Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1ds

I. Đạo hàm (derivative)

1. Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, x_0 \in D .

Cho x_0 số gia {\Delta}x (không phân biệt dương hay âm) sao cho: x_0 +{\Delta}x \in D . Ta gọi {\Delta}y = f(x_0+{\Delta}x) - f(x_0) là số gia của hàm số y = f(x) .

Lập tỷ số:

\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = \dfrac{f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0)}{{\Delta}x}

Tìm giới hạn của tỉ số trên khi {\Delta}x . Khi đó, giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là đạo hàm của hàm số tại x_0 và ký hiệu f'(x_0)

Như vậy: f'(x_0) = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0)}{{\Delta}x}

Nếu đặt x = x_0 +{\Delta}x , ta có: f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Tổng quát: f'(x) = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{f(x+{\Delta}x)-f(x)}{{\Delta}x}

- Đạo hàm trái: nếu giới hạn \lim\limits_{{\Delta}x \to 0-} \dfrac{f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0)}{{\Delta}x} tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên  trái  của f(x) tại x_0 . Ký hiệu f_{-}^{'}(x_0)

- Đạo hàm phải: nếu giới hạn \lim\limits_{{\Delta}x \to 0+} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải của f(x) tại x_0 .  Ký hiệu f_{+}^{'}(x_0)

- Từ tính chất của giới hạn ta có định lý sau:

Hàm số f(x) có đạo hàm tại x_0 khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x_0 và các đạo hàm đó bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hàm số: f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x & ; x \le 1 \\ -x^2+2x & ; x \rm{>} 1 \\ \end{array} \right.

Tìm f'(1)

Ta có:

f_{+}^{'}(1) = \lim\limits_{x \to 1+} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1+} \dfrac{-x^2+2x-1}{x-1} = 0

f_{-}^{'}(1) = \lim\limits_{x \to 1-} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1-} \dfrac{x-1}{x-1} = 1

Vậy f_{+}^{'}(1) \ne f_{-}^{'}(1)

Do đó: f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

3. Các định lý về đạo hàm:

3.1 Định lý 1: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x_0 thì f(x) liên tục tại điểm đó. (Chiều ngược lại chưa chắc đúng).

Chứng minh: do f(x) có đạo hàm tại x_0 nên:

\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = f'(x_0)

Theo định nghĩa giới hạn, ta có \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = f'(x_0) + \epsilon (\epsilon \rm{<<} )

Từ đó: {\Delta}y = f'(x_0).{\Delta}x + {\epsilon}.{\Delta}x

Do \epsilon \rm{<<} , \epsilon \to 0 nên: {\epsilon}.{\Delta}x là VCB cấp cao hơn {\Delta}x khi {\Delta}x \to 0

Vì vậy: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} {\Delta}y = 0

Nghĩa là: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} f(x_0+{\Delta}x) - f(x_0) = 0

Hay: \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Vậy: f(x) liên tục tại x_0

- Chiều ngược lại không chắc đúng: ta xét lại ví dụ 1 ở trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

- Phản ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = |x| liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0.

3.2 Định lý 2: (quy tắc tính đạo hàm)

Nếu u(x) và v(x) là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích thương cũng có đạo hàm tại x và ta có các công thức:

1. (u \pm v)' = u' \pm v'

2. (u.v)' = u'.v + v'.u

3. \left( \dfrac{u}{v} \right)^{'} = \dfrac{u'.v-v'.u}{v^2}

3.3 Định lý 3: (đạo hảm hàm số hợp)

Nếu y = f(x) có đạo hàm tại x_0 z = g(y) xác định trong một khoảng chứa y_0 = f(x_0) và có đạo hàm tại y_0 . Khi đó: hàm z = g(f(x)) có đạo hàm tại x_0

z'(x_0) = g'(y_0).f'(x_0) (3.3)

Tổng quát: z_x^{'} = z_{y}^{'}.y_{x}^{'}

Chứng minh:

Ta có: \lim\limits_{{\Delta}y \to 0}\dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}y} = z_y^{'}(y_0)

Từ định nghĩa giới hạn, ta suy ra: \dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}x} = z_y^{'}(y_0) + \alpha (1)

trong đó \alpha \to 0 khi {\Delta}y \to 0

Viết lại đẳng thức (*) ta có: {\Delta}z = z_y^{'}(y_0).{\Delta}y + {\alpha}.{\Delta}y (2)

