Khai triển Taylor – Maclaurin

Để lại phản hồi Go to comments

1. Công thức khai triển:

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.

Hãy xác định một đa thức y = P_n(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

P_n(a) = f(a) ; P_{n}^{'}(a) = f'(a);...; P_{n}^{(n)}(a) = {{f}^{(n)}}(a) (1)

Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định:

{{P}_{n}}(x)={{C}_{0}}+{{C}_{1}}.(x-a)+{{C}_{2}}.{{(x-a)}^{2}}+...+{{C}_{n}}.{{(x-a)}^{n}} \qquad (2)

Các hệ số C_0, C_1, C_2, ..., C_n được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.

Trước hết, ta tìm các đạo hàm của P_n(x) :

\left\{ \begin{array}{l} P_{n}^{'}(x) = C_1 + 2C_2(x-a) + 3C_3.{(x-a)}^2 + ... + nC_n{(x-a)}^{n-1} \\ P_{n}^{''}(x) = 2C_2+3.2C_3.(x-a) + ... + n(n-1)C_n{(x-a)}^{n-2} \\ .................................................................................. \\ P_{n}^{(n)}(x) = n(n-1)...2.1.C_n \\ \end{array} \right. (3)

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:

\left\{\begin{array}{l} P_n(a) = C_0 \\ P_n^{'}(a) = C_1 \\ P_n^{''}(a) = 2.1.C_2 \\ \text{....................................} \\ P_n^{(n)}(a) = n.(n-1)...2.1C_n \\ \end{array} \right.

So sánh với điều kiện (1) ta có:

\left\{ \begin{array}{l} f(a)={{C}_{0}} \\ f'(a)={{C}_{1}} \\ f''(a)=2.1.{{C}_{2}} \\ ....................... \\ {{f}^{(n)}}(a)=n.(n-1)...2.1.{{C}_{n}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{C}_{0}}=f(a) \\ {{C}_{1}}=f'(a) \\ {{C}_{2}}={ \dfrac{1}{2!}}.f''(a) \\ ....................... \\ {{C}_{n}}={ \dfrac{1}{n!}}.{{f}^{(n)}}(a) \\ \end{array} \right. (4)

Thay các giá trị của C_0, C_1, C_2, ..., C_n vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm:

\begin{array}{r}P_n(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}(x-a)^2 + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}(x-a)^3 + \\ ... + { \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^n \\ \end{array}

Ký hiệu bằng R_n(x) , hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập P_n(x) (hình vẽ): {{R}_{n}}(x) = f(x) - {{P}_{n}}(x)

Hay:

\begin{array}{r} f(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}} + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} + {{R}_{n}}(x) \\ \end{array} (6)

taylor R_n(x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư R_n(x) bé, thì khi đó đa thức P_n(x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức P_n(x) với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư R_n(x)

Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư R_n(x) khá bé .

Viết số hạng dư dưới dạng: {{R}_{n}}(x) = { \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}Q(x) (7)

Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.

Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.

Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x) :

\begin{array}{r}F(t) = f(x) - f(t) - { \dfrac{x-t}{1!}}f'(t) - { \dfrac{(x-t)^2}{2!}}f''(t) - ... \\ - { \dfrac{(x-t)^n}{n!}}f^{(n)}(t) - { \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array} (8)

Tìm đạo hàm F’(t) :

\begin{array}{l} {F}'(t)=-{f}'(t)+{f}'(t)-{ \dfrac{(x-t)}{1}}{f}''(t)+{ \dfrac{2(x-t)}{2!}}{f}''(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{2}}}{2!}}{f}'''(t)+...-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n-1}}}{(n-1)!}}{{f}^{(n)}}(t)+{ \dfrac{n{{(x-t)}^{n-1}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array}

Rút gọn lại ta được :

F'(t)=-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \qquad (9)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.

Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.

Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = \xi nằm giữa a và x sao cho F'(\xi) = 0

Thế vào (9) ta có : F'(\xi )=-{ \dfrac{{{(x-\xi )}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi )+{ \dfrac{(n+1){{(x-\xi )}^{n}}}{(n+1)!}}Q

Suy ra : Q = f^{(n+1)}(\xi)

Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

{{R}_{n}}(x) ={ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi ) – số hạng dư Larange

Vì \xi là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng: \xi = a + {\theta}(x-a) , \theta \in [0 ;1]

Nghĩa là : R_n(x) = { \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}[a+{\theta}(x-a)]

Công thức:

\begin{array}{r} f(x)=f(a)+{\dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a)+{ \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}}+{ \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}}+...\\ +{ \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} +{ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}[a+\theta (x-a)] \\ \end{array} – gọi là công thức Taylor của hàm số f(x).

Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

\begin{array}{r} f(x) = f(0)+{ \dfrac{x}{1!}}f'(0) + { \dfrac{{{x}^{2}}}{2!}}f''(0) + { \dfrac{{{x}^{3}}}{3!}}f'''(0) + ... + { \dfrac{{{x}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(0) \\ + { \dfrac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\theta x) , \qquad \theta \in [0;1] \\ \end{array}

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư R_n(x) – được gọi là công thức khai triển Maclaurinh.

Tóm lại, ta có định lý sau:

Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm f'(x) , f''(x) , ... , f^{(n)}(x) liên tục tại điểm x_0 và có đạo hàmf^{(n+1)}(x) trong lân cận của x_0 thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:

\begin{array}{r} f(x) = f({{x}_{o}}) + { \dfrac{f'({{x}_{o}})}{1!}}(x-{{x}_{o}}) + { \dfrac{f''({{x}_{o}})}{2!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{2}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}({{x}_{o}})}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n}}+{ \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n+1}} \\ \end{array}

(c ở giữa x_0 và x, c = x_0+ a(x-x_0), 0 < a <1 )

Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó. Đặc biệt x = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận x_0 = 0 ):

\begin{array}{r} f(x) = f(0) + { \dfrac{f'(0)}{1!}}x + { \dfrac{f''(0)}{2!}}{{x}^{2}} + ... + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}}{{x}^{n}} + { \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(\theta x)}{n!}}{{x}^{n+1}}, \\ \qquad (0<{\theta}<1) \\ \end{array}

2. Các khai triển Maclaurin quan trọng:

1. e^x = \sum\limits_{k=0}^{n}{ \dfrac{x^k}{k!}}+0(x^n)

2. {\sin}x = x - { \dfrac{x^3}{3!}} + { \dfrac{x^5}{5!}} + ... + (-1)^{m-1}{ \dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}} + 0(x^{2m-1})

3. {\cos}x = 1 - { \dfrac{x^2}{2!}} + { \dfrac{x^4}{4!}} + ... + (-1)^{m}{ \dfrac{x^{2m}}{(2m)!}} + 0(x^{2m})

4. ln(1+x) = x - { \dfrac{x^2}{2}} + { \dfrac{x^3}{3}} - { \dfrac{x^4}{4}} + ... + (-1)^{n-1}{ \dfrac{x^n}{n}} + 0(x^n)

5.\begin{array}{r}(1+x)^{\alpha} = 1 + {\alpha}x + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)}{2!}}x^2 + ... + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)...({\alpha}-n+1)}{n!}}x^n + \\ 0(x^n) \\ \end{array}

Nhận xét: trong thực hành, thay vì ta đi tính các đạo hàm để tìm công thức khai triển Taylor – Maclaurin, thì ta có thể biến đổi biểu thức về các dạng trên, rồi áp dụng các tính chất sau:

Nếu f(x) \approx P_n(x) ; g(x) \approx Q_n(x) thì:

f(x){\pm}g(x) \approx P_n(x){\pm}Q_n(x) ; f(x).g(x) \approx P_n(x).Q_n(x)

Trang: 1 2

  1. Đặng Trường Giang
    26.05.2009 lúc 23:35 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Em nhờ thầy giải giúp em bài toán này.
    f(100) (tại x =0) của f(x)=x^2*e^x

    • Vũ Hoàng
      27.05.2009 lúc 18:44 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Theo lý thuyết, bạn sẽ có \dfrac{f^{(100)(0)}}{100!} chính là hệ số của lũy thừa x^{100}
      Do đó, để tính f^{(100)}(0) bạn chỉ cần tìm hệ số của lũy thừa x^{100} trong khai triển của f(x).
      Mặt khác bạn sẽ có: e^x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}
      Do đó: f(x) = x^2.e^x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n+2}}{n!}
      Vậy hệ số của x^{100} trong khai triển là: \dfrac{1}{98!}
      Do vậy: f^{(100)}(0) = \dfrac{100!}{98!} = 9900

  2. dientu
    01.06.2009 lúc 16:41 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi xem giùm em cách khai triển thành chuỗi lũy thừa của hàm số:
    \dfrac{x^2}{(1-x)^2}

    • Vũ Hoàng
      03.06.2009 lúc 06:18 | #4
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài này bạn làm như sau:
      \dfrac{x^2}{(1-x)^2} = x^2.(1-x)^{-2}
      =x^2.(1+(-2)(-x)+{ \dfrac{(-2)(-3)}{2!}}(-x)^2+{ \dfrac{(-2)(-3)(-4)}{3!}}(-x)^3+...)
      = x^2.(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+...+nx^{n-1}+...)
      = \sum\limits_{n=1}^{\infty} nx^{n+1}

      • dientu
        03.06.2009 lúc 15:07 | #5
        Trả lời | Trích dẫn

        mình làm như sau theo cách mình không biết đúng không

        \frac{1}{1-x^2} = ( \frac{1}{1-x} )'
        sau đó khai triển
        1/(1-x) cuối cùng nhân x^2

        • 2Bo02B
          03.06.2009 lúc 21:31 | #6
          Trích dẫn

          Vì sao \left( \dfrac{1}{1-x} \right)' = \dfrac{1}{1-x^2} ????

        • dientu
          04.06.2009 lúc 19:08 | #7
          Trích dẫn

          em xin lỗi, em sơ xuất do gõ latex
          \dfrac{1}{(1-x)^2} = ( \dfrac{1}{(1-x)}) '
          khai triển \dfrac{1}{(1-x)} rồi nhân cho x^2

        • 2Bo02B
          04.06.2009 lúc 21:25 | #8
          Trích dẫn

          Khai triển, rồi lấy đạo hàm của khai triển, sau đó mới nhân cho x^2 thì mới chính xác em à.

  3. mail
    29.07.2009 lúc 12:58 | #9
    Trả lời | Trích dẫn

    NNhờ thầy chỉ dẫn cách làm khai triển Maclaurin
    y=ln(1-x^2) đến số hạng x^6

    • 2Bo02B
      29.07.2009 lúc 15:41 | #10
      Trả lời | Trích dẫn

      Sử dụng công thức khai triển cho ln(1+x) ta có:
      ln(1+x) = x - { \dfrac{x^2}{2}} + { \dfrac{x^3}{3}} - { \dfrac{x^4}{4}} + ... + (-1)^{n-1}{ \dfrac{x^n}{n}} + 0(x^n)
      Vậy trong bài toán của em, em xem u = -x^2. Và khai triển Maclaurin theo biến u đến bậc 3.

  4. thanh xuan
    08.10.2009 lúc 23:16 | #11
    Trả lời | Trích dẫn

    thay oi giai giup em bai tap:Khai trien ham sau sd cong thuc Marclaurin
    y=ln(sinx/x) den x^6

  5. Bùi Yên Bình
    13.10.2009 lúc 23:49 | #12
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy giải hay qua.

  6. hieu
    19.10.2009 lúc 20:52 | #13
    Trả lời | Trích dẫn

    Thưa thầy, cho em hỏi tại sao những bài như thế này ta phải khai triển u đến bậc 3. Ta có thể khai triển đến bậc 4 hay 5 được ko ạ?

    • 2Bo02B
      19.10.2009 lúc 22:03 | #14
      Trả lời | Trích dẫn

      Khai triển đến bậc bao nhiêu là do đề bài yêu cầu mà em. Đề bài yêu cầu khai triển đến bậc 3 thì ta khai triển đến bậc 3 thôi. Dĩ nhiên, khai triển đến bậc 4, bậc 5 cũng được nhưng không cần thiết.

  7. hieu
    20.10.2009 lúc 16:18 | #15
    Trả lời | Trích dẫn

    Thưa thầy,trong các bài tập trắc nghiệm Maclaurin ta có thủ thuật gì để làm nhanh ko ạ?Thầy giảng cho em bài:Viết khai triển Maclaurin của hàm số y=arctg(sinx) đến số hang x^3.

  8. MM
    02.11.2009 lúc 07:27 | #16
    Trả lời | Trích dẫn

    EM thưa thầy có phải là: để tính sai số/ chỉ có thể áp dụng số dư dạng lagarang ạ. và tại sao lúc em thấy nó lấy là Rn ở cấp n+1 lúc thì cấp n vậy thầy( của thầy lại lấy ở cấp 4???

    • 2Bo02B
      02.11.2009 lúc 08:19 | #17
      Trả lời | Trích dẫn

      Em có hỏi vì sao thầy lại lấy đến cấp 4? Chắc em đang đề cập đến ví dụ 3 phải không? Sở dĩ, ta lấy cấp 4 vì trong khai triển của cosx, ngưới ta chỉ khai triển đến cấp 2. Đáng lẽ khi đó, sai số sẽ là bậc 3, nhưng trong khai triển của cosx, hệ số bậc 3 bằng 0 nên ta phải lấy cấp kế tiếp là cấp 4.

  9. MM
    02.11.2009 lúc 10:38 | #18
    Trả lời | Trích dẫn

    nhưng em thưa thầy : vd: như dùng công thức taylo để tính gần đúng: sin1 độ. chính xác tới 10^-8
    em làm như sau: xét sinx= 1 +x +… ( theo tay lo) với x= pi/180
    bây giờ ta phải tìm xem với n = ? thì thoả đề phải ko ạ/
    em đánh giá sai số như sau: Rn <= x ^(2n) / (2n)! với x =pi/180
    nó lại <= 1/ 10^8 . ta tính ra n ??
    thầy giảng hộ em với .

    • 2Bo02B
      02.11.2009 lúc 21:38 | #19
      Trả lời | Trích dẫn

      Em dùng công thức khai triển của sinx sai rồi. Còn hướng làm thì đúng. Vấn đề chỉ là giải tìm n thôi. Nếu em đang học năm nhất thì chưa có pp để giải thằng này, nhưng em có thể dùng máy tính để mò giá trị n. Thường thì n sẽ nhỏ hơn 6 hoặc 7.

  10. MM
    02.11.2009 lúc 19:16 | #20
    Trả lời | Trích dẫn

    em thưa thầy . thầy làm mẫu cho em con : tính gần đúng sin 1 độ . đến 10^-8 ạ

  11. vĩnh tài
    04.11.2009 lúc 16:30 | #21
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi! cho em hỏi lim(x-arcsinx)/(x-tanx) khi x-> o thì làm sao thầy, em suy nghĩ hoài mà không ra, với lại em đang thắc mắc khi khai triển taylor cho tanx thì làm sao thầy có công thức khia triển cho tanx không thầy?

    • 2Bo02B
      04.11.2009 lúc 21:19 | #22
      Trả lời | Trích dẫn

      Bài này em phải khai triển arcsinx và tanx đến bậc 3, hoặc em dùng công thức L’Hospital để tính.

  12. zombie
    05.11.2009 lúc 08:09 | #23
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi,giải giúp em bài này với
    f(x)=(1+x+x^2)/(1-x+x^2)đến số hạng x^4
    tính đạo hàm cấp 4 của f(0)

  13. lemui
    09.11.2009 lúc 23:15 | #24
    Trả lời | Trích dẫn

    Em chào thầy ạ, thầy ơi em muốn hỏi là khi mình khai triển Maclaurin của một hàm số nào đó mà đến bậc 2,3 thì mình có thể làm trực tiếp được nhưng nếu đề yêu cầu khai triển đến bậc 6,7,8 mà làm trực tiếp thì lâu quá hơn nữa còn nảy sinh nhiều sai sot trong quá trình tính, vậy mình có cách nào làm nhanh hơn không thầy.Nếu ta áp dung công thức thì chỉ được với những hàm số cơ bản thôi ạ còn những hàm cố phức tạp hơn thì làm sao thầy.Vi dụ:khai triển Maclaurin của ham số y=ln(cosx)đến số hạng x^4và khai triển Maclaurin của hàm số y=ln(1-x^2) đến số hạng x^6.À, thầy ơi,em muốn gửi cho thầy những bài tập được đánh bằng công thức toán nhưng em lại không biết,thầy chỉ cho em biết với.Em cám ơn thầy nhiều! Thầy không chê em dốt chứ ạ,vì em là sinh viên năm thứ nhất nên em còn bỡ ngỡ lắm ạ!

    • 2Bo02B
      13.11.2009 lúc 23:08 | #25
      Trả lời | Trích dẫn

      Em sử dụng các tính chất sau để chuyển về những hàm cơ bản đã biết:
      1. f(x) \approx P_n(x) \rightarrow f'(x) \approx p_n^{'}(x)
      2. f(x) \approx P_n(x) \rightarrow \int f(x) \, dx \approx \int P_n(x) \, dx +C . Thế x =0 vào 2 vế để xác định hằng số C phù hợp
      3. Khai triển của tổng, hiệu, tích bằng tổng, hiệu, tích các khai triển.
      Ví dụ: Khai triển y =ln(x + \sqrt{x^2+1}) đến bậc 7, ta xét y’ của nó. Ta có: y' = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} = (1+x^2)^{-1} . Vậy ta khai triển y’ đến bậc 6. Sau đó lấy nguyên hàm 2 vế, chọn hằng số C thích hợp, em sẽ có khai triển của y.

  14. keokeo’
    12.11.2009 lúc 14:53 | #26
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi trang wed thầy hay quá.thầy có thể chỉ cho tui em cách để học tốt môn toán trên đại học không ạ.tụi em mới lên năm nhất nên rất khó khăn.

    • 2Bo02B
      13.11.2009 lúc 22:36 | #27
      Trả lời | Trích dẫn

      Phương pháp thì mỗi người mỗi vẻ em à. Nhưng muốn học tốt, em phải nắm vững công thức, và điều kiện nào được sử dụng công thức đó, và cố gắng giải nhiều bài tập liên quan, kể cả những bài dễ và những dạng đã biết hướng giải. Nhiều bài nhìn vào biết hướng giải, nhưng khi bắt tay vào, mình mới thấy có những vướng mắc. Mặt khác, giải nhiều thì mình sẽ có nhiều chiêu để giải quyết.

  15. Nguyen Thanh Nhan
    19.11.2009 lúc 12:20 | #28
    Trả lời | Trích dẫn

    Co the cho em copy bai viet ve duoi dang word duoc khong? em khong copy duoc nhung cong thuc toan

Comment pages
1 ... 3 4 5 53
  1. No trackbacks yet.