Chuỗi số dương (Infinitive Series)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-31

1. Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test):

Xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} ,{u_n} {\ge} 0             (1)

Khi đó nếu tổng riêng phần S_{n} là dãy không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.

1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương :

1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:

Cho hai chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) thỏa điều kiện: {\exists} {n_{0}} : 0 {\le} {u_{n}} {\le} {v_{n}} , { \forall} n {\ge} n_{o} (*). Khi đó:

Nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty}{v_n} hội tụ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} hội tụ.

Ngược lại, nếu chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} phân kỳ thì \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} phân kỳ.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử n_0 = 1.

Gọi Sn và Tn là tổng riêng phần tương ứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)

Do (*) ta có: Sn ≤ Tn

Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T

Vì các số hạng của chuỗi luôn dương nên Tn < T

Suy ra: Sn < T

Vậy Sn bị chặn trên nên nó có giới hạn

1.1.2 Dấu hiệu so sánh 2 :

Cho hai chuỗi số dương \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2) , ({u_{n}} {\ge} 0,  {v_{n}} {\ge} 0 )

Giả sử \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}

1. Nếu k = 0 thì chuỗi (2) hội tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ.

2. 0 \langle k \langle \infty thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3. k = + \infty thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh

Chứng minh kết quả 1:

Do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 0} nên:

\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \le \epsilon \Rightarrow u_n \le {{\epsilon}.{v_{n}}}.

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Chứng minh kết quả 2:

Giả sử k \langle + \infty . Khi đó, do \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}  nên:

\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \langle k + \epsilon \Rightarrow u_n \langle (k+ \epsilon )v_n

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Mặt khác do k \rangle 0 \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 1/k} \langle + \infty .

Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ.

Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết quả 3 được suy ra từ kết quả 1 và 2.

1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:

Xét hàm số f: [1;+\infty) \to R , f(x) \ge 0 và f giảm. Với mọi n \in N , đặt {a_{n} = f(n)}

Khi đó: tích phân suy rộng \int\limits_{1}^{\infty} {f(x)} hội tụ khi và chỉ khi chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty} {a_n} hội tụ.

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy:

11.4 Ratio Test, Root Test

Image by mseery via Flickr

1.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức) - Cauchy’s root test ( Cauchy’s radical test):

Cho \sum a_n là chuỗi số dương. Giả sử rằng:

\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = C

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu C < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ.

2. Nếu C > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ.

3. Nếu C = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert  – ratio test:

Cho \sum a_n là chuỗi số dương sao cho a_n \ne 0 . Giả sử rằng:

\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = D

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu D < 1, thì chuỗi \sum a_n là hội tụ.

2. Nếu D > 1, thì chuỗi \sum a_n là phân kỳ.

3. Nếu D = 1, thì chuỗi \sum a_n có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

Thảo luận

83 thoughts on “Chuỗi số dương (Infinitive Series)

  1. làm giúp em bài này với. tổng từ 1 đến n của (2n)!!/n^n. nó hội tụ hay phân kì??

    Like

    Posted by thanh | 01/02/2013, 16:08
  2. thầy ơi.để xét sự hội tụ của chuỗi bất kì,ta làm thế nào ạ

    Like

    Posted by lili | 20/12/2012, 22:03
  3. Thầy cho em hỏi nếu một chuỗi tách ra được thành 2 chuỗi nhỏ khác và xảy ra 3 trường hợp sau:
    1.cả 2 chuỗi hộj tụ.
    2.cả 2 chuỗj phân kỳ.
    3.một hộj tụ,một phân kỳ.
    Vậy sự hộj tụ phân kỳ của chuỗj ban đầu trong từng trường hợp là như thế nào ạ.thanks thầy nhjều.

    Like

    Posted by Lộc@@ | 09/06/2012, 20:56
  4. BẠN GIÚP MÌNH NHAK, MÌNH ĐANG GẶP VẤN ĐỀ RẮC RỐI VỀ TÌM MIỀN HỘI THỤ CHUỖI LŨY THỪA. BẠN CÓ TÀI LIỆU NÀO DỄ HIỂU KHÔNG GIÚP MÌNH VỚI. CẢM ƠN BẠN TRƯỚC HI VONG NHẬN ĐƯỢC SỰ GIÚP ĐỎ CỦA BẠN

    Like

    Posted by ngokimhong | 27/12/2011, 10:38
  5. trời mấy bài chuỗi số khó thật đo

    Like

    Posted by truong | 15/12/2011, 22:25
  6. có thể lấy thêm nhiều ví dụ minh họa khác nữa để cho em có thể hiểu rỏ hơn dươc không? em xin cảm ơn!

    Like

    Posted by nguyen trong nghia | 25/11/2011, 23:37
  7. em chào thầy ạ…e nhờ thầy giải giùm em 2 bai này với ạ….khó quá!!
    xét sự hội tụ:
    \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{e^n}{(n+1)^{n+1}}
    \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^{n^2}.e^n

    em cảm ơn thầy nhiều ạ!

    Like

    Posted by nho_pro | 15/06/2011, 20:41
  8. Thưa thầy cho em hỏi là khi mình xét về sự hội tụ hay phân kì ngoài mấy tiêu chuẩn em thấy còn giải theo cách đưa về chuỗi tương đương.Xin thầy chỉ giúp em cách tìm tương đương của một chuỗi được không ạ?

    Like

    Posted by Uyen | 20/05/2011, 08:58
    • Để tìm chuỗi tương đương thì em coi khi n \to \infty , lượng nào là vô cùng bé em thế bằng VCB tương đương.
      Ví dụ: \sum\limits_{n=1}^{\infty} sin\left(\dfrac{1}{n^2}\right) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}
      Muốn vậy, em nên xem lại phần VCB để hiểu rõ vấn đề nhé.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 26/05/2011, 22:53
  9. Cảm ơn Nhân rất nhiều, chúc bạn luôn có nhiều niềm vui, tiếp tục có những bài viết hay để chia sẻ với các em SV :D.

    Like

    Posted by Mr.Hải | 07/05/2011, 07:00
  10. Xin chào Thụ Nhân, mình là Hải, lớp Toán Pháp, ở KTX đây.
    Lâu lắm rồi chưa có dịp gặp Nhân, nay lại có việc cần sự trợ giúp của Nhân nè, Nhân cố gắng giúp mình nha, càng sớm càng tốt (Hải có đứa cháu ở quê nó nhờ giải giúp, mà Toán cao cấp Hải bỏ gần 10 năm rùi, ko nhớ được bao nhiêu :D, Hải có đọc lý thuyết, nhưng làm sợ bị sai ;D)
    1) Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy khảo sát tính hội tụ của chuỗi: \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{{2n + 1}}{{3n + 5}}} \right)}^{\frac{n}{2}}}}
    2) Sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert khảo sát tính hội tụ của chuỗi: \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n}}}{{{n^2} + 3}}}
    3) Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của: a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n\left( {n + 4} \right)}}} ; b) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}}
    4) Xét tính hội tụ của tích phân suy rộng loại 1: \int\limits_1^{ + \infty } {\ln \left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)dx}

    Nhân giải xong rồi gửi qua email cho Hải nhé, cảm ơn trước nha bạn.

    Like

    Posted by Mr.Hải | 02/05/2011, 19:59
    • Hi Hải,

      Nhân đã gửi email cho Hải. Hai kiểm tra mail nhé. Chúc gia đình hạnh phúc, nhiều niềm vui nha.

      Thân,

      Like

      Posted by 2Bo02B | 04/05/2011, 17:49
    • con 1 dùng cosi hội tụ. con 2 dùng dalambe phân kì. con 3 thì 2 con hội tụ. tính tổng dùng mẹo nhỏ thôi. con 4 hội tụ chắc rồi vì chuỗi 1/n^2 hội tụ

      Like

      Posted by hoàng công hùng | 04/04/2012, 13:39
  11. thầy có thể cho em hỏi khi xét sự hội tụ của chuổi sốdương trường hợp nào ta nen sử dụng tiêu chuẩn Cauchy,Alamber,tích phân hay so sanh
    Em xin cam ơn!

    Like

    Posted by le nam | 18/03/2011, 22:35

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 004 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 004 other followers

%d bloggers like this: