^b {f(x)dx: = } \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ: \int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} là hội tụ; \int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{x}} là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1. \int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_1^b{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to \infty}\left(\left.{arctanx}\right|_{x=1}^b\right)=\lim\limits_{b \to +\infty} \left(arctanb - \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}

2. \int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_{1}^{b}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \left. {lnx}\right|_{x=1}^b = \lim\limits_{b \to +\infty} lnb = +\infty .

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng: I = \int\limits_0^{\infty} t.e^{-2t} dt

Ta có: I = \lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_0^{b} t.e^{-2t} dt (*)

- Trước tiên,  Tính tích phân: \int\limits_0^b t.e^{-2t} dt

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

\int\limits_0^b t.e^{-2t} dt = \left( -\dfrac{1}{2}t.e^{-2t} -\dfrac{1}{4}e^{-2t} \right)_{t=0}^b = \left(-\dfrac{1}{2}b.e^{-2b} -\dfrac{1}{4}e^{-2b} + \dfrac{1}{4}\right)

Thế vào (*) ta có:

I = -\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left((2b-1)e^{-2b} -1 \right) = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left( \dfrac{2b-1}{e^{2b}}\right) = \dfrac{1}{4}

(do \lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2b-1}{e^{2b}} \underset{=}{L'H} \lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2}{2e^{2b}} = 0 )

Vậy: I hội tụ và I = \dfrac{1}{4}

1.2 Định nghĩa:

\int\limits_{ - \infty }^c {f(x)dx} : = \mathop {\lim }\limits_{d \to  - \infty } \int\limits_d^c {f(x)dx}

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: \mathop\int\limits_a^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{{x^s }}}} {\rm{ a > 0 ; }}{\rm{ s > 0}}

Nếu s \rm{ > 1} thì tích phân hội tụ.

Nếu s \le 1 thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có: \mathop\int\limits_a^{+\infty}{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}\int\limits_a^c{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1 - s}} \left[ {\dfrac{1}{{{x^{s - 1}}}}} \right]_{x=a}^c

Với s > 1. Khi đó:

\lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1-s}} \left(\dfrac{1}{c^{s-1}} - \dfrac{1}{a^{s-1}}\right) = \dfrac{1}{1-s}\left({0- \dfrac{1}{a^{s-1}}}\right) = \dfrac{1}{s-1}.{\dfrac{1}{a^{s-1}}}

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s < 1:

\lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1-s}}\left({\dfrac{1}{c^{s-1}}}-{\dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)= \lim\limits_{c \to +\infty}\left[{\dfrac{1}{1-s}}\left({c^{1-s}- \dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)\right]= + \infty (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:

  1. Nếu \int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx} hội tụ thì tích phân \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} hội tụ
  2. Nếu \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} phân kỳ thì tích phân \int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx} phân kỳ.

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).

Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = k (0 \rm{< k} \rm{< +\infty} ) thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nhận xét:

- Để xét sự hội tụ của tích phân \int\limits_a^{+\infty} f(x) dx , ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1 . Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).

1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

\int\limits_2^{+\infty}{\dfrac{dx}{lnx}} .

Rõ ràng: hàm f(x) = \dfrac{1}{lnx} là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc [2,+{\infty}) .

Khi x \to +{\infty} : lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.

Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:

\rm{lnx < } x , \forall x \ge 1

Vậy:

\int\limits_2^{+{\infty}}\dfrac{dx}{lnx} \ge \int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x}

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân \int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x} phân kỳ).

Ví dụ 3

\int\limits_{1}^{+{\infty}}{\dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}}}dx . $latex $

Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy:

Khi x \to {\infty}

{\sqrt{1+x}} \sim x^{\frac{1}{2}} , {\sqrt[3]{1+x^2}} \sim x^{\frac{2}{3}}

Vậy:

f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}} \sim \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} = g(x)

Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên [1;+∞) nên \int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \int\limits_1^{+\infty} g(x) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác: \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} dx hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

I_4=\int\limits_0^{+\infty}{\dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2}} dx . $latex $

Khi x \to +\infty ta có:

f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} \sim \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2} = \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = g(x)

Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi x \ge 0 , còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

I_4 = \int\limits_0^{1} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx + \int\limits_1^{\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx

- Do \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} xác định và liên tục trên [0;1] nên \int\limits_0^1 \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx là tích phân xác định nên hội tụ.

- \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx \sim \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{5/3}} nên hội tụ.

Vậy tích phân I4 hội tụ.

Thảo luận

167 thoughts on “Tích phân suy rộng (Improper Integrals)

  1. thầy ơi cho em hỏi có cách nào để mình nhận biết hàm g(x) k thầy.
    e sử dụng định lý 2 có hơi lúng túng ở cách chọn hàm g(x) . mong thầy giúp em. cảm ơn thầy

    Like

    Posted by Đức hiếu | 09/12/2013, 21:44
  2. Em chào thầy. Thầy giải giúp em bài tap này với ạ. Tìm giá trị của tích phân \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^n}. Em cảm ơn!

    Like

    Posted by Song | 15/03/2013, 13:54
  3. giải dùm em bài này với.đi học trễ nên em ko nghe giảng đc phần này về đọc lí thuyết mơ hồ quá. giải kỹ dùm em . em cảm ơn .
    cận từ 3 đến +vô cực x^a/căng(x(x-1)(x-2). em xem các tài liệu thì thấy xét sự hội tụ nhưng mà mũ có số hết của em thì là trắc nghiệm nên nó cho đáp án : a>1 ;a<1/2;a<-1 .giúp em với.

    Like

    Posted by tangon | 10/01/2013, 21:52
  4. thầy và các bạn giúp em được không xét sự hội tụ hay phân kì của : tích phân từ 0 đến dương vô cùng của Thương mà tử là X mẫu là ( 1+ x^6 (sin X) ^2) em xin cảm ơn ạ

    Like

    Posted by nguyen tat truong | 27/11/2012, 19:54
  5. thầy ơi giúp em bai toán này: xét tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân cận từ 0-1 của (x2/(tanx – sin x))

    Like

    Posted by BÙI Quốc Nhật | 29/10/2012, 21:50
  6. Em chào thầy,
    Thầy cho em hỏi:
    Tích phân suy rộng có thể dùng tích phân Trebusev để giải được không ah??
    Nếu được thì cho em hỏi bài này: Tích phân [dx/(x*căn(1+x^2))] cận từ căn 3 đến vô cùng khi giải bài này bằng cách đặt x=tanx thì đs là (ln căn 3) ; nhưng nếu em dùng trebusev thì đs lại là ln3.
    Mong thầy chỉ dùm em, chúc thầy một năm mới vui vẻ! Cảm ơn thầy rất nhiều!!:D

    Like

    Posted by Tran Chau | 01/02/2012, 19:30
  7. lúc trc e nhìn dô mí bài ni thấy như đám rừng nhưng càng tìm hỉu e càng thấy hay…..cảm ơn thầy nhìu lắm….:))

    Like

    Posted by pha | 31/12/2011, 16:41
  8. Thầy ơi, thầy giúp em mấy câu này được không ạ! Em cảm ơn thầy
    1/Trong các tích phân suy rộng dưới đây, tích phân suy rộng nào hội tụ?
    a. Tp cận từ 0 -> dương vô cùng của (x+1)/(x^2+1)
    b. tp cận từ 1 -> dương vô cùng của x/(x^1/3)
    c. tp từ 0 -> dương vô cùng của (x^1/3)/(x^2+1)^(1/3)
    d. tp từ 0 -> dương vô cùng của (x^6 + 5)^(1/5)
    2/ Trong các tích phân suy rộng dưới đây, tích phân suy rộng nào hội tụ tuyệt đối?
    a.Tp cận từ 0 -> dương vô cùng của (cos x)/(x^2+1)
    b.Tp cận từ 1 -> dương vô cùng của xsinx/(x^1/3)
    c.Tp cận từ 0 -> dương vô cùng của (sin x + cos x)/(x^2+1)^(1/2)
    d.Tp cận từ 0 -> dương vô cùng của (x * cos x)/(x^6 + 5)^(1/5)

    Like

    Posted by Hằng | 22/12/2011, 15:21
  9. thầy viết dễ hiểu thiệt…cảm ơn thầy nhiều.

    Like

    Posted by cong hiep | 10/12/2011, 21:55
  10. ko bít thầy có trả lời em ko vì em sắp thi cug liều vậy VD cho tích phân chạy từ 0-> 1 của hàm dx/căn bậc hai của (x+x^3) sau một hồi xem xét thì nó là hội tụ nhug em ko thể tính đc ra đáp số cụ thể .EM liều thử xem thế này có đug ko nha thầy hàm g(x) của em xẽ là 1/x^(3/2) vì hàm g(x) gần tương đương với f(x) => tính tích phân g(x) ra xog thay cận vào như bt .Đáp số của g(x) =F(x) .Thế có đug ko thầy nếu sai thầy làm hộ em đáp số ra bao nhiêu em còn bít

    Like

    Posted by hung | 08/12/2011, 17:46
    • Bạn ơi,bạn chú ý điểm dị dạng ở đây là 0 chứ ko phải vô cùng nên cú đầu tiên khi lấy tương đương đã sai mất rồi,phải là 1/x^(1/2) nhé !

      Like

      Posted by Việt | 28/12/2011, 20:52

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 987 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 987 other followers

%d bloggers like this: