Giới hạn của hàm số (Limit of a function)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1bc

I. Các định nghĩa:

1. Định nghĩa 1:

Nếu f là một hàm số, khi đó ta nói:

A là giới hạn của hàm số f khi x dần tiến đến a

nếu giá trị của hàm số f(x) nhận các giá trị rất gần giá trị A khi x dần tiến đến a. Điều này được viết theo ký hiệu Toán học như sau: \lim\limits_{x \to a} f(x) = A

Ví dụ: \lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9 do \mathop x^2 nhận các giá trị rất gần 9 khi x tiến đến 3.

\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{x^2-1} = \dfrac{1}{2} vì:

Định nghĩa như trên hoàn toàn theo ngôn ngữ nói bình thường.

Mặc dù khái niệm giới hạn đã tiềm ẩn trong sự phát triển của ngành Giải tích từ thế kỷ thứ 17 và 18, nhưng, khái niệm hiện đại về giới hạn của hàm số mới được đề cập đầu tiên vào năm 1817 bởi nhà toán học Bolzano. Ông đã đưa ra khái niệm epsilon – delta khi đề cập đến khái niệm hàm số liên tục. Tuy nhiên, thật đáng tiếc, công trình này đã không được mọi người biết đến trong suốt cuộc đời của ông. (Felscher, Walter (2000), “Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta“, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 107).

Năm 1821, Cauchy đã thảo luận về vấn đề giới hạn trong quyển Cours d’analyse, trong đó ông đã dùng thuật ngữ “approaches indefinitely” để mô tả khái niệm giới hạn. Việc mô tả này gần giống với định nghĩa giới hạn hiện tại. Dẫu vậy, điều này cũng không được công nhận vì ông mô tả nó bằng lời. (theo Grabiner, 1983, “Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus“, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 90).

Mãi sau này, đến năm 1840, Weierstrass mới được biết đến như là người đầu tiên đưa ra thuật ngữ “epsilon – delta” để định nghĩa cho khái niệm giới hạn. Và đây cũng chính là khái niệm giới hạn mà ta biết như ngày nay. Bên cạnh đó, ông cũng là người đề xuất ký hiệu lim (1840) và limx->x0.(1854).(theo Burton, The History of Mathematics: An Introduction, p.616 – 617, 1997, Mc-GrawHill).

Còn ký hiệu giới hạn như ngày nay, đặt dấu mũi tên phía dưới ký hiệu lim, là do nhà Toán học Hardy đưa ra vào năm 1908 trong quyển sách có tựa đề A Course of Pure Mathematics. (theo Miller, 2004)

2. Định nghĩa 2:

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận v(a) của a, số thực L hữu hạn được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi \mathop x \to a nếu:

\forall \epsilon > 0, \exists {\delta _\varepsilon } > 0: 0 < \left| {x - a} \right| < \delta (1) \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon (2)

Nguồn: WikiÝ nghĩa: Với khoảng sai khác rất bé ε được định trước ta luôn tìm được 1 khoảng lân cận v(a) của a sao cho với mỗi giá trị x nằm trong lân cận của v(a) ta luôn có giá trị f(x) sai khác L 1 khoảng bé hơn ε.

Nói cách khác: nếu ta muốn f(x) gần với L đến mức nào mà bạn muốn (sai khác một khoảng ε khá bé (để bất đẳng thức (2) xảy ra), thì bạn có thể tìm được δ thích hợp để x đủ gần a (để có bất đẳng thức (1)).

Khi đó, bất cứ khi nào x ≠ a thỏa mãn (1), giả sử tại x0 thì sẽ có giá trị f(x) thỏa mãn (2), và giá trị đó là f(x0). Như vậy, giới hạn hàm số f(x) khi x tiến đến a không phụ thuộc vào việc hàm số y = f(x) có xác định tại x = a hay không!

Ví dụ: Chứng minh \lim\limits_{x \to 0} x. \cos{\dfrac{1}{x}} = 0

Nhận xét: hàm số \mathop f(x) = x. \cos{\dfrac{1}{x}} không xác định tại x = 0 nhưng xác định trong lân cận của 0.

Với mỗi số ε > 0 nhỏ tùy ý, ta có: \left| f(x) - 0 \right| = \left| x. \cos{\dfrac{1}{x}} \right| \rm{< \epsilon}

Ta cần tìm giá trị \delta sao cho: 0 \rm{<} |x| \rm{<} \delta

Ta có: \left| x.\cos{\dfrac{1}{x}} \right| = |x|.\left| \cos{\dfrac{1}{x}} \right| \le |x|

Vậy ta chỉ cần chọn \delta = \epsilon

Khi đó: \forall \epsilon \rm{>} 0 , \exists \delta = \epsilon \rm{>} 0 : |x - 0| \rm{<} \delta \Rightarrow \left| x.\cos{\dfrac{1}{x}} \right| \rm{<} \epsilon

Vậy theo định nghĩa: \lim\limits_{x \to 0} x.\cos{\dfrac{1}{x}} = 0

3. Giới hạn 1 bên: (Left limit and right limit)

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = \sqrt{9 - x^2} có miền xác định trong đoạn -3 \le x \le 3 . Nếu a là 1 giá trị bất kỳ nằm trong khoảng (-3;3) thì \lim\limits_{x \to a} \sqrt{9 - x^2} tồn tại và bằng \sqrt{9 - a^2} .

Tuy nhiên, tại x = 3:

Cho x tiến đến 3 từ phía bên trái (x < 3): Khi đó: \lim\limits_{x \to 3} \sqrt{9-x^2} tồn tại và bằng 0.

Nhưng cho x tiến đến 3 từ phía bên phải (x > 3): thì \lim\limits_{x \to 3} \sqrt{9-x^2} không tồn tại ( do x không thuộc MXD của hàm số)

Vậy, chỉ có những giá trị x < 3 mới tồn tại giới hạn nên xuất hiện khái niệm giới hạn trái.

Tương tự, xét x dần tiến về -3, sẽ xuất hiện khái niệm giới hạn phải.

Illustration of a lower one-sided limit.

Image via Wikipedia

Giới hạn trái:

\forall \epsilon \rm{>} 0, \exists \delta \rm{>} 0 : a - \delta \rm{<} x \rm{<} a \Rightarrow \left| f(x) - L \right| \rm{<} \epsilon

Ký hiệu: \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) = L

Giới hạn phải:

\forall \epsilon \rm{>} 0, \exists \delta \rm{>} 0 : a \rm{<} x \rm{<} a + \delta \Rightarrow \left|f(x) - L \right| \rm{<} \epsilon

Ký hiệu: \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = L

Nhận xét:

Từ định nghĩa ta có:

\lim\limits_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = L

4. Giới hạn vô cùng: (Infinity limit)

Xét: \lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x}

Trong trường hợp này, khi x càng dẩn tiến đến 0, thì giá trị f(x) càng ngày càng lớn, lớn hơn bất kỳ 1 số thực dương nào cho trước, nói chung là Vô cùng lớn.

Do đó:

\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \left\{\forall M \rm{>} 0, \exists \delta \rm{>} 0 : 0 \rm{<} |x - a| \Rightarrow f(x) \rm{>} M \right\}

Tương tự:

\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \left\{ \forall \epsilon \rm{>} 0 , \exists 0 \rm{<} N \in \rm{R} : |x| \rm{>} N \Rightarrow \left| f(x) - L \right| \rm{<} \epsilon \right\}

Ký hiệu \infty được nhà toán học John Wallis sử dụng đầu tiên vào năm 1665 trong quyển sách có tựa đề “Arithmetica Infinitorum“.

Ký hiệu này bắt nguồn từ việc người La Mã dùng nó để chỉ số 1000. Cũng giống như ngày nay, từ “myriad” (vô số) được dùng để chỉ một số lượng lớn mặc dù tiếng Hy Lạp cổ, nó có nghĩa là 10.000

II. Các định lý và tính chất:

1. Định lý:

Các định lý sau đây được chứng minh khá dễ dàng. Xem như đây là bài tập.

1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp và \mathop {f(a) = c} – hằng số thì \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) = c

Nếu không để ý điều kiện f(x) là hàm sơ cấp sẽ dẫn đến sai lầm sau:

Xét f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 1 & ; x \ne 0 \\ 0 & ; x = 0 \\ \end{array} \right.

Khi đó: \lim\limits_{x \to 0} f(x) = 1 \ne 0 = f(0)

Trong các định lý sau đây, giả sử \lim\limits_{x \to a} f(x) = A ; \lim\limits_{x \to a} g(x) = B (A, B hữu hạn).

2. \lim\limits_{x \to a} c.f(x) = c.\lim\limits_{x \to a} f(x) = c.A

3. \lim\limits_{x \to a} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = A \pm B

4. \lim\limits_{x \to a} \left[ f(x).g(x) \right] = \lim\limits_{x \to a} f(x).\lim\limits_{x \to a} g(x) = A.B

5. \lim\limits_{x \to a} \left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right] = \dfrac{\lim\limits_{x \to a}f(x)}{\lim\limits_{x \to a}g(x)} = \dfrac{A}{B} ; (B \ne 0)

6.\lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a} f(x)} = \sqrt[n]{A} (nếu \sqrt[n]{A} xác định )

7. \lim\limits_{x \to a} \left[ f(x)^{g(x)} \right] = A^B (B \rm{>} 0 )

Ví dụ: \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty ; \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^4} = +\infty

Nhưng: \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1/x^2}{1/x^4} = \lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0

Lưu ý: ta nói \lim\limits_{x \to a} f(x) hoặc \lim\limits_{x \to \infty}f(x) là tồn tại nếu giá trị của giới hạn là số thực hữu hạn nhưng không nói tồn tại nếu giới hạn là +\infty ; -\infty ; \infty

Mở rộng: Tìm ví dụ sao cho \lim\limits_{x \to a} f(x) ; \lim\limits_{x \to a} g(x) không tồn tại nhưng tồn tại \lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)]

Thảo luận

14 thoughts on “Giới hạn của hàm số (Limit of a function)

  1. xin thay giai thich giup em ( vi em da thoi hoc qua lau , bay gio hoc lai em quen het roi ) :
    1-1/2 ( cosx + cos3x ) tai sao lai bang : 1/2 ( 1- cosx ) + 1/2 (1- cos3x). rat mong thay giai thich can ke , em xin cam on thay .

    Like

    Posted by ha | 29/09/2012, 19:38
  2. thầy cho e hỏi làm thế nào để xây dựng được khái niệm giới hạn hàm số.trong sgk lớp 11 có phần hoạt động 1 giúp xây dựng định nghĩa nhưng e không hiểu lắm.mong thầy giúp e

    Like

    Posted by DuongHong | 22/09/2012, 01:46
  3. thầy giải giúp em bai nay với ạ
    lim(1-sinx)^cotx, x tiến tới n:2 ( góc90 độ)

    Like

    Posted by Trần Thị Ngọc | 14/05/2012, 18:08
  4. Em chào Thầy và các bạn,
    Thầy và các bạn giải giúp em bài này với ạ
    Tính giới hạn: Lim [(4^(n+1) + 6^(n+2) / (5^n + 8^n))]
    Đề bài không cho giới hạn n tiến đến đâu cả.

    Em cảm ơn

    Like

    Posted by Daudv | 10/02/2012, 22:23
  5. Thầy ơi cho em hỏi khi x–>+00 thí có phải x luôn dương không thầy?
    Thầy ơi giải dùm em bài này:dùng định nghĩa để chứng minh giới hạn:lim1/2n-1 với n –> 00

    Like

    Posted by blue | 21/12/2011, 15:53
  6. thầy ơi, lim (e^x – 1/x) khi x -> vô cùng bằng bn ạ?

    Like

    Posted by minh | 08/08/2011, 16:09
  7. thầy giải giúp e bài này nhé.
    lim((x+2)/(2×-1))mũ x bình.khi x dần về dương vô cùng

    Like

    Posted by long | 30/04/2011, 16:15
  8. thầy cho em hỏi bài giới hạn này:
    \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{(cos2x-e^{x})(x^{2}+1-cosx)}{x(cos3x-cosx)ln(1+e-cosx)}
    Theo em nghĩ là cách giải của bài này là dùng tương đương nhưng em không biết làm khi dưới mẫu có e. Thầy giải giùm em với ạ.

    Like

    Posted by ngaymai | 26/10/2010, 21:28
  9. Thầy giải giúp em bài này nha !
    Tính giới hạn sau:
    lim[(1+tanx)/(1+sinx)]^1/sinx
    Em cảm ơn Thầy nhiều nha.

    Like

    Posted by van | 29/09/2010, 19:16
    • Em không nói x tiến đến đâu thì sao giải quyết được nè. Thầy đoán x -> 0 đúng không?
      Nếu vậy thì giới hạn có dạng vô định là 1^{+ \infty}
      Khi đó: em sủ dụng công thức: nếu L = \lim\limits_{x \to x_0} [f(x)]^{g(x)} có dạng 1^{+ \infty} thì
      L = e^{\lim\limits_{x \to x_0}[f(x)-1].g(x)}
      Vậy với bài trên em xét:
      \lim\limits_{x \to 0} [f(x)-1].g(x) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tanx - sinx}{sinx(1+sinx)}
      = \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tanx-sinx}{sinx} \right). \left( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{1+sinx} \right) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tanx-sinx}{sinx}
      = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - cosx}{cosx} = 0
      Vậy giới hạn cần tính là: L = e^0 = 1

      Like

      Posted by 2Bo02B | 29/09/2010, 21:57
  10. cảm ơn thầy

    Like

    Posted by trong hieu | 26/09/2010, 15:06
  11. Hiện tại, WordPress mới chỉ hỗ trợ tính năng in file chứ chưa hỗ trợ tính năng in thành file pdf. Do đó, để tải phần bài giảng về và xem dưới dạng file pdf, em cần cài phần mềm PDF Creator để tạo máy in ảo nhằm in các tài liệu thành file PDF. Sau đó, em chọn vùng cần in rồi chọn lệnh Print từ menu File, hoặc lệnh Print ở mục Share this (phía cuối bài viết). Em tiếp tục chọn PDF Creator trong danh sách máy in và đánh dấu vào mục Selection.
    Bằng cách này, em có thể in bài giảng thành dạng file PDF và xem offline. Hy vọng trong thời gian tới, WordPress bổ sung thêm tính năng in thành PDF thì mọi người sẽ dể dàng in bài giảng hơn.

    Like

    Posted by 2Bo02B | 25/09/2010, 14:27
  12. thua thay, sao em copy co cho dc cho ko vay. hay ban nao biet chi dum cai, cai nay co dow dc ko va coi tren flash dc ko?????

    Like

    Posted by trong hieu | 22/09/2010, 10:46

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 004 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 004 other followers

%d bloggers like this: