Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-106

I. Các khái niệm cơ bản:

1. Định nghĩa hàm số 1 biến:

Cho D \subset R Hàm số f từ tập hợp D vào  R là một ánh xạ (quy tắc) tương ứng với mỗi giá trị x \in D với duy nhất 1 giá trị y \in R . Ký hiệu

\begin{array}{ccc} f: D \subset R & \to & R \\ x & \mapsto & y = f(x) \\ \end{array}

- D được gọi là miền xác định của hàm số. Tập hợp tất cả cá giá trị y ( thỏa y = f(x) ) được gọi là tập giá trị của hàm số. Ký hiệu: T = \{y \in R: y = f(x), \forall x \in D \}

2. Đơn ánh:

- Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn tại duy nhất 1 giá trị x \in X sao cho y = f(x) thì f được gọi là đơn ánh (ánh xạ 1-1).

Nghĩa là: f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2 (x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

Cho hàm số y = f(x) , x \in D

1. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tăng nghiêm ngặt (đồng biến) trên D khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

2. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số giảm nghiêm ngặt (nghịch biến) trên D khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên X được gọi là hàm đơn điệu trên X.

4. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không giảm trên X khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)

5. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không tăng (nghịch biến) trên X khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)

4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

- Tập X đối xứng qua 0: D được gọi là tập đối xứng qua 0 nếu: \forall x \in D \Rightarrow -x \in X

Ví dụ: X = (-1;1) \ \{0\} là tập đối xứng qua 0.

Thật vậy: \forall x \in X \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < x < 1 \\ x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < -x < 1 \\ -x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow -x \in X

- Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn trên D nếu: D đối xứng qua 0 và f(-x) = f(x), \forall x \in D

- Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ trên D nếu: X đối xứng qua 0 và f(-x) = - f(x), \forall x \in D

- Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung; đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

5. Hàm số tuần hoàn:

Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D nếu tồn tại số T khác 0 sao cho: f(x+T) = f(x) , \forall x \in D (*)

Số dương bé nhất trong số các giá trị T thỏa mãn (*) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.

Ví dụ: y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π. Hàm số y = c = const (hằng số) là 1 hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ

6. Hàm số bị chặn:

- Hàm số y = f(x) bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại a \in R sao cho

f(x) \ge a, \forall x \in D

- Hàm số y = f(x) bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại b \in R sao cho

f(x) \le b, \forall x \in D

- Hàm số y = f(x) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại M \in R sao cho

|f(x) | \le M, \forall x \in D

7. Hàm số hợp:

Cho ánh xạ \begin{array}{rl} f: X & \to Y \\ x & \mapsto y = f(x) \\ \end{array} \begin{array}{rl} g: Y & \to Z \\ y & \mapsto z =g(y) \\ \end{array}

Khi đó, nếu miền giá trị T_f của f thuộc miền xác định D_g của g thì hàm số g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g và f. Ký hiệu: g_of(x) = g(f(x))

Ví dụ: f(x) = sinx ; g(x) = \sqrt{x}

Khi đó: g_of(x) = g(f(x)) = g(sinx) = \sqrt{sinx}

f_og(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = sin(\sqrt{x})

Nhận xét: f_og \ne g_of

8. Hàm số ngược:

a. Ảnh ngược: Từ hàm số y = f(x) với y là hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử x = g(y) thì ánh xạ g được gọi là ảnh ngược của y cho bởi ánh xạ f. Khi đó, ta ký hiệu: g = f^{-1}

- Để ảnh ngược x = f^{-1}(y) là một hàm số thì ứng với mỗi giá trị y chỉ tương ứng với 1 giá trị x.

- Khi đó, xét hàm số y = f^{-1}(x) thì hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm y = f(x)

Ví dụ: Ta có: y = e^x \Rightarrow x = lny . Khi đó, hàm số y = lnx  là hàm ngược của hàm số y = e^x

- Ta có: y = 2x^3 + 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{y-4}{2}} . Khi đó, hàm số y = \sqrt[3]{\dfrac{x-4}{2}} là hàm ngược của hàm số y = 2x^3 + 4

b. Định nghĩa hàm số ngược: Hàm số g gọi là hàm ngược của hàm số f và kí hiệu là f^{-1} nếu:

f(g(x)) = x với mọi x thuộc miền xác định của g

g(f(x)) = x với mọi x thuộc miền xác định của f

Lưu ý: f^{-1}(x) \ne \dfrac{1}{f(x)}

- Rõ ràng, y = lnx là hàm ngược của y = e^x vì: e^{lnx} = x ; ln(e^x) = xlne = x

c.Tính chất:

- Hàm số g là hàm ngược của f khi và chi khi f là hàm ngược của g.

- Hàm ngược là một đơn ánh.

- Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm số ngược.

- Hàm ngược của hàm số (nếu có) là duy nhất.

Ví dụ: Hàm y = x^2 không là hàm đơn điệu trên toàn bộ miền xác định, vì có ảnh ngược x = \pm \sqrt{y} không duy nhất nên không có hàm số ngược. Tuy nhiên, hàm số y = x^2 , x \ge 0 là 1 đơn ánh và có ảnh ngược là x = \sqrt{y} nên hàm số y = x^2, x \ge 0 có hàm ngược y = \sqrt{x}

d.Đồ thị hàm số ngược: Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất. Nói cách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm ngược y = f^{-1}(x)

Thật vậy, nếu (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) thì f(a) = b. Khi đó: f^{-1}(b) = f^{-1}(f(a)) = a . Vậy a = f^{-1}(b) Hay điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm số y = f^{-1}(x)

Thảo luận

26 thoughts on “Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol

  1. thầy ơi. hàm ngược của hàm x^5 + x là gì vậy thầy?

    Like

    Posted by trang | 10/03/2014, 10:28
  2. thầy ơi, thầy giúp em giải giùm em bài hàm lượng giác ngược này ạ tính arcsin[1/2arccos{1/2}] ?

    Like

    Posted by lê đắc trọng | 10/10/2013, 00:54
  3. Thầy ơi điều kiện xác định của arcsin,arccos…là gì ha thầy?

    Like

    Posted by Dang thi quy | 11/09/2012, 07:19
  4. thầy chứng minh giúp em công thức:
    sin(arctgx)= x/căn(1+x2)

    Like

    Posted by huong | 15/11/2011, 09:46
  5. Thầy giúp em tìm hàm số ngược của hàm y = shx

    Like

    Posted by ha | 08/11/2011, 07:45
    • Để tìm hàm ngược, đầu tiên em tìm x theo y. Muốn vậy, em chú ý: y = shx = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} Em dễ dàng tìm được: x = ln(y+\sqrt{y^2+1})
      Sau đó, em tìm điều kiện để với mỗi y chỉ có duy nhất một giá trị x. Ở đây, do y+\sqrt{y^2+1} luôn dương và hàm ln là hàm đồng biến nên điều kiện trên luôn thỏa.
      Khi đó, hàm ngược của hàm y = shx y = ln(x+\sqrt{x^2+1})

      Like

      Posted by 2Bo02B | 08/11/2011, 19:36
  6. :( Phiền thầy chứng minh ý 1 giúp e với ạ, e học toán phần này còn nhiều chỗ chưa hiểu lắm ạ

    Like

    Posted by jenny | 31/10/2011, 15:08
    • Ta có arccosx + arcsinx \in [-\pi/2 ; 3\pi/2] ; \forall x \in [-1;1] (*)
      Xét: sin(arccosx + arcsinx) = sin(arccosx).cos(arcsinx) + sin(arcsinx).cos(arccosx) (1)
      Em có: sin(arcsinx) = x, cos(arccosx) = x ; \forall x \in [-1;1] (2)
      Ta tính sin(arcosx):
      Đặt t = arccosx (t \in [0;\pi]) \Rightarrow cost = x
      Khi đó: sin(arccosx) = sint = \sqrt{1-cos^2t} = \sqrt{1 - x^2} (do t \in [0;\pi] nên sint \ge 0 )
      Vậy sin(arccosx) = \sqrt{1-x^2} , \forall x \in [-1;1] (3)
      tương tự tính cos(arcsinx)
      Đặt u = arcsinx (u \in [-\pi/2;\pi/2]) \Rightarrow sinu = x
      Khi đó cos(arcsinx) = cosu = \sqrt{1-sin^2u} = \sqrt{1-x^2} (do u \in [-\pi/2;\pi/2] nên cosu \ge 0 )
      Vậy cos(arcsinx) = \sqrt{1-x^2} , \forall x \in [-1;1] (4)
      Thế (2), (3), (4) vào (1) ta có:
      sin(arcsinx + arccosx) = (\sqrt{1-x^2})(\sqrt{1-x^2}) + x.x = 1
      Từ đó ta có: arcsinx + arccosx = \pi/2 + k2\pi (k \in Z)
      Sử dụng điều kiện (*) suy ra: arcsinx + arccosx = \pi/2

      Like

      Posted by 2Bo02B | 02/11/2011, 09:03

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 983 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 983 other followers

%d bloggers like this: