Số phức « Maths 4 Physics(M4Ps) and more…

Số phức

Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình $x^2 + 1 = 0$ vô nghiệm thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

I. Khái niệm về số phức

1.1. Định nghĩa số phức:

1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho $i^2 = - 1$ gọi là đơn vị ảo.

2. Biểu thức $z = a + bi ; a, b \in \mathbb{R}$ gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là $\mathbb{C}$ .

4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.

5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c ; b = d.$

6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký hiệu $\overline{z}$ . Khi đó: số phức liên hợp của $\overline{z}$ là z.

1.2. Các dạng biểu diễn của số phức:

1. Dạng đại số: Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số phức.

2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b) của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.

Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục thực.

Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo.

Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.

Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ $\vec{OA}$ Trong nhiều trường hợp, người ta xem vec tơ $\vec{OA}$ như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.

3. Dạng lượng giác của số phức

sophuc Cho số phức z = a +bi và $\vec{OA}$ là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy. Khi đó:

Độ dài $r = | \vec{OA}|$ của vectơ $\vec{OA}$ được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển nhiên ta có:

$|z| \ge 0 , \forall z \in \mathbb{C}, |z | = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Bây giờ giả sử $z \ne 0$ , tức là $\vec{OA} \ne \vec{0}$ . Góc định hướng giữa tia Ox và vectơ $\vec{OA}$ (đo bằng radian) $\varphi = \left( \widehat{Ox;\overrightarrow{OA}} \right)$ được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất mà sai khác nhau $k2{\pi}$ .

Nếu chỉ giới hạn xét $\varphi \in [0;2{\pi}$ thì khi đó $\varphi$ được gọi là argument chính, ký hiệu argz.

Khi z = 0 thì $\varphi$ không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.

Rõ ràng $a = rcos{\varphi} ; b = rsin{\varphi}$ .

Do đó: $z = a + bi = r(cos{\varphi} + isin{\varphi})$ được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1.3. Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác $z = r(cos{\varphi} + isin{\varphi})$

Ta có: $r = \sqrt{a^2 + b^2}, tan{\varphi}= \left({ \dfrac{b}{a}}\right)}$ , nếu $a \ne 0$ .

$a = rcos{\varphi} ; b = rsin{\varphi}$ .

Từ định nghĩa của số phức liên hợp $\overline{z}$ của z và biểu diễn hình học của $\overline{z}$ , ta có:

$|{\overline{z}}| = |z| ; arg({\overline{z}}) = -argz$

Tình huống:

$z = r(cos{\varphi} - isin{\varphi})$ .có phải là dạng lượng giác của số phức z?

Ví dụ:

1. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác:

$a. z = -2 +2i{\sqrt{3}} \qquad$ $b. z = 1+i \qquad$ $c. z = 1- i$

$d. z = -\cos \left( \dfrac{\pi}{7} \right) + i.\sin \left( \dfrac{\pi}{7} \right) \qquad$ $e. z = \sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right) + i.\cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right)$

II. Những phép tính cơ bản trên số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là $z = r_1(cos{\varphi}_1 + isin{\varphi}_1) , w = r_2(cos{\varphi}_2 + isin{\varphi}_2)$ .

1. Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)

2. Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:

$z.w = r_1.r_2(cos({\varphi}_1 +{\varphi}_1) + isin({\varphi}_1 +{\varphi}_1)) (3)$

Nhận xét: $z.{\overline{z}} = a^2 + b^2 = | z |^2$ , $|z.w| = |z|.|w|$ , $|z^n| = |z|^n ; Arg(z^n) = nArgz + k2{\pi}$

3. Phép chia 2 số phức.

3.1 Bổ đề:

Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức $z_1$ sao cho $z.z_1=1$ . Khi đó $z_1$ được gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu $z^{-1}$ . Vậy $z^{-1} = { \dfrac{1}{z}}$ .

Chứng minh

Ta cần tìm $z_1 = c + di$ sao cho $z.z_1 = 1$ .

Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1

Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1

Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được: $c = { \dfrac{a}{a^2+b^2}} ; d = { \dfrac{-b}{a^2+b^2}}$

Vậy $z_1$ tồn tại.

Do đó: $z^{-1} = { \dfrac{a}{a^2 + b^2}} - { \dfrac{b}{a^2 + b^2}}.i$ (4)

Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm $z^{-1} = 1/z$ bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp $\overline{z}$

3.2 Phép chia hai số phức:

Giả sử $w \ne 0$ . Khi đó:

${ \dfrac{z}{w}} = { \dfrac{z.\overline{w}}{w.\overline{w}}} = { \dfrac{(a+bi).(c-di)}{c^2+d^2}} = { \dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}} (5)$

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:

${ \dfrac{z}{w}} = { \dfrac{r_1}{r_2}}(cos({\varphi}_1 - {\varphi}_1) + isin({\varphi}_1 - {\varphi}_1)) (6)$

4. Các ví dụ:

1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w, z – w, z.w, z/w.

2. Tính $(1+i)^2 , (1+i)^4$ . Suy ra $(1+i)^{2008} , (1-i)^{210908}$

3. $(3-i).(14+2i)$ ; ${ \dfrac{2+3i}{1 - 4i}}$ ; ${ \dfrac{(1 + 2i)^2}{1-i}}$

4. ${ \dfrac{(1+i)^9}{(1-i)^7}}$ ; $1 + (1+i) + (1+i)^2 + ... + (1+i)^{99}$

5. Tìm modun của các số phức sau: $\dfrac{(1+i)^4}{(1+6i)(2-7i)}$

Trang: 1 2

25 phản hồi

Trankimdung, on Tháng Sáu 22nd, 2009 lúc 15:55 Said:

Thưa thầy, trong chương trình toán học THPT hiện nay có trình bày rất nhiều kiến thức về số phức. Nhưng có những bài toán trong sách GK và BT đặc biệt là SBT tồn tại những đơn vị kiến thức chưa được chứng minh hoặc những đơn vị kiến thức quá khó đối với chương trình cũng như sức học của học sinh. Em xin được lấy VD như bài tâp 4.49, 4.54 SBT đại số nâng cao 12.
Mong thầy có thể tiếp tục khai thác vấn đề này ở chuyên đề thú vị này để học sinh chúng em có cái nhìn thật sự chính xác và logic về tập số phức cũng như các phép toán liên quan. Em xin chân thành cảm ơn thầy!

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Sáu 22nd, 2009 lúc 22:21 Said:
  
  Xin chào Cô Kim Dung,
  Bài 4.49 Có thể giải theo cách khác để học sinh dễ hiểu hơn:
  Ta có: $\left\{\begin{array}{c} z^3+w^5 = 0 \qquad (1) \\ z^2(\overline{w})^4 = 1 \qquad (2) \\ \end{array} \right.$
  Từ (2) ta có: $|z|^2.|w|^4 = 1 \Rightarrow |z|.|w|^2 = 1$ (3)
  Mặt khác, từ (1) ta có: $\left\{\begin{array}{c} z^3 = -w^5 \\ z^3(\overline{w})^4 = z \\ \end{array} \right.$ . Hay: $\left\{\begin{array}{c} z^3 = -w^5 \\ w^5(\overline{w})^4 = -z \\ \end{array} \right.$ (*)
  Mà: $w.{\overline{w}} = |w|^2$ nên từ (*) ta có: $|w|^8.w = -z$ (**)
  Từ (**) ta có: $|w|^9 = |z|$ (4)
  Từ (3) và (4) ta có: $|w|^11 = 1 \Rightarrow |w| = |z| = 1$
  Vậy thế vào (*) ta có: $\left\{\begin{array}{c} z^3 = -w^5 \\ w = - z \\ \end{array} \right. \Rightarrow z^3(1-z^2) = 0 \Rightarrow z = \pm 1 \Rightarrow w = \mp 1$
  Bài 4.54 thật ra đều là những kiến thức đã được học, yêu cầu học sinh nhận ra và vận dụng các công thức nhân 2 số phức dạng lượng giác và công thức Moivre để lũy thừa 1 số phức dạng lượng giác.
  Để hướng dẫn học sinh bài này, trước tiên, ta cho các em làm quen bằng cách cho $z_1 = r_1(cos{\varphi}_1 + isin{\varphi}_1) ; z_2 = r_2(cos{\varphi}_2 + isin{\varphi}_2)$ và cho các em tìm $z_1^a.z_2^b$
  Từ đó nhận diện ra công thức của S + iT và sử dụng công thức tổng của 1 cấp số nhân của lớp 11 cùng 1 số phép biến đổi lượng giác. Tất nhiên, đây là bài toán dành cho học sinh khá giỏi.
  
  Trả lời
Locka, on Tháng Sáu 4th, 2009 lúc 22:50 Said:

Thưa thầy cho em thắc mắc phần Số phức lượng giác.
Theo em biết thì Tan=đối/huyền => tan(phi) = b/a.
Nhưng trong bài giảng em lại thấy là Phi = tan(b/a) với a#0
,như vậy có chính xác không ạ?

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Sáu 5th, 2009 lúc 10:14 Said:
  
  Cảm ơn bạn Locka đã thông báo. Đúng là chỗ đó không chính xác, phải là $tan{\varphi} = \dfrac{b}{a}$ .
  Từ đó, $\varphi = \left\{\begin{array}{l} arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) , a \ge 0 \\ \pi + arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) ; a < 0 \\ \end{array} \right.$
  
  Trả lời
Tuấn, on Tháng Ba 24th, 2009 lúc 10:50 Said:

thầy ơi ở phần : những phép tính cơ bản trên số phức.mục phép nhân cái công thức z.w (số phức cho ở dạng lượng giác ) như thế có đúng không ạ

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Ba 24th, 2009 lúc 11:58 Said:
  
  Bạn dùng các công thức lượng giác để nhân 2 số phức lại sẽ có kết quả như trên
  
  Trả lời
ai, on Tháng Hai 25th, 2009 lúc 23:32 Said:

thầy có thể cho em trang web nào học hay tham khảo về môn xác suất thống kê và kinh tế học vi mô dc ko?em đang học phần đó. cám ơn thầy

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Hai 26th, 2009 lúc 12:31 Said:
  
  Môn xác suất thống kê thì em có thể hỏi những vấn đề chưa rõ tại mục Thảo luận về XSTK. Còn môn kinh tế học vi mô thì rất tiếc là Thầy không tìm được
  
  Trả lời
trongnb, on Tháng Hai 13th, 2009 lúc 11:06 Said:

Rat bo ich va tien loi cam on thay

Trả lời
PADũng, on Tháng Một 4th, 2009 lúc 13:29 Said:

Thưa thầy, bài này giải ở dạng lượng giác hay số phức chính tắc nhanh ạ?
${Z^5} = 16\overline Z$

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Một 4th, 2009 lúc 15:00 Said:
  
  Bài này nhân thêm 2 vế cho Z, rồi sử dụng dạng lượng giác thì còn nhanh hơn nữa
  
  Trả lời
sv, on Tháng Mười 31st, 2008 lúc 09:38 Said:

thưa thầy cho em hỏi: Để tính khoảng cách số phức thì phải làm thế nào a?

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Mười 31st, 2008 lúc 15:55 Said:
  
  Nếu em coi số phức thứ nhất tương ứng với véc tơ $\vec{OA}$ và số phức thứ hai tương ứng với véc tơ $\vec{OB}$ thì khi đó khoảng cách của 2 số phức tương ứng với độ dài của véc tơ $\vec{AB}$
  
  Trả lời
huongtran, on Tháng Mười 18th, 2008 lúc 10:58 Said:

Có lẽ em viết đơn giản thôi thầy ạ. Ngắn gọn. Hi.
Em mới download đc cuốn tài liệu TV của thầy Lê Lễ.
Cám ơn thầy nhiều nhé.

Trả lời
huongtran, on Tháng Mười 18th, 2008 lúc 06:35 Said:

Phần thầy nói bên trên khá là cơ bản, nhưng em cần tìm hiểu kĩ hơn một chút.
Mong thầy sớm giúp em, vì em phải hoàn thành bài tập trong vòng ngày hôm nay.

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Mười 18th, 2008 lúc 06:51 Said:
  
  Em có thể vào http://gigapedia.org đăng ký 1 tài khoản rồi tìm kiếm và tải tài liệu về. Hiện trong mục Ebook có quyển về Số phức của tác giả Paul Dawkin ở mục Giải tích – Đại số và Hàm biến phức của Conway ở mục Hàm phức và PTVP
  
  Trả lời
huongtran, on Tháng Mười 18th, 2008 lúc 06:33 Said:

Thầy ơi! Em đang cần tìm tài liệu ( trên mạng ) về số phức. Thầy có thể chỉ cho em một số địa chỉ có thể tham khảo đc không ạ. Em cần một số nội dung về
+) Cách xây dựng
+) Các phép tính trên C
+) Ứng dungj
Em thử search rồi nhưng chưa tìm đc.

Trả lời
longdo8, on Tháng Mười 14th, 2008 lúc 08:47 Said:

em cảm ơn thầy nhiều chúc thầy khoẻ manh và có nhiều niềm vui trong cuộc sống

Trả lời
longd08, on Tháng Mười 12th, 2008 lúc 18:05 Said:

em thấy thầy làm blog này là rất hay đây là một địa chỉ mà chúng em có thể trao đổi và học tập không biết các thầy cô khác có làm như thầy không nếu vấy thì hay biết mấy .

Trả lời
longd08, on Tháng Mười 12th, 2008 lúc 18:01 Said:

thưa thầy thầy có thể giải giúp em giải bài tập này đươc không ạ.em xin chân thành cảm ơn. giải hệ pt sau với nghiệm phức : x=y^2;y=z^2;z=x^2

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Mười 12th, 2008 lúc 21:39 Said:
  
  Bài giải hệ phương trình bằng số phức em có thể gọi dạng đại số của từng số phức để đưa về hệ 6 phương trình, 6 ẩn để giải. Tuy nhiên, cách này sẽ khá lâu và phức tạp
  Em có thể gọi dạng lượng giác của 3 số phức lần lượt là:
  $x = r_1(cos{\phi}_1 + isin{\phi}_1)$
  $y = r_2(cos{\phi}_2 + isin{\phi}_2)$
  $z = r_3(cos{\phi}_3 + isin{\phi}_3)$
  
  Thế vào hệ phương trình, với chú ý hai số phức muốn bằng nhau thì modun bằng modun, argument bằng argument, em sẽ suy ra được mối quan hệ giữa $r_1 , r_2 , r_3$ và ${\phi}_1 , {\phi}_2 , {\phi}_3$
  
  Trả lời
chuong01, on Tháng Mười 11th, 2008 lúc 20:11 Said:

thầy ơi, blog của thầy thiếu nhiều bài tập mẫu quá, giải tích hàm phức, giải tích số, toán rời rạc ko có, đại số tuyến tính nhìn vào mục lục thấy thiếu hết 1 nửa, giải tích 3 thì chỉ có tích phân 2 lớp, tích phân đường, tích phân mặt, tích phân phụ thuộc tham số và giải tích vector đâu? ko có pt vi phân tuyến tính, pt vi phân đạo hàm riêng, pt vi phân biến ngẫu nhiên, lý thuyết tập hợp, lý thuyết nhóm, đại số Lie, 1 người viết là ko nổi, sao thầy ko viết 1 bản bằng ebook word cho mọi người cùng tham gia đóng góp?

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Mười 11th, 2008 lúc 21:36 Said:
  
  Chào Chương,
  
  Thật ra, ý định ban đầu khi lập ra blog này chỉ là để SV các lớp mà tôi dạy lên lấy bài tập về, và cũng là để các bạn SV, đặc biệt là SV Khoa Vật Lý – ĐHSP TpHCM có thể trao đổi các vấn đề trong việc học những môn Toán dành cho Vật Lý. Cũng là nơi tôi dùng để trao đổi với các SV trong nhóm NCKH của mình. Do đó, có thể nó không đi sâu cũng như không phù hợp với các chuyên ngành khác.
  
  Tuy nhiên, sau 1 thời gian làm blogger, tôi nhận thấy rằng cần cung cấp những kiến thức liên quan để các bạn SV khác khi cần có thể tham khảo và trao đổi. Quan điểm của tôi hơi khác bạn, tôi chỉ đưa ra những ví dụ vừa đủ và cần thiết để minh họa, còn lại để dành cho các bạn tự tìm tòi, suy nghĩ và sáng tạo thêm. Nếu bạn xem mục cùng trao đổi, thì có rất nhiều vấn đề được các bạn trao đổi nằm ngoài những bài giảng mà tôi đã post lên.
  
  Ngoài ra, việc tôi tạo ra blog này với tiêu chí là blog hỗ trợ học tập bộ môn, chứ không nhằm tạo ra thư viện giáo trình điện tử. Chính vì tiêu chí này nên nội dung của blog không chỉ là những bài giảng mà còn có những thông tin liên quan mật thiết đến các bạn SV. Và dĩ nhiên sẽ khó lòng đáp ứng được mọi yêu cầu của các bạn. Mong các bạn thông cảm.
  
  Tất cả bài giảng để dạy cho SV, tôi đã chuẩn bị đầy đủ để lên lớp, nhưng việc đăng các bài giảng đó trên blog không thể làm 1 lúc được vì nhiều lý do. Do đó, mỗi tuần, tôi dành ra ngày thứ bảy để bổ sung, và cập nhật những thông tin liên quan đến môn học cũng như cung cấp 1 số lý thuyết liên quan để SV có thể tham khảo trước khi có tiết trên lớp. Vì vậy blog này sẽ dần hoàn thiện theo thời gian.
  
  Tất nhiên, 1 người không thể nào soạn hết tất cả được. Vả lại, nếu có soạn hết thì chưa chắc mọi phần đã hay, do mỗi người chỉ chuyên về 1 chuyên ngành nhất định. Cảm ơn bạn đã khuyên tôi viết ebook nhưng hiện tại tôi không có ý định viết sách, bởi còn rất nhiều vấn đề mà tôi cần phải học hỏi thêm.
  
  Thân mến,
  
  P.S: các môn học mà bạn nêu ra, bạn có thể tham khảo trong mục Ebooks
  
  Trả lời
loankiem, on Tháng Bảy 12th, 2008 lúc 18:10 Said:

Làm sao bạn viết được biểu thức như trên ở trong blog vậy. Hãy chỉ cho tôi cách soạn bài tập toán trên trang blog này đi. Rất cảm ơn. Mong bạn hồi âm càng sớm càng tốt.

Trả lời
- 2Bo02B, on Tháng Bảy 13th, 2008 lúc 15:33 Said:
  
  Chào chị Loan,
  
  Để soạn được công thức Toán học trong wordpress, xin chị xem thêm bài hướng dẫn ở menu cùng trao đổi.
  
  Thân mến,
  
  Trả lời

Để lại hồi âm

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Các địa chỉ thay thế khi bạn không vào được blog này:

1. thunhan.tk

2. thunhan.co.cc

3. m4ps.tk

	2Bo02B trong bài Điểm thi
	Trần Việt Hà trong bài Định thức
	Nguyễn Thị Kiều Thu trong bài Điểm thi
	2Bo02B trong bài Tích phân hai lớp (Tích phân…
	2Bo02B trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	AnHa trong bài Tích phân hai lớp (Tích phân…
	AnHa trong bài Tích phân hai lớp (Tích phân…
	Dung trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	NTTL trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	trongdat trong bài Cực trị có điều kiện (cực trị …
	hb trong bài Bài tập
	hb trong bài Bài tập
	manh tuan nguyen trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	Trần Đặng Bảo Ân trong bài Điểm thi HKII của các lớp
	dungdang trong bài Học cách Tư duy tích cực

Maths 4 Physics(M4Ps) and more…

Vote for my blog

Dạy & Học Toán Cao cấp

Blog, web của Giáo viên

Liên kết tài trợ

Liên Kết Web

Số phức

25 phản hồi

Để lại hồi âm

Đôi lời

SocialVibe

Lời nhắn mới nhất

Bài viết chuyên đề

Bài "hot"

Lượng truy cập

Hiện online

Thống kê

Google Page Rank