Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-14w

Chúng ta đã biết: một vec-tơ trong không gian 3 chiều là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều, độ lớn. Từ hình học giải tích ta xây dựng khái niệm độ lớn của 1 vec-tơ \vec{a} = (a_1;a_2;a_3) thông qua khái niệm tích vô hướng. Từ đó, ta cũng tìm được góc hợp bởi 2 vec-tơ thông qua khái niệm tích vô hướng. Do vậy, ta sẽ trang bị cho không gian vec-tơ tổng quát 1 tích vô hướng thích hợp để có thể xây dựng các khái niệm về độ dài của 1 vec-tơ, góc giữa 2 vec-tơ… 1 cách tương ứng.

1. Định nghĩa 1: (Khái niệm tích vô hướng)

Cho V là 1 không gian vec-tơ trên trường số thực R.

Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ: \langle{ ,}\rangle :\begin{array}{lll}V\text{x}V & \to & R \\ (x,y) & \mapsto & \langle{x,y}\rangle \\ \end{array}

thỏa mãn các tính chất sau đây:

1. \langle{x,x}\rangle \ge 0 ; \forall x \in V ; \langle{x,x}\rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0_V

2. \langle{x,y}\rangle = \langle{y,x}\rangle ; \forall x, y \in V

3. \left\langle{x+x',y}\right\rangle = \left\langle{x,y}\right\rangle + \left\langle{x',y} \right\rangle ; \forall x, x', y \in V

4. \langle{cx,y}\rangle = c.\langle{x,y}\rangle ; \forall x, y \in V ; \forall c \in R

Lưu ý: một số giáo trình xây dựng tích vô hướng của không gian vec-tơ trên trường số phức C (đây là tích vô hướng tổng quát)

Ví dụ 1: cho không gian vec-tơ R^n , \forall x=(x_1;x_2;...;x_n) ; \forall y=(y_1;y_2;...;y_n) \in R^n

Ta định nghĩa: \langle{x,y}\rangle = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n = \sum\limits_{i=1}^nx_iy_i . thì đây là 1 tích vô hướng trên R^n và được gọi là tích vô hướng chính tắc.

Ví dụ 2: Cho V = C_{[a;b]} – không gianvec-tơ các hàm số thực liên tục trên a,b. Với mọi f(x), g(x) \in C_{[a;b]} ta định nghĩa tích vô hướng  (được gọi là tích vô hướng tích phân) như sau: \langle{f,g}\rangle = \int\limits_{a}^b f(x).g(x) \, dx

2. Định nghĩa 2: (không gian vec-tơ Euclide)

Không gian vec-tơ V trên trường số thực R được trang bị trên nó 1 tích vô hướng \langle{,}\rangle trên R được gọi là không gian vec-tơ Euclide. Ký hiệu E = (V;\langle{,}\rangle )

Lưu ý: một số giáo trình định nghĩa không gian vec-tơ Euclide là không gian vec-tơ trên trường số phức C được trang bị 1 tích vô hướng trên C. Tuy nhiên, rất nhiều giáo trình Toán định nghĩa đó là không gian Unita chứ không phải là không gian Euclide.

3. Định nghĩa 3: (Độ dài của 1 vec-tơ)

Cho E là không gian vec-tơ Euclide.

Với mỗi vec-tơ x \in E , ta định nghĩa độ dài của vec-tơ x, ký hiệu ||x|| , là một số thực không âm xác định bởi: \sqrt{\langle{x,x}\rangle}

Nhận xét:

1. ||x|| = 0 \Leftrightarrow x =0_E ; ||c.x|| = |c|.||x|| ; \forall x \in E ; \forall c \in R

2. Trong không gian vec-tơ Euclide R^n với tích vô hướng chính tắc. Ta có:

\forall x = (x_1;x_2;...;x_n): ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}

3. Trong không gian Euclide C_{[a;b]} với tích vô hướng tích phân. Khi đó:

\forall f(x) \in C_{[a;b]} : ||f|| = \sqrt{\int\limits_{a}^b [f(x)]^2 \, dx }

Ví dụ: Với E = \left(C_{\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]};\langle{,}\rangle\right) ta có:

||x|| = \sqrt{\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x^2 \, dx} =\sqrt{\left. \dfrac{x^3}{3}\right|_0^{\dfrac{\pi}{2}}} = \dfrac{\pi \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{6}}

||sinx|| = \sqrt{\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}}sin^2x \, dx} = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

4. Định lý Cauchy – Schwarz:

Cho không gian vec-tơ Euclide E. Khi đó:

\forall x,y \in E : \left|\langle{x,y}\rangle\right| \le ||x||.||y|| (1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh:

Ta có: f(t) = \langle{x-ty,x-ty}\rangle \ge 0 ; \forall t \in R

Mặt khác: f(t) = \langle{x-ty,x-ty}\rangle = \langle{x,x}\rangle - 2t.\langle{x,y}\rangle + t^2.\langle{y,y}\rangle (*)

(*) là tam thức bậc hai theo biến t khi \langle{y,y}\rangle \ne 0

– Trường hợp 1: \langle{y,y}\rangle = 0 \Leftrightarrow y = 0_E . Khi đó:

Thế y = 0_E vào bất đẳng thức (1) ta có:

\left|\langle{x,0}\right|\rangle \le ||x||.||0|| \Leftrightarrow 0 \le 0

nên bất đẳng thức (1) đúng; đồng thời: x,y là 2 vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.

– Trường hợp 2: \langle{y,y}\rangle \ne 0 \Leftrightarrow y \ne 0_E . Khi đó:

(*) là tam thức bậc hai luôn dương với mọi t. Do đó: {\Delta}_f \le 0

Hay: \left(\langle{x,y}\rangle\right)^2 - \langle{x,x}\rangle . \langle{y,y}\rangle \le 0 \Leftrightarrow \left(\langle{x,y}\rangle\right)^2 - ||x||^2.||y||^2 \le 0

Do đó: \left(\langle{x,y}\rangle\right)^2 \le ||x||^2.||y||^2

Suy ra: \left|\langle{x,y}\rangle\right| \le ||x||.||y||

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi {\Delta}_f = 0

Nghĩa là: (*) có nghiệm kép t_0 . Hay f(t_0) = 0

Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

f(t_0)=0 \Leftrightarrow \langle{x-t_0y,x-t_0y}\rangle = 0 \Leftrightarrow x - t_0y = 0 (**)

(**) chứng tỏ x, y là hai vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.♦

Hệ quả:

1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho không gian vec-tơ Euclide R^n với tích vô hướng chính tắc ta có:

\forall x = (x_1;x_2;...;x_n) ; y =(y_1;y_2;...;y_n) \in R^n :

\left|\langle{x,y}\rangle\right| \le ||x||.||y|| \Leftrightarrow |x_1y_1+x_2y_2+...x_ny_n| \le \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}. \sqrt{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2}

(Đây chính là bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) quen thuộc)

2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho không gian C[a;b] với tích vô hướng tích phân ta có bất đẳng thức tích phân sau:

\left|\int\limits_a^b f(x).g(x) \, dx \right| \le \sqrt{\int\limits_a^b [f(x)]^2 \, dx} . \sqrt{\int\limits_a^b [g(x)]^2 \, dx}

5. Bất đẳng thức tam giác:

Cho E là không gian vec-tơ Euclide. Khi đó:

\forall x, y \in E: ||x|| - ||y|| \le ||x+y|| \le ||x|| + ||y||

Chứng minh:

– ||x+y|| \le ||x||+||y|| ?

Ta có: ||x+y||^2 = \langle{x+y,x+y}\rangle = \langle{x,x}\rangle + 2\langle{x,y}\rangle + \langle{y,y}\rangle \le ||x||^2 + 2||x||.||y|| + ||y||^2 (theo bdt Cauchy – Schwarz)

Từ đó: ||x+y||^2 \le \left(||x||+||y||\right)^2

Suy ra: ||x+y|| \le ||x|| + ||y||

– ||x|| - ||y|| \le ||x+y|| ?

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

||x|| = ||(x+y)+(-y)|| \le ||x+y|| + ||-y|| = ||x+y|| + ||y||

Suy ra: ||x||-||y|| \le ||x+y|| ♦

6. Định nghĩa 4: (góc giữa hai vec-tơ)

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

-1 \le \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||} \le 1

Điều này đồng nghĩa với việc tồn tại 1 góc \varphi \in [0;\pi] sao cho:

cos\varphi = \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||}

Vì vậy, từ đây, ta có thể định nghĩa góc hợp bởi 2 vec-tơ trong không gian vec-tơ Euclide như sau:

Cho E là không gian vec-tơ Euclide. Ta gọi góc giữa 2 vec-tơ khác không x, y \in E là số thực \theta \in [0;\pi] xác định bởi:

cos\theta = \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||}

Nhận xét: rõ ràng khai niệm góc giữa 2 vec-tơ được xây dựng như trên, hoàn toàn tương ứng với khái niệm góc giữa 2 vec-tơ trong mặt phẳng và trong không gian 3 chiều của hình học giải tích.

Ví dụ 6.1: Trong không gian vec-tơ Euclide C_{[0;\dfrac{\pi}{2}]} với chuẩn tích phân. Khi đó, góc giữa 2 vec-tơ x, sinx được xác định như sau:

cos\theta = \dfrac{\langle{x,sinx}\rangle}{||x||.||sinx||}

Mà: \langle{x,sinx}\rangle = \int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}} x.sinx \, dx = 1

||x|| = \dfrac{{\pi}{\sqrt{\pi}}}{2{\sqrt{6}}} ; ||sinx|| =\dfrac{\pi}{2} (xem ví dụ ở phần 3)

Vậy: cos\theta = \dfrac{4\sqrt{6}}{{\pi}^2}

Ví dụ 6.2: Trong không gian vec-tơ Euclide {R^4} với tích vô hướng chính tắc. Cho x = (1,2,-1,-2) ; y = (2,-1,-2,1)

Khi đó:

cos\theta = \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||} = \dfrac{1.2+2.(-1)+(-1).(-2)+(-2).1}{{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2+(-2)^2}}.{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+1^2}}} = \dfrac{0}{10} = 0

Suy ra: \theta = \dfrac{\pi}{2}

Trong trường hợp này ta nói 2 vec-tơ x, y trực giao nhau (x \perp y )

Trang: 1 2

Thảo luận

21 bình luận về “Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)”

  1. Thầy có thể giúp em giải bài này được không ạ:
    Trong không gian R3 cho tập W={x={x1,x2,x3} : x1=x3}
    Chứng minh rằng W là một không gian con của R3.
    Em cảm ơn Thầy.

    Thích

    Posted by kim cận | 26/11/2014, 15:32
    Reply to this comment

  2. Cho B= {u ,v ,w } là một cơ sở của không gian véctơ V và tập
    S={2u+ v- w, 2u+ v-2w, u+ v-2w }
    1. Chứng minh rằng S cũng là một cơ sở của V.
    2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang B.
    3. Biết tọa độ của véctơ z ∈V theo cơ sở B là (x )B= (3;-4;2)
    , tìm tọa độ của véctơ này theo co so S
    giúp e bài này

    Thích

    Posted by kim khôi | 25/11/2014, 22:56
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…