Chia 2 vế của (3) cho {\Delta}x ta có:

\dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}x} = z_y^{'}(y_0).{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}} +{\alpha} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}

Mặt khác, do : {\Delta}y = f(x_0+{\Delta}x) - f(x_0) nên {\Delta}x \to x thì {\Delta}y \to 0

Vậy: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \alpha = 0 (4)

Mà: \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x} = y_x^{'}(x_0) (5)

Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:

\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} \dfrac{{\Delta}z}{{\Delta}x} = z_y^{'}(x_0).y_x^{'}(x_0) .

3.4 Định lý 4: (đạo hàm hàm số ngược)

Cho hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng (a,b). Nếu f(x) có đạo hàm tại x_0 \in (a,b) f'(x_0) \ne 0 thì hàm ngược x = g(y) của f(x) cũng có đạo hàm tại y_0 = f(x_0) và:

g_y^{'}(y_0) = \dfrac{1}{f_x^{'}(x_0)} (3.4)

Chứng minh:

Vì f(x) là hàm đồng biến (nghịch biến) trong khoảng (a,b) nên tồn tại duy nhất hàm ngược x = g(y)

Khi đó, xét: \dfrac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} = \dfrac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \dfrac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} (*)

Cho x \to x_0 . do f(x) là hàm liên tục nên: f(x) \to f(x_0) , hay y \to y_o

Lấy giới hạn của (*) khi y \to y_0 . ta có:

g_y^{'}(y_0) = \dfrac{1}{f_x^{'}(x_0)} (dpcm)

Ví dụ 1: Cho y = arcsinx Tính y_x^{'}

Ta có: y = arcsinx \Rightarrow x = siny

Theo công thức (3.4), ta có: y_x^{'} = \dfrac{1}{x_y^{'}} = \dfrac{1}{cosy}

Mà do y = arcsinx \Rightarrow y \in \left[ -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right] \Rightarrow cosy \ge 0

Nên: cosy = \sqrt{1-sin^2y} = \sqrt{1-x^2}

Do đó:

(arcsinx)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1 \rm{<} x \rm{<} 1 )

Ví dụ 2: Cho y = arccosx . Tìm y_x^{'}

Ta có: y = arccosx \Rightarrow x = cosy

Nên: y_x^{'} = \dfrac{1}{x_y^{'}} = \dfrac{1}{-siny} = \dfrac{-1}{siny}

Lại có: y = arccosx \Rightarrow y \in [0,\pi] \Rightarrow siny \ge 0

Suy ra: y_x^{'} = \dfrac{-1}{siny} = \dfrac{-1}{\sqrt{1-cos^2y}} = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

Vậy:

(arccox)' = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} (-1 \rm{<} x \rm{<} 1 )

Ví dụ 3: Cho y = arctanx . Tính y_x^{'}

tương tự: y = arctanx \Rightarrow x = tany

Suy ra: y_x^{'} = \dfrac{1}{x_y^{'}} = \dfrac{1}{1+tan^2y} = \dfrac{1}{1+x^2}

Vậy:

(arctanx)' = \dfrac{1}{1+x^2}

Ví dụ 4: Cho y = (arcsinx)^{arctanx} \left( 0 \rm{<} x \le 1 \right) . Tìm y’?

Ta có: y = e^{(arctanx).ln(arcsinx)} \Rightarrow y' = e^{(arctanx).ln(arcsinx)}.((arctanx).ln(arcsinx))'

Lại có: ((arctanx).ln(arcsinx))' = \dfrac{ln(arcsinx)}{1+x^2} + \dfrac{arctanx}{(arcsinx).\sqrt{1-x^2}}

Vậy: y' = e^{(arctanx)ln(arcsinx)}. \left[ \dfrac{ln(arcsinx)}{1+x^2} + \dfrac{arctanx}{(arcsinx).\sqrt{1-x^2}} \right] (\rm{0 < x < 1})

(còn tiếp)

Thảo luận

13 thoughts on “Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)

  1. em chao thay,thay cho em hoi muon giai bai nay phai lam the nao a
    I=lim(1+x binh)mu cotg binh x {khi x dan den 0}.voi dap so la(I=e).em mong thay huong dan cho em voi a.em cam on thay nhieu……..

    Like

    Posted by tuyet | 29/09/2012, 11:40
  2. thầy ơi, cho em hỏi cách tìm y’,biết y= arcsecx

    Like

    Posted by tuankiet | 19/01/2012, 11:18
  3. em cung da can chung minh giong ban tren vay thua thay:
    ” em muốn hỏi nếu 2 hàm số không có đạo hàm tại x0 thì có thể khẳng định tổng của nó không có đạo hàm tại x0 không thầy?
    Hoặc nếu chỉ một trong 2 hàm f và g có đạo hàm tại x0 cũng hỏi tương tự luôn thì có đúng không? Mong thầy giúp em.”
    giup em voi .em dang lam de tai tieu luan toan dai cuong a1

    Like

    Posted by chanh | 26/11/2011, 20:50
  4. thay oi, cho em hoi! vi phan va dao ham giong va khac nhau o cho nao?

    Like

    Posted by nguyenduyhien | 24/11/2011, 11:17
  5. Thầy ơi cho em hỏi nếu cho hàm số dạng phân đoạn với x lớn hơn 0 và x nhỏ hơn hoặc bằng 0. Nếu bài yêu cầu tìm a, b để hàm số có đạo hàm thì mình chỉ cần cho đạo hàm trái bằng đạo hàm phải, hay phải thêm điều kiện liên tục nữa.

    Like

    Posted by Thảo Lý | 31/10/2011, 21:13
    • Nếu đề bài yêu cầu là có đạo hàm tại x =0: thì chỉ cần đạo hàm trái bằng đạo hàm phải (tại x = 0).
      Nếu đề bài yêu cầu có đạo hàm liên tục tại x = 0 thì phải có đk hàm có đạo hàm tại x = 0 và hàm đạo hàm f'(x) liên tục tại x = 0.
      Nếu đề bài yêu cầu có đạo hàm gián đoạn thì chứng minh có đạo hàm nhưng hàm đạo hàm f'(x) không liên tục.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 02/11/2011, 08:43
  6. thầy ơi, cho em hỏi bài này ạ:
    Cho g(x) liên tục và ko có đạo hàm tại x0. Chứng minh rằng tồn tại vô số f(x) sao cho f(x).g(x) có đạo hàm tại x0?

    Like

    Posted by Thuy Dung | 24/06/2011, 11:17
  7. Thầy cho em hỏi: muốn giải hàm này thì làm cách nào ạ?
    y=2cos^4.x-sin^4.x+sin^2.x.cos^2.x+3sin^2.x có đạo hàm bằng 0.

    Like

    Posted by thuy | 01/04/2011, 08:58
    • Em có thể lấy đạo hàm, rồi sử dụng các tính chất của hàm lượng giác để chứng minh. Tuy nhiên, ở đây, đề bài yêu cầu chứng minh bểu thức có đạo hàm bằng 0, có nghĩa hàm số đã cho phải là hàm hằng. Từ chú ý đó, ta có thể biến đổi biểu thức trước khi lấy đạo hàm. Em chú ý số hạng sin^2x.cos^2x , ta có thể chuyển về theo lũy thừa của sin hoặc của cos. Khi đó:
      y = 2cos^4x -sin^4x + (1-cos^2x)cos^2x + 3 sin^2x = cos^4x - sin^4x + 2sin^2x + 1
      Em chú ý thêm chút xíu sẽ có kết quả y = 2

      Like

      Posted by 2Bo02B | 03/04/2011, 22:43
  8. em cam on thay nhieu

    Like

    Posted by kim phuong | 24/12/2010, 10:26
  9. Thầy ơi, em muốn hỏi nếu 2 hàm số không có đạo hàm tại x0 thì có thể khẳng định tổng của nó không có đạo hàm tại x0 không thầy?
    Hoặc nếu chỉ một trong 2 hàm f và g có đạo hàm tại x0 cũng hỏi tương tự luôn thì có đúng không? Mong thầy giúp em.

    Like

    Posted by kim phuong | 18/12/2010, 15:48

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 005 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 005 other followers

%d bloggers like this: