Chia một đa thức cho tam thức bậc 2

Khi chia một đa thức bậc n cho 1 đa thức bậc 2, ta sẽ được thương là một đa thức bậc n – 2 và phần dư là nhị thức bậc nhất. Nếu đặt phép chia đa thức ta sẽ xác định được kết quả cần tìm, tuy nhiên, việc làm này vừa tốn thời gian, vừa dễ sai sót. Ta sẽ xây dựng sơ đồ thuật toán để có thể xác định nhanh chóng các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư giống như sơ đồ Hooc-ne chia đa thức cho nhị thức bậc nhất.

Giả sử, đa thức bị chia bậc n có dạng:

$P_{n} = {a_{0}.x^{n} + a_{1}. x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + ... + a_{n-2} .x^{2} + a_{n-1}.x + a_{n}}$

Ta xét trường hợp tam thức bậc 2 có dạng: ${x^{2} + px + q}$ . (trường hợp hệ số của ${x^{2} \ne 1}$ dành cho các bạn tự xem xét). Đa thức thương:

$Q(x) = b_{0}.x^{n-2} + b_{1}. x^{n-3} + b_{2}x^{n-4} + ... + b_{n-4} .x^{2} + b_{n-3}.x + b_{n-2}$

Và phần dư: $R(x) = cx + d$ .

Ta có:

${a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ ...+ a_{n-2}x^{2}+a_{n-1}x + a_{n}} = \\ {(x^{2} + px + q)}.{(b_{0}x^{n-2}+b_{1}x^{n-3}+...+b_{n-4}x^{2} +b_{n-3}x + b_{n-2})} \\ + {(cx + d)}$

Đồng nhất các hệ số ta có:

$\left \{ \begin{array}{l} {a_{0} = b_{0}} \\{a_{1} = b_{1} + p.b_{0}} \\{a_{2} = b_{2} + p.b_{1}+q.b_{0}} \\{a_{3} = b_{3} + p.b_{2}+q.b_{1}} \\{a_{4} = b_{4} + p.b_{2}+q.b_{1}} \\{\cdots} \\{a_{i} = b_{i} + p.b_{i-1}+q.b_{i-2}} \\{\cdots} \\{a_{n-2} = b_{n-2} + p.b_{n-3}+q.b_{n-4}} \\{a_{n-1} = c + p.b_{n-2}+q.b_{n-3}} \\{a_{n} = d + q.b_{n-2}} \end{array} \right.$

Từ đây ta sẽ xác định được các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư như sau:

$\left \{ \begin{array}{l} {b_{0} = a_{0}} \\{b_{1} = a_{1} - p.b_{0}} \\{b_{2} = a_{2} - p.b_{1} - q.b_{0}} \\{b_{3} = a_{3} - p.b_{2} - q.b_{1}} \\{b_{4} = a_{4} - p.b_{2} - q.b_{1}} \\{\cdots} \\{b_{i} = a_{i} - p.b_{i-1} - q.b_{i-2}} \\{\cdots} \\{b_{n-2} = a_{n-2} - p.b_{n-3} - q.b_{n-4}} \\{c = a_{n-1} - p.b_{n-2} - q.b_{n-3}} \\{d = a_{n} - q.b_{n-2}} \end{array} \right.$

Dựa trên hệ đẳng thức trên ta có thể lập bảng thuật toán sau để có thể xác định nhanh các hệ số của đa thức thương và đa thức phần dư khi chia một đa thức bậc n cho tam thức bậc hai:

Đầu tiên, dựa vào đẳng thức xác định các hệ số b_{0}, b_{1} và d. Ta sẽ có bảng sau:

$\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x) & b_{0} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

Ta xác định các hệ số còn lại dựa vào đẳng thức sau:

${b_{i} = a_{i} - p.b_{i-1} - q.b_{i-2}}$

Xác định hệ số b1:

$\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & {} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a1 ta sẽ có hệ số b1.

Xác định hệ số b2:

$\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & -p.b_{1} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} &-q.b_{0}& {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & b_{2} & {} & {} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a2 ta sẽ có hệ số b2.

Ta xác định hệ số b3 hoàn toàn tương tự, ta có:

$\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c c| c c c} P_{n} & a_{0} & {} & a_{1} & {} & a_{2} & {} & a_{3} & \cdots & a_{n-3} & {} & a_{n-2} & {} & a_{n-1} & {} & a_{n} \\ \hline -p & 0 & {} & -p.b_{0} & {} & -p.b_{1} & {} & -p.b_{2} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 \\ \hline -q & 0 & {} & 0 & {} &-q.b_{0}& {} & -q.b{1} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline Q(x)& b_{0} & {} & b_{1} & {} & b_{2} & {} & b_{3} & \cdots & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

Cộng 3 dòng đầu tiên tương ứng với cột a3 ta sẽ có hệ số b3.

Các hệ số còn lại được xác định hoàn toàn tương tự. Ta có bảng thuật toán tổng quát sau:

$\begin{array}{c| c c c c c c c c c c c | c c c} P_{n}&a_{0}&{}&a_{1}&{}&a_{2}&{}&a_{3}& \cdots &a_{n-3}&{}& a_{n-2}&a_{n-1}&{}&a_{n} \\ \hline -p&0&{}&-pb_{0}&{}&-pb_{1}&{}&-pb_{2}& \cdots &-pb_{n-4}&{}&-pb_{n-3}&-pb_{n-2}&{}&0 \\ \hline -q&0&{}&0&{}&-qb_{0}&{}&-qb{1}& \cdots &-qb_{n-5}&{}&-qb_{n-4}&-qb_{n-3}&{}&-qb_{n-2} \\ \hline Q(x)&b_{0}&{}&b_{1}&{}&b_{2}&{}&b_{3}& \cdots &b_{n-3}&{}&b_{n-2}&c&{}&d \\ \end{array}$

Ví dụ 1:

Chia đa thức ${4x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - x}$ cho ${x^{2} - x + 1}$

Ta lập bảng thuật toán sau:

$\begin{array}{c| c c c c c c | c c c} P_{n}&4&{}&-3&{}&2&{}&-1&{}&0 \\ \hline 1&0&{}&4&{}&1&{}&-1&{}&0 \\ \hline -1&0&{}&0&{}&-4&{}&-1&{}&1 \\ \hline {}&4&{}&1&{}&-1&{}&-3&{}&1 \\ \end{array}$

Vậy ta có:

${4x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - x} = {(x^{2} - x + 1)}.{(4x^{2} + x - 1)} -3x + 1$

Ví dụ 2:

Chia đa thức ${x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}$ cho ${x^{2} - 2x + 3}$

Tương tự, áp dụng sơ đồ thuật toán ở trên ta sẽ có:

$\begin{array}{r| r r r r r r r r r | r r r} P_{n}&1&{}&-1&{}&1&{}&-1&{}&1&-1&{}&1 \\ \hline 2&0&{}&2&{}&2&{}&0&{}&-8&-14&{}&0 \\ \hline -3&0&{}&0&{}&-3&{}&-3&{}&0&12&{}&21 \\ \hline {}&1&{}&1&{}&0&{}&-4&{}&-7&-3&{}&22 \\ \end{array}$

Vậy ta có:

${x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} \\ = {(x^{2} - 2x + 3)}.{(x^{4} + x^{3} - 4x - 7)} -3x + 22$

Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, bạn sẽ thiết lập được sơ đồ thuật toán để tính nhanh kết quả của phép chia một đa thức bất kỳ cho một đa thức bậc 3, bậc 4, …

Bạn hãy thử xem thế nào nhé!

2Bo02B – thunhan.wordpress.com

Thảo luận

9 bình luận về “Chia một đa thức cho tam thức bậc 2”

Your weblog is excellent. Thank you greatly for delivering a lot of very helpful information and facts.

ThíchThích

Posted by Mertie Rubash | 11/02/2011, 21:08

Reply to this comment
híc em comment nhầm chỗ 😦 thầy ơi thế nếu hệ số của x^2 khác 1 thì phải làm thế nào ạ? 😦

ThíchThích

Posted by Trang | 01/07/2010, 15:43

Reply to this comment
hay quá! cảm ơn thầy nhiều:)

ThíchThích

Posted by Thịnh | 13/08/2009, 10:02

Reply to this comment
Hay thật thầy ak

ThíchThích

Posted by Thang | 16/06/2009, 11:17

Reply to this comment
Em cảm ơn Thầy nhiều .Cái này hay quá Thầy ạ.Em tìm mãi mới thấy.Chúc Thầy nhiều sức khỏe.

ThíchThích

Posted by Oanh | 07/11/2008, 02:19

Reply to this comment
Ở đây có hai trường hợp có khả năng xảy ra:
– Nếu đa thức đặc trưng có tất cả n nghiệm thực (n GTR) và với n GTR đó tương ứng với n VTR độc lập tuyến tính: thì trường hợp này chắc chắn sẽ tồn tại 1 cơ sở của v trong đó f có ma trận chéo.

– Nếu ứng với n GTR không có đủ n VTR, (thường rơi vào trường hợp GTR là nghiệm bội), trườn hợp này, em có thể xem bài 38 phần Giá trị riêng – Vectơ riêng ở sách bài tập Đại số tuyến tính của Hoàng Xuân Sính và Trần Phương Dung để biết hướng chứng minh.

Chúc em thành công

ThíchThích

Posted by 2Bo02B | 22/09/2008, 21:42

Reply to this comment
em chào thầy .em có một bài toán nhưng chưa tìm ra lời giải ,thầy giúp em được không ạ
bài toán về đại số như sau:

cho f: v->v là một toán tử tuyến tính ,v là không gian véc tơ trên trường R (số thực) , sao cho đa thức đặc trưng của f có đầy đủ nghiệm và tất cả các nghiệm đều là nghiệm thực. hỏi rằng có tồn tại hay không sở của v mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng tam giác trên.nếu có hãy chứng minh , còn nếu không thì hãy đưa ra một ví dụ rồi phân tích.
em cảm ơn thầy

ThíchThích

Posted by dượng dhkhtn | 22/09/2008, 20:31

Reply to this comment
em xem lại phần tìm các hệ số b_i của đa thức thương, em sẽ thấy các hệ số luôn liên quan đến – p, – q – đối của hai hệ số trong tam thức bậc hai $x^2 + px + q$

ThíchThích

Posted by 2Bo02B | 19/09/2008, 21:23

Reply to this comment
thầy ơi nói rỏ tí được kô thầy.em chưa hiểu lắm về tím -qvà -p

ThíchThích

Posted by dương | 19/09/2008, 20:27

Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Thảo luận

9 bình luận về “Chia một đa thức cho tam thức bậc 2”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thảo luận

9 bình luận về “Chia một đa thức cho tam thức bậc 2”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề