Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-R

Chỉ dẫn lịch sử

1. Công thức khai triển:

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.

Hãy xác định một đa thức y = P_n(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

P_n(a) = f(a) ; P_{n}^{'}(a) = f'(a);...; P_{n}^{(n)}(a) = {{f}^{(n)}}(a) (1)

Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định:

{{P}_{n}}(x)={{C}_{0}}+{{C}_{1}}.(x-a)+{{C}_{2}}.{{(x-a)}^{2}}+...+{{C}_{n}}.{{(x-a)}^{n}} \qquad (2)

Các hệ số C_0, C_1, C_2, ..., C_n được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.

Trước hết, ta tìm các đạo hàm của P_n(x) :

\left\{ \begin{array}{l} P_{n}^{'}(x) = C_1 + 2C_2(x-a) + 3C_3.{(x-a)}^2 + ... + nC_n{(x-a)}^{n-1} \\ P_{n}^{''}(x) = 2C_2+3.2C_3.(x-a) + ... + n(n-1)C_n{(x-a)}^{n-2} \\ .................................................................................. \\ P_{n}^{(n)}(x) = n(n-1)...2.1.C_n \\ \end{array} \right. (3)

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:

\left\{\begin{array}{l} P_n(a) = C_0 \\ P_n^{'}(a) = C_1 \\ P_n^{''}(a) = 2.1.C_2 \\ \text{....................................} \\ P_n^{(n)}(a) = n.(n-1)...2.1C_n \\ \end{array} \right.

So sánh với điều kiện (1) ta có:

\left\{ \begin{array}{l} f(a)={{C}_{0}} \\ f'(a)={{C}_{1}} \\ f''(a)=2.1.{{C}_{2}} \\ ....................... \\ {{f}^{(n)}}(a)=n.(n-1)...2.1.{{C}_{n}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{C}_{0}}=f(a) \\ {{C}_{1}}=f'(a) \\ {{C}_{2}}={ \dfrac{1}{2!}}.f''(a) \\ ....................... \\ {{C}_{n}}={ \dfrac{1}{n!}}.{{f}^{(n)}}(a) \\ \end{array} \right. (4)

Thay các giá trị của C_0, C_1, C_2, ..., C_n vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm:

\begin{array}{r}P_n(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}(x-a)^2 + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}(x-a)^3 + \\ ... + { \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^n \\ \end{array}

Ký hiệu bằng R_n(x) , hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập P_n(x) (hình vẽ): {{R}_{n}}(x) = f(x) - {{P}_{n}}(x)

Hay:

\begin{array}{r} f(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}} + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} + {{R}_{n}}(x) \\ \end{array} (6)

taylor R_n(x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư R_n(x) bé, thì khi đó đa thức P_n(x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức P_n(x) với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư R_n(x)

Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư R_n(x) khá bé .

Viết số hạng dư dưới dạng: {{R}_{n}}(x) = { \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}Q(x) (7)

Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.

Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.

Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x) :

\begin{array}{r}F(t) = f(x) - f(t) - { \dfrac{x-t}{1!}}f'(t) - { \dfrac{(x-t)^2}{2!}}f''(t) - ... \\ - { \dfrac{(x-t)^n}{n!}}f^{(n)}(t) - { \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array} (8)

Tìm đạo hàm F’(t) :

\begin{array}{l} {F}'(t)=-{f}'(t)+{f}'(t)-{ \dfrac{(x-t)}{1}}{f}''(t)+{ \dfrac{2(x-t)}{2!}}{f}''(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{2}}}{2!}}{f}'''(t)+...-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n-1}}}{(n-1)!}}{{f}^{(n)}}(t)+{ \dfrac{n{{(x-t)}^{n-1}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array}

Rút gọn lại ta được :

F'(t)=-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \qquad (9)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.

Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.

Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = \xi nằm giữa a và x sao cho F'(\xi) = 0

Thế vào (9) ta có : F'(\xi )=-{ \dfrac{{{(x-\xi )}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi )+{ \dfrac{(n+1){{(x-\xi )}^{n}}}{(n+1)!}}Q

Suy ra : Q = f^{(n+1)}(\xi)

Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

{{R}_{n}}(x) ={ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi ) – số hạng dư Larange

\xi là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng: \xi = a + {\theta}(x-a) , \theta \in [0 ;1]

Nghĩa là : R_n(x) = { \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}[a+{\theta}(x-a)]

Công thức:

\begin{array}{r} f(x)=f(a)+{\dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a)+{ \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}}+{ \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}}+...\\ +{ \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} +{ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}[a+\theta (x-a)] \\ \end{array} – gọi là công thức khai triển Taylor (Taylor expansion) của hàm số f(x).

Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

\begin{array}{r} f(x) = f(0)+{ \dfrac{x}{1!}}f'(0) + { \dfrac{{{x}^{2}}}{2!}}f''(0) + { \dfrac{{{x}^{3}}}{3!}}f'''(0) + ... + { \dfrac{{{x}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(0) \\ + { \dfrac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\theta x) , \qquad \theta \in [0;1] \\ \end{array}

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư R_n(x) – được gọi là công thức khai triển Maclaurin (Maclaurin expansion).

Tóm lại, ta có định lý sau:

Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm f'(x) , f''(x) , ... , f^{(n)}(x) liên tục tại điểm x_0 và có đạo hàmf^{(n+1)}(x) trong lân cận của x_0 thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:

\begin{array}{r} f(x) = f({{x}_{o}}) + { \dfrac{f'({{x}_{o}})}{1!}}(x-{{x}_{o}}) + { \dfrac{f''({{x}_{o}})}{2!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{2}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}({{x}_{o}})}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n}}+{ \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n+1}} \\ \end{array}

(c ở giữa x_0 và x, c = x_0+ a(x-x_0), 0 < a <1 )

Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó. Đặc biệt x = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận x_0 = 0 ):

\begin{array}{r} f(x) = f(0) + { \dfrac{f'(0)}{1!}}x + { \dfrac{f''(0)}{2!}}{{x}^{2}} + ... + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}}{{x}^{n}} + { \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(\theta x)}{n!}}{{x}^{n+1}}, \\ \qquad (0<{\theta}<1) \\ \end{array}

Thảo luận

178 thoughts on “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)

  1. Thầy ơi con thấy có chỗ không ổn.
    Nếu ta được phép ngắt bỏ hay thêm vao những vcb bậc cao trong khai triển thì không lẽ khi tính giói hạn thì ta se thay đổi kết quả tuỳ ý???
    Xin cảm ơn thầy!

    Like

    Posted by Tuấn Cường | 12/11/2010, 11:11
    • Giới hạn sẽ không thể có kết quả tùy ý. Không mất tính tổng quát, ta xét bài toán sau: L = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^m} (có dạng 0/0)
      Giả sử khai triển Maclaurin của f(x) có bậc nhỏ nhất là n thì f(x) = a_n.x^n + a_{n+1}x^{n+1}+ ... = a_nx^n + 0(x^n)
      Nếu không ngắt bỏ VCB thì ta chia tử và mẫu cho x^n ta có 3 TH sau:
      – Nếu n m thì L = 0
      3 kết quả này vẫn không thay đổi nếu ta ngắt bỏ 0(x^n) . Nghĩa là, kết quả giới hạn là duy nhất, nó chỉ phụ thuộc vào bậc thấp nhất trong khai triển của f(x).

      Like

      Posted by 2Bo02B | 13/11/2010, 22:41
  2. thay oi khi khai trien maclaurin ham so ln(x+(1+x^2)^1/2) den x^5 ngoai cach dung cong thuc tong quat( dung dao ham) thi con cach bien doi nao khac khong a? thay lam mau giup em bai nay luon nha thay(ap dung cong thuc khai trien taylor- maclaurin)
    lim(1/x)((1/x)-cosx) x tien toi 0

    Like

    Posted by hanh | 05/11/2010, 07:04
  3. bài viết của thầy khá súc tích, khai triển taylor có ứng dụng khá rộng rãi trong vật lý, đặc biệt là cơ học lượng tử.

    Like

    Posted by lechituu | 30/10/2010, 12:51
  4. thưa thầy thầy có thể viết hẳn 1 bài về tính lồi lõm được ko ạ

    Like

    Posted by vi chiên thắng | 23/10/2010, 10:28
  5. Cám ơn Thầy Thụ Nhân
    Với mục đích ứng dụng, f(x0) có thể có được nhờ việc đo trên thực tế. đạo hàm cấp (n+1) của f(x) có thể tính được bằng các công cụ giả vi phân (PeusdoDiffirence). Vậy là em đã có công cụ để giải quyết vấn đề nội suy (interpolation), các thông tin nằm ở khoảng giữa 2 điểm rời rạc.

    Like

    Posted by shakhi | 20/10/2010, 09:55
  6. Cảm ơn Thầy Thụ Nhân đã trả lời các câu hỏi của em.
    Nhưng em vẫn còn vài điểm còn băn khoăn, mong tiếp tục nhận được sự quan tâm của Thầy. Mục đích chỉ là để hiểu thật rõ về phép khai triển này.
    Em hiểu là: Biến đổi Taylor-Maclaurin cho phép xấp xỉ hàm số bất kỳ tại lân cận 1 điểm nào đó (x0). Nhưng ta phải tính được đạo hàm bậc n của hàm số đó, yêu cầu này xem ra khó đối với trường hợp ta không biết hàm số đó là gì. Nhưng đây lại là trường hợp hay gặp nhất. Vì không biết hàm f(x) là gì, ta mới phải xấp xỉ nó.
    Nếu làm theo phương pháp trong “2. Các khai triển Maclaurin quan trọng:”. Thì đó chỉ là các kết quả triển khai tai x=0. Liệu có đúng với các x còn lại.
    Mong Thầy giải thích giúp.

    Like

    Posted by shakhi | 19/10/2010, 15:01
    • Không phải không biết hàm f(x) là gì, mà em phải biết cụ thể hàm f(x) là hàm nào và ở đây ta chỉ xét xấp xỉ tại lân cận của điểm x0 (cho trước) chứ không phải xấp xỉ trên toàn bộ miền xác định. Có nhiều trường hợp ta không tìm được qui luật của đạo hàm cấp n, nên việc tính toán sẽ cồng kềnh và phức tạp nên thường ta sẽ tìm cách tìm mối liên hệ với những hàm đã biết.
      Còn công thức Maclaurin chỉ là công thức khai triển tại lân cận của x0 = 0. Nó là 1 trường hợp riêng của công thức Taylor. Trong công thức Taylor, thì khi khai triển sẽ liên quan đến lũy thừa của (x – x0), còn khai triển Maclaurin chỉ liên quan đến lũy thừa của x. Nên chắc chắn không còn chính xác.
      Tuy vậy, công thức Taylor-Maclaurin là nền tảng cho việc nghiên cứu chuỗi lũy thừa. Bằng công cụ chuỗi lũy thừa và công cụ đánh giá phần dư Larrange, ta sẽ có các chuỗi e^x, sinx, cosx hội tụ với mọi x khi n đủ lớn. Nghĩa là, nếu x càng gần 0 thì bậc khai triển sẽ càng thấp nhưng nếu giá trị x càng lớn thì để sai số càng nhỏ, ta phải khai triển đến bậc đủ lớn thì kết quả mới chính xác.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 19/10/2010, 22:26
  7. Thầy ơi! Thầy giúp em giải bài này đi. Em nghĩ hoài ko ra
    Viết khai triển Maclaurin của hàm số y = cos(sinx) đến x^4
    Em giải thế này thầy xem đúng không ạ
    Ta có: f(x)= 1-(sin^2x)/2!+(sin^4x)/4!+…=1-x^2/2+x^4/24+0(x^4).
    Thầy trả lời cho em nhanh nha!
    Em cảm ơn Thầy.

    Like

    Posted by nguyen thanh tam | 18/10/2010, 19:02
    • Hướng đi của em đúng rồi, nhưng khi khai triển sin^2x ; sin^4x thì chưa chính xác.
      Ta có: f(x) \approx 1 - \dfrac{sin^2x}{2!} + \dfrac{sin^4x}{4!} + 0(sin^4x) \approx 1 - \dfrac{sin^2x}{2} + \dfrac{sin^4x}{24} + 0(x^4) (vì trong khai triển, bậc thấp nhất của sinx là x).
      Tuy nhiên, ta phải có:
      sin^2x = (sinx)^2 \approx \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + 0(x^3) \right)^2 \approx x^2 - 2x.\dfrac{x^3}{6} + 0(x^4) (trong khi khai triển, ta phải khai triển các số hạng cho đến khi các số hạng vượt quá bậc yêu cầu).
      sin^4x = (sinx)^4 \approx x^4 (vì số hạng thấp nhất đã là bậc 4, nên các số hạng kế tiếp sẽ có bậc lớn hơn 4. do đó, ta ngắt bỏ.
      Vậy kết hợp lại, em sẽ có:
      cos(sinx) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}
      Như vậy, em sót mất thừa số x^4 trong khai triển của sin^2x

      Like

      Posted by 2Bo02B | 18/10/2010, 22:00
  8. Thưa thầy Thụ Nhân, vậy có thể hiểu là khai triển Taylor-Maclaurin cho ta xấp xỉ hàm f(x) tại lân cận x0 nào đó, Vậy có thể biết chi tiết hơn là lân cận x0 có nghĩa là từ (x0- epsilon) đến (x0+ epsilon). Vậy có công thức nào xác định epsilon không ạ? Liệu epsilon có phụ thuộc vào tốc độ thay đổi của f(x)?

    Like

    Posted by shakhi | 18/10/2010, 00:38
    • Để tìm epsilon, anh dựa vào công thức phần dư Larrange. Trong trường hợp này, người ta đã cho trước bậc khai triển và khoảng sai số. Khi đó mình giải tìm được epsilon.
      Ví dụ: tìm những giá trị của x để sinx \approx x - \dfrac{x^3}{3!} với độ sai số 10^{-6}
      Khi đó: dựa vào công thức phần dư Larrange, anh sẽ có:
      R_5(x) = \dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}|x|^5 \le \dfrac{|x|^5}{5!} \le 10^{-6} \Rightarrow |x| \le 0.164375

      Like

      Posted by 2Bo02B | 18/10/2010, 22:54
  9. Thưa thầy Thụ Nhân, có thể nhận xét về khai triển Taylor – Macraulin là rất phù hợp với f(x) có dạng “sóng”, dao động điều hoà. Thầy có thể giới thiệu công cụ nào cho hàm mang tính ngẫu nhiên.

    Like

    Posted by shakhi | 17/10/2010, 11:39
    • Chào anh Hà,
      Khai triển tư tưởng chính của khai triển Taylor – Maclaurin là muốn xấp xỉ 1 hàm bất kỳ thành 1 đa thức bậc n (với n đủ lớn), tại lân cận của điểm x0 nhằm khảo sát các tính chất của hàm số tại lân cận điểm x0 đó, cũng như tính gần đúng giá trị tại những điểm lân cận với sai số cho phép.
      Như vậy, việc khai triển Taylor – Maclaurin có thể áp dụng cho 1 hàm bất kỳ (chứ không nhất thiết phải là hàm dạng “sóng” hay dao động điều hòa), cũng như sau khi triển, đa thức bậc n cũng không có tính chất này (vì những hàm này không có chu kỳ tuần hoàn).
      Để khai triển, xây dựng 1 hàm bất kỳ thành hàm dạng sóng, dao động điều hòa, ta cần sử dụng phương pháp khác là khai triển Fourier. Với công cụ này anh có thể xấp xỉ 1 hàm bất kỳ thành 1 hàm sóng dao động điều hòa.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 17/10/2010, 13:45
  10. Thưa Thầy Thụ Nhân, nếu trong thực tế tính toán, ta chỉ tính được xấp xỉ đạo hàm bậc nhất tại mỗi điểm x, liệu sai số coa quá lớn không nếu ta cứ dùng khai triển Maclaurin. Hay nói cách khác, liệu có mối quan hệ gì giữa bậc của f(x) và bậc của đạo hàm cần tính được để sai số là chấp nhận được.

    Like

    Posted by shakhi | 16/10/2010, 18:16
    • Em có thể xem phần đánh giá sai số ở phía trên. Với khai triển Maclaurin tại lân cận x = 0 thì sai số sẽ là:
      R_n = \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}({\theta}x)
      Do đó, nếu chỉ khai triển đến bậc 1 thì sai số sẽ là:
      R_2 = \dfrac{x^{2}}{2}f^{''}({\theta}x)
      Nên sai số chỉ nhỏ khi x rất gần 0. Ngược lại, sai số sẽ rất lớn.
      Để biết khai triển đến bậc bao nhiêu để sai số nhỏ hơn giá trị A cho trước thì ta phải đánh giá R_n \le A . Từ đó, ta sẽ biết được bậc n là bao nhiêu? Và khi đó, ta sẽ khai triển hàm số đến bậc đó.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 16/10/2010, 20:52
  11. Chào thầy, thầy cho em hỏi khi ta dùng khai triển hữu hạn maclaulinh thì làm thế nào để biết là khai triển đến cấp bao nhiêu ạ:

    ví dụ tính lim (khi x đần tới 0)của hàm số y=x^2.e^{1/x^2} bằng quy tắc maclaulinh ; khi làm thì em khai triển e^{1/x^2} đến bậc 1, vậy em hỏi thầy làm ntn để biết nên khai triển đến bậc một .Em cảm ơn ạ

    Like

    Posted by Nguyễn Hữu Thọ | 11/10/2010, 16:59
  12. thay giai giup em bai nay voi, e xin cam on thay.
    khai trien taylor xe^(1/x)

    Like

    Posted by LE DIEP | 28/07/2010, 20:47

Trackbacks/Pingbacks

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 988 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 988 other followers

%d bloggers like this: