Thuật toán tìm ma trận bậc thang

Bước 1: Kiểm tra a_{11} \ne 0 ?

1.1 Nếu a_{11} = 0 a_{i1} \ne 0 , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.

1.2 Nếu a_{11} \ne 1 a_{k1} = 1 , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.

Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới a_{11} bằng phép biến đổi:

h_i \to h_i - { \dfrac{a_{i1}}{a_{11}}} h_1 , (i = 2, 3, ... m)

Khi đó, ma trận sẽ có dạng:

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng b�c thang dòng

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng bậc thang dòng

Bước 3: Kiểm tra b_{22} \ne 0 ?

1.1 Nếu b_{22} = 0 b_{j2} \ne 0 (j > 2) , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng j.

1.2 Nếu b_{22} \ne 1 b_{k2} = 1 , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ b_{22} trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành

Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới b_{22} bằng phép biến đổi:

h_i \to h_i - { \dfrac{b_{i2}}{b_{22}}} h_2 , (i = 3, ... m)

Ma trận đưa về dạng:

Chuẩn hóa cột 2

Chuẩn hóa cột 2

Tiếp tục quá trình trên cho phần tử c_{33} , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:

\left ( \begin{array}{ccccc} 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ \end{array} \right )

Bước 1: Phần tử a_{11} = 0 , a_{i1} \ne 0 , (i = 2, 3, 4) . Tuy nhiên a_{41} = 1 nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )

Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: h_2 \to h_2 - 4h_1, h_3 \to h_3 - 10h_1 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )

Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy a_{22} = -20 là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.

Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ \end{array} \right )

Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: h_3 \to h_3 + 13h_2, h_4 \to h_4 + 5h_2 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 14 \\ \end{array} \right )

Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )

Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.

Nhận thấy các phần tử a_{33} = 0, a_{43} = 0 nên cột 3 đã được chuẩn hóa.

Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử a_{34}

Do a_{34} = 0 , và a_{44} = 0 nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy dòng 4 trừ dòng 3.

Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang

Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:

Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: c_2 \to c_2 -7c_1 , c_3 \to c_3 - 3c_1 , c_4 \to c_4 - 17c_1 , c_5 \to c_5 - 9c_1 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bằng cách thực hiện phép biến đổi: c_3 \to c_3 -4c_2 , c_4 \to c_4 - 10c_2 , c_5 \to c_5 - 3c_2 . Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:

\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )

Thảo luận

57 thoughts on “Thuật toán tìm ma trận bậc thang

  1. hạng của ma trận đơn giản là số hàng khác 0 của ma trận bậc thang thui, hj

    Like

    Posted by Ky Duyen | 14/03/2012, 00:29
  2. Cho mình hỏi tìm hạng của ma trận thì tìm làm sao? Mình thật loạn lên vì cái phần này

    Like

    Posted by The Death | 25/02/2012, 22:58
  3. em thấy nên cho nhiều ví dụ hơn ( không cần nhiều lắm, 2 là đủ rồi) >’-’<

    Like

    Posted by Nguyễn Thái Quân | 07/12/2011, 15:13
  4. đúng ak. cũng hay.

    Like

    Posted by ngân | 14/11/2011, 20:10
  5. Những bài này cũng làm cho em hiểu nhiều về dạng toán bậc thang. Em cảm ơn tác giả đã đăng bài này

    Like

    Posted by dothibehien | 07/11/2011, 17:21

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 983 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 983 other followers

%d bloggers like this: