Chuỗi số dương (Infinitive Series)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-31

1. Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test):

Xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} ,{u_n} {\ge} 0 (1)

Khi đó nếu tổng riêng phần S_{n} là dãy không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.

1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương :

1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:

Cho hai chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) thỏa điều kiện: {\exists} {n_{0}} : 0 {\le} {u_{n}} {\le} {v_{n}} , { \forall} n {\ge} n_{o} (*). Khi đó:

Nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty}{v_n} hội tụ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} hội tụ.

Ngược lại, nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} phân kỳ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} phân kỳ.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử n_0 = 1.

Gọi Sn và Tn là tổng riêng phần tương ứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)

Do (*) ta có: Sn ≤ Tn

Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T

Vì các số hạng của chuỗi luôn dương nên Tn < T

Suy ra: Sn < T

Vậy Sn bị chặn trên nên nó có giới hạn

1.1.2 Dấu hiệu so sánh 2 :

Cho hai chuỗi số dương \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) , ({u_{n}} {\ge} 0, {v_{n}} {\ge} 0 )

Giả sử \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}

1. Nếu k = 0 thì chuỗi (2) hội tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ.

2. 0 \langle k \langle \infty thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3. k = + \infty thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh

Chứng minh kết quả 1:

Do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 0} nên:

\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \le \epsilon \Rightarrow u_n \le {{\epsilon}.{v_{n}}}.

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Chứng minh kết quả 2:

Giả sử k \langle + \infty . Khi đó, do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k} nên:

\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \langle k + \epsilon \Rightarrow u_n \langle (k+ \epsilon )v_n

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Mặt khác do k \rangle 0 \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 1/k} \langle + \infty .

Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ.

Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết quả 3 được suy ra từ kết quả 1 và 2.

1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:

Xét hàm số f: [1;+\infty) \to R , f(x) \ge 0 và f giảm. Với mọi n \in N , đặt {a_{n} = f(n)}

Khi đó: tích phân suy rộng \int\limits_{1}^{\infty} {f(x)} hội tụ khi và chỉ khi chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {a_n} hội tụ.

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy:

11.4 Ratio Test, Root Test

Image by mseery via Flickr

1.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức) – Cauchy’s root test ( Cauchy’s radical test):

Cho \sum a_n là chuỗi số dương. Giả sử rằng:

\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = C

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu C < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ.

2. Nếu C > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ.

3. Nếu C = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert  – ratio test:

Cho \sum a_n là chuỗi số dương sao cho a_n \ne 0 . Giả sử rằng:

\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = D

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu D < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ.

2. Nếu D > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ.

3. Nếu D = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

Trang: 1 2

Thảo luận

85 bình luận về “Chuỗi số dương (Infinitive Series)”

  1. E có thể hỏi thầy xem câu này làm như thế nào không ạ tổng xích ma n chạy từ 1 đến vô cùng của ( 2n^2/2n^2+1)^n xem nó hội tụ hay phân kì

    Thích

    Posted by nguyễn xuân | 20/11/2016, 22:40
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…