Trị riêng, vectơ riêng của ma trận

Để lại phản hồi Go to comments

I. Trị riêng, vectơ riêng:

1.1 Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường số K (K = \mathbb{R}; \mathbb{C}) . Số \lambda \in K được gọi là giá trị riêng (gọi tắt là trị riêng – kí hiệu GTR) của ma trận A, nếu tồn tại một vectơ 0 \ne u \in K^n sao cho: Au = {\lambda}u

Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng (VTR) của ma trận A ứng với giá trị riêng \lambda

1.2 Tính chất:

1. Giá trị riêng \lambda chính là nghiệm của phương trình $latex  det(A-{\lambda}I) = 0 &fg=ff0000$ (1) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

2. Một giá trị riêng có thể có nhiều vectơ riêng.

3. Mỗi vectơ riêng chỉ ứng với một giá trị riêng duy nhất.

4. Ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó  (trong trường hợp này đa thức đặc trưng được coi là đa thức ma trận, nghĩa là biến số của nó không phải là biến số thực mà là biến ma trận)

5. Nếu {\lambda} = 0 là giá trị riêng của ma trận A thì A không khả nghịch. Ngược lại, nếu mọi GTR của A đều khác không thì A khả nghịch.

6. Nếu {\lambda} là GTR của ma trận A thì {\lambda}^k là giá trị riêng của ma trận A^k

Chứng minh:

1. Số \lambda là trị riêng của A khi và chỉ khi Au = {\lambda}u (u \ne 0) . Suy ra: hệ phương trình  tuyến tính thuần nhất (A-{\lambda}I)u = 0 có nghiệm u{\ne}0 \Leftrightarrow det(A-{\lambda}I) = 0 .

2. Điều này là hiển nhiên vì dựa vào định nghĩa và tính chất 1 thì hệ phương trình (A-{\lambda}I)u = 0 có vô số nghiệm.

3. Giả sử vectơ riêng u_1 ứng với 2 trị riêng {\lambda}_1 ; {\lambda}_2 .

Ta cần chứng minh: {\lambda}_1 = {\lambda}_2 . Thật vậy, ta có :

Au_1 = {\lambda}_1u_1 ; Au_1 = {\lambda}_2u_1 \Rightarrow {\lambda}_1u_1 - {\lambda}_2u_1 = 0 \Rightarrow ({\lambda}_1 - {\lambda}_2)u_1 = 0

Mà: u_1 \ne 0 . Do đó: {\lambda}_1 - {\lambda}_2 = 0 ◊

4. Ta có:

P({\lambda}) = det(A -{\lambda}I) \Rightarrow P(A) = det(A - A.I) = det(A-A) = 0

5. Do {\lambda} = 0 là GTR của ma trận A. Do đó:

P(0) = det(A-0.I) = 0 \Rightarrow det(A) = 0 .

Chứng tỏ A suy biến (không khả nghịch).

6. Ta có Au = {\lambda}u . Do đó:

A^2u = (A.A).u = A.(A.u) = A.({\lambda}u) = {\lambda}.Au = {\lambda}^2u .

Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.

Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có 1 cách để tính nhanh |A-aI| . Đó là ta tìm đa thức đặc trưng P({\lambda}) = |A-{\lambda}I| của ma trận A. Sau đó, tính giá trị của P(a).

1.3. Phương pháp giải tìm trị riêng, vectơ riêng:

Bước 1: Giải phương trình đặc trựng det(A-{\lambda}I) = 0 (1) tìm giá trị riêng.

Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng \lambda :

Ứng với mỗi giá trị riêng {\lambda}_i vừa tìm được, ta giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A-{\lambda}_iI)u = 0 (2)

Lưu ý: theo tính chất trên, thì hpt (2) luôn luôn có vô số nghiệm. Do đó, nếu bạn giải pt (2) mà vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất thì phải kiểm tra lại.

1.4 Không gian con riêng ứng với GTR {\lambda}

Các vetơ riêng của ma trận  A ứng với giá trị riêng {\lambda}_0 cùng với vectơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với {\lambda}_0 .

Ký hiệu: E({\lambda}_0) = \left\{u \in K^n : Au ={\lambda}u\right\}

Nếu giá trị riêng {\lambda}_0 là nghiệm bội k thì dimE({\lambda}_0) \le k

1.5 Các ví dụ :

Ví dụ 1. Tìm GTR, VTR của ma trận A: \left[\begin{array}{rr} -1 & 3 \\ -2 & 4 \\ \end{array} \right]

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

P({\lambda}) = det(A-{\lambda}I) = 0 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{rr} -1-{\lambda} & 3 \\ -2 & 4-{\lambda} \\ \end{array} \right| = 0 \Leftrightarrow {\lambda}^2 - 3{\lambda} + 2 = 0

Giải phương trình đặc trưng, ta có: {\lambda}_1 = 1; {\lambda}_2 = 2

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1 ta có VTR u_1 = (x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

(A-I)u_1 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} -2x+3y = 0 \\ -2x+3y = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow 2x = 3y

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_1 = 1 có dạng u_1 = (3a;2a) = (3;2)a ; a \ne 0

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 2

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 2 ta có VTR u_2 = (x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

(A-I)u_2 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} -3x+3y = 0 \\ -2x+2y = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = y

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_2 = 2 có dạng u_2 = (b;b) = (1;1)b ; b \ne 0

Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A: \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right] , xem A là ma trận phức

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

det(A-{\lambda}I) = 0 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{rr} 1-{\lambda} & 2 \\ 2 & 1-{\lambda} \\ \end{array} \right| = 0 \Leftrightarrow (1-{\lambda})^2 + 4 = 0 (1)

Phương trình (1) vô nghiệm thực. Tuy nhiên do A là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình đặc trưng, ta có: {\lambda}_1 = 1+2i; {\lambda}_2 = 1-2i

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1+2i

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 1+2i ta có VTR u_1 = (x;y) ; x, y \in C là nghiệm của hệ phương trình:

(A-(1+2i)I)u_1 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} -2ix+2y = 0 \\ -2x-2iy = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow y = ix

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_1 = 1+2i có dạng u_1 = (a;ia) = (1;i)a ; a \ne 0

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 1-2i

Ứng với giá trị riêng {\lambda}_2 = 1-2i ta có VTR u_2 = (x;y) ; x, y \in C là nghiệm của hệ phương trình:

(A-(1-2i)I)u_2 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} 2ix+2y = 0 \\ -2x+2iy = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = iy

Vậy VTR ứng với GTR {\lambda}_1 = 1-2i có dạng u_2 = (ia;a) = (i;1)a ; a \ne 0

Ví dụ 3:

a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận: A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ \end{array} \right]

b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định A^{-1}

c. Tính det(A-2008I_3)

d. Tìm GTR, VTR của A.

Giải.

a. Tương tự như các ví dụ trên, ta dễ dàng tìm được đa thức đặc trưng của ma trận A:

P({\lambda}) = {\lambda}^3 -3{\lambda}^2-4{\lambda}+12

b. Theo tính chất 4 ta có: P(A) = A^3-3A^2-4A+12I_3 = 0 . Do đó:

-A^3+3A^2+4A=12I_3 \Rightarrow A(-A^2+3A+4I_3)=(-A^2+3A+4I_3).A=12I_3

Đặt B = { \dfrac{1}{12}}(-A^2+3A+4I_3) .

Ta có: A.B = B.A = I_3 .

Do đó: A khả nghịch và A^{-1} = -A^2+3A+4I_3

c. Ta có P({\lambda}) = det(A-{\lambda}I_3) nên:

det(A-2008I_3) = P(2008) = 2006.2010.2005

d. Từ đa thức đặc trưng ta tìm được các GTR: {\lambda}_1=-2 ; {\lambda}_2=2 ; {\lambda}_3 = 3

Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = -2 có dạng: u_1 = (1;-1;4)a , a \ne 0

VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 2 có dạng: u_2 = (-1;0;1)b , b \ne 0

VTR ứng với giá trị riêng {\lambda}_1 = 3 có dạng: u_3 = (-1;1;1)c , c \ne 0

Trang: 1 2

  1. 2Bo02B
    25.01.2009 lúc 15:19 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Đến hôm nay đã có 32 lượt trả lời ý kiến của các bạn về tình huống thăm dò được nêu ở trên. Tuy nhiên, số lượng trả lời không chính xác lại chiếm hơn 2/3.
    Để trả lời câu hỏi trên, bạn cần phải xác định được điều kiện nào là quyết định đến việc chéo hóa ma trận được. Dĩ nhiên, theo lý thuyết thì ma trận vuông cấp n chéo hóa được khi có đủ n VTR. Vậy VTR mới chính là điều kiện quyết định chứ không phải là GTR (chỉ trong trường hợp ma trận vuông cấp n có đủ n GTR phân biệt thì mới chắc chắn thôi).
    Bạn có thể kiểm chứng điều này qua 2 ma trận vuông cấp 2 sau:
    \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] ; \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]
    Khi đó 2 ma trận đều có cùng đa thức đặc trưng nhưng ma trận đầu chéo hóa được, còn ma trận sau lại không chéo hóa được.

  2. thuongthieugia
    11.02.2009 lúc 08:58 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    lam sao tim nhanh dc phuong tring dac trung khi ma cap cua no lon

  3. nguyen thai an
    08.04.2009 lúc 23:20 | #3
    Trả lời | Trích dẫn

    cho phep tai tai lieu nay

  4. thinh_dhck
    02.06.2009 lúc 08:58 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy hướng dẫn giúp em bài này với,em giải mãi mà không ra.em tìm trong trang của thầy mà không thấy topic này.
    Tìm tham số m để không gian con W của R4 có số chiều là 2, với
    W={u=(m;1;0;2), v=(m;m+1;-1;2), w=(2m;m+2;-1;5)}

    • Minh Quang
      03.06.2009 lúc 07:38 | #5
      Trả lời | Trích dẫn

      Để không gian con W của R4 có số chiều bằng 2 thì hệ vecto7 sinh ra không gian con W phải có hạng bằng 2. Vậy yêu cầu trở thành bài toán tìm m để hệ vecto có hạng bằng 2, nghĩa là tìm m để ma trận tạo bởi 3 vecto trên có hạng bằng 2.
      Tuy nhiên, với bài này hạng của ma trận luôn bằng 3 với mọi m, nên không tồn tại m để kgc W có số chiều là 2.

  5. NguyenVanOn
    24.06.2009 lúc 21:47 | #6
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy cho em hỏi giá trị của lamda có thể là một số hữu tỉ , vô tỷ, một số lẻ đc không vậy thầy ????????

    • 2Bo02B
      24.06.2009 lúc 22:30 | #7
      Trả lời | Trích dẫn

      Giá trị của \lambda là 1 giá trị bất kỳ, kể cả giá trị phức nữa em à. Miễn sao giá trị \lambda làm cho det(A -{\lambda}I) = 0 là được.
      Tuy vậy, em cần phải xem yêu cầu bài toán thế nào. Nếu chỉ xét \lambda trên trường số thực thì nó không thể nhận giá trị phức, hoặc nếu chỉ xét trên trường số hữu tỷ thì \lambda không thể nhận giá trị vô tỷ được.

  6. An Ha
    05.08.2009 lúc 21:04 | #8
    Trả lời | Trích dẫn

    Xin hướng dẫn giúp em bài chứng minh này, chứng minh được nó rồi, em mới tìm ma trận theo 1 cơ sở cho trước, sau đó tìm trị riêng, vecto riêng.
    Theo định nghĩa thì ánh xạ T tuyến tính khi:
    T (u+v)= T (u) + T(v)
    T (ku)= k T(u)
    Nhưng bài này cho tới 3 số x. y, z. Em không biết thay thế nào cả. Xin cảm ơn.
    Cho ánh xạ: f: R^3 \to R^{3}: f(x,y,z)= (6x-2y-2z;-2x+3y; 3x+3z)

    • 2Bo02B
      06.08.2009 lúc 07:11 | #9
      Trả lời | Trích dẫn

      Ở đây, u, v là các vecto nói chung. Nếu u là vecto trong không gian n chiều thì u \in R^n : u = (x_1; x_2; ... ; x_n)
      Do vậy: ở đây ta có: u = (x_1;y_1;z_1); v = (x_2; y_2;z_2) \Rightarrow u + v = (x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2)
      Ta xét: f(u+v) chính là xét f(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2 )
      Như vậy: chỗ nào có x ta thay bằng x1 + x2, y ta thay bằng y1+ y2 và z ta thay bằng z1+ z2.

  7. minhkientruc
    06.08.2009 lúc 22:11 | #10
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy cho em hỏi bài này:
    Cho ma trận: A = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)
    a) Tìm các giá trị riêng và vecto riêng của ma trận A
    b) Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của R3 có A là ma trận trong cơ sở chính tắc, V là không gian con của R3 sinh bởi 2 vecto a=(1,2,5); b=(1,2,4). Có thể khẳng định f(V) là tập con của V không? Tại sao?

    • minhkientruc
      07.08.2009 lúc 09:12 | #11
      Trả lời | Trích dẫn

      em hỏi ý b ấy thầy ạ

    • An Ha
      07.08.2009 lúc 10:40 | #12
      Trả lời | Trích dẫn

      Cau a) phuong trinh dac trung :
      ta co
      \begin{Vmatrix} 2-\lambda & 1 &0 \\ 4& 2-\lambda & 0\\ 3& 1 & 3-\lambda \end{Vmatrix}
      Bạn tính định thức, ra giá trị của lamda. Sau đó thay từng giá trị lamda, để tìm các vecto riêng. Xem ví dụ bên trên đó bạn
      Câu b, ko giải được, nhờ thầy vậy.

    • 2Bo02B
      08.08.2009 lúc 06:40 | #13
      Trả lời | Trích dẫn

      Trước tiên, ta cần xây dựng lại công thức của phép biến đổi tuyến tính f.
      Theo giả thiết f là phép biến đổi tuyến tính của R^3 có A là ma trận trong cơ sở chính tắc, Như vậy:
      f(1,0,0) = (2,4,3)
      f(0,1,0) = (1,2,1)
      f(0,0,1) = (0,0,3)
      Ta cần xác định f(x,y,z).
      Ở đây do cơ sở chính tắc nên việc biểu diễn vectơ (x,y,z) theo 3 vec tơ (1,0,0), (0,1,0) và (0,0,1) rất đơn giản.
      Ta có: (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)
      Vậy: f(x,y,z) = x.f(1,0,0) + yf(0,1,0) + zf(0,0,1)
      Hay: f(x,y,z) = (2x+y, 4x + 2y, 3x+y+3z)
      Ta chứng minh f(V) là tập con của V?
      - Xét vecto u \in V . Khi đó:
      u = {\alpha}a + {\beta}b = ({\alpha}+{\beta} , 2.{\alpha}+2{\beta} , 5{\alpha} + 4{\beta})
      Ta tìm được w = f(u)
      Để chứng minh f(V) là tập con của V ta chỉ cần chứng minh w thuộc V nghĩa là w sẽ được biểu thị tuyến tính qua 2 vecto a và b.

  8. hoainhan90
    09.10.2009 lúc 05:57 | #14
    Trả lời | Trích dẫn

    chao thay thay co the giup em bai toan nay duoc k ah?chung minh rang neu f la dang cau thi f va f^-1 co cung chung 1 gia tri rieng va vecto rieng??
    em cam on thay

  1. No trackbacks yet.