Thuật toán tìm ma trận bậc thang

Bước 1: Kiểm tra a_{11} \ne 0 ?

1.1 Nếu a_{11} = 0 và a_{i1} \ne 0 , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.

1.2 Nếu a_{11} \ne 1 và a_{k1} = 1 , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.

Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới a_{11} bằng phép biến đổi:

h_i \to h_i - { \dfrac{a_{i1}}{a_{11}}} h_1 , (i = 2, 3, ... m)

Khi đó, ma trận sẽ có dạng:

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng b�c thang dòng

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng bậc thang dòng

Bước 3: Kiểm tra b_{22} \ne 0 ?

1.1 Nếu b_{22} = 0 và b_{j2} \ne 0 (j > 2) , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng j.

1.2 Nếu b_{22} \ne 1 và b_{k2} = 1 , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ b_{22} trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành

Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới b_{22} bằng phép biến đổi:

h_i \to h_i - { \dfrac{b_{i2}}{b_{22}}} h_2 , (i = 3, ... m)

Ma trận đưa về dạng:

Chuẩn hóa cột 2

Chuẩn hóa cột 2

Tiếp tục quá trình trên cho phần tử c_{33} , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:

\left ( \begin{array}{ccccc} 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ \end{array} \right )

Bước 1: Phần tử a_{11} = 0 , a_{i1} \ne 0 , (i = 2, 3, 4) . Tuy nhiên a_{41} = 1 nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )

Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: h_2 \to h_2 - 4h_1, h_3 \to h_3 - 10h_1 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )

Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy a_{22} = -20 là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.

Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ \end{array} \right )

Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: h_3 \to h_3 + 13h_2, h_4 \to h_4 + 5h_2 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 14 \\ \end{array} \right )

Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )

Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.

Nhận thấy các phần tử a_{33} = 0, a_{43} = 0 nên cột 3 đã được chuẩn hóa.

Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử a_{34}

Do a_{34} = 0 , và a_{44} = 0 nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy dòng 4 trừ dòng 3.

Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang

Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:

Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: c_2 \to c_2 -7c_1 , c_3 \to c_3 - 3c_1 , c_4 \to c_4 - 17c_1 , c_5 \to c_5 - 9c_1 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bằng cách thực hiện phép biến đổi: c_3 \to c_3 -4c_2 , c_4 \to c_4 - 10c_2 , c_5 \to c_5 - 3c_2 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

4 phản hồi

  1. Bùi Văn Tiệp, on Tháng Sáu 10th, 2009 lúc 12:04 Said:

    Chắc Thày cũng khá bận với công việc giảng dạy của mình, rất mong được cùng nhau giúp đỡ để học tốt trên con đường mình đang chọn.
    Giải định thức bậc 4 thường có 2 cách đơn giản thế này bạn à:
    1. Giải theo định nghĩa (Trong sách giáo trình đã nêu)
    2. Biến đổi ma trận trong dấu định thức về dạng bậc thang rồi lấy tích các phần tử trên đường chéo chính.
    Rất mong được làm quen với các bạn!
    Email: nho1vungque@gmail.com

    Trả lời
  2. loan kute, on Tháng Một 14th, 2009 lúc 12:47 Said:

    thầy cho em hỏi về cách giải định thức cấp 4 được không ạ?

    Trả lời
  3. hoaiphuong, on Tháng Mười Hai 8th, 2008 lúc 23:46 Said:

    Em chào Thầy, em có 1 vấn đề cần hỏi Thầy là: Thầy có thể cho em biết rõ hơn về mối liên hệ giữa hệ phương trình tuyến tính và các khái niệm ma trận, định thức được không ạ? Em cảm ơn Thầy nhiều

    Trả lời
  4. Quỳnh, on Tháng Mười Một 12th, 2008 lúc 10:24 Said:

    thầy có thể giảng tiếp phần đại số tuyến tính ko??? Phần về hệ phương trình đó

    Trả lời

Để lại hồi âm