Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-14w

Chúng ta đã biết: một vec-tơ trong không gian 3 chiều là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều, độ lớn. Từ hình học giải tích ta xây dựng khái niệm độ lớn của 1 vec-tơ \vec{a} = (a_1;a_2;a_3) thông qua khái niệm tích vô hướng. Từ đó, ta cũng tìm được góc hợp bởi 2 vec-tơ thông qua khái niệm tích vô hướng. Do vậy, ta sẽ trang bị cho không gian vec-tơ tổng quát 1 tích vô hướng thích hợp để có thể xây dựng các khái niệm về độ dài của 1 vec-tơ, góc giữa 2 vec-tơ… 1 cách tương ứng.

1. Định nghĩa 1: (Khái niệm tích vô hướng)

Cho V là 1 không gian vec-tơ trên trường số thực R.

Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ: \langle{ ,}\rangle :\begin{array}{lll}V\text{x}V & \to & R \\ (x,y) & \mapsto & \langle{x,y}\rangle \\ \end{array}

thỏa mãn các tính chất sau đây:

1. \langle{x,x}\rangle \ge 0 ; \forall x \in V ; \langle{x,x}\rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0_V

2. \langle{x,y}\rangle = \langle{y,x}\rangle ; \forall x, y \in V

3. \left\langle{x+x',y}\right\rangle = \left\langle{x,y}\right\rangle + \left\langle{x',y} \right\rangle ; \forall x, x', y \in V

4. \langle{cx,y}\rangle = c.\langle{x,y}\rangle ; \forall x, y \in V ; \forall c \in R

Lưu ý: một số giáo trình xây dựng tích vô hướng của không gian vec-tơ trên trường số phức C (đây là tích vô hướng tổng quát)

Ví dụ 1: cho không gian vec-tơ R^n , \forall x=(x_1;x_2;...;x_n) ; \forall y=(y_1;y_2;...;y_n) \in R^n

Ta định nghĩa: \langle{x,y}\rangle = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n = \sum\limits_{i=1}^nx_iy_i . thì đây là 1 tích vô hướng trên R^n và được gọi là tích vô hướng chính tắc.

Ví dụ 2: Cho V = C_{[a;b]} – không gianvec-tơ các hàm số thực liên tục trên a,b. Với mọi f(x), g(x) \in C_{[a;b]} ta định nghĩa tích vô hướng  (được gọi là tích vô hướng tích phân) như sau: \langle{f,g}\rangle = \int\limits_{a}^b f(x).g(x) \, dx

2. Định nghĩa 2: (không gian vec-tơ Euclide)

Không gian vec-tơ V trên trường số thực R được trang bị trên nó 1 tích vô hướng \langle{,}\rangle trên R được gọi là không gian vec-tơ Euclide. Ký hiệu E = (V;\langle{,}\rangle )

Lưu ý: một số giáo trình định nghĩa không gian vec-tơ Euclide là không gian vec-tơ trên trường số phức C được trang bị 1 tích vô hướng trên C. Tuy nhiên, rất nhiều giáo trình Toán định nghĩa đó là không gian Unita chứ không phải là không gian Euclide.

3. Định nghĩa 3: (Độ dài của 1 vec-tơ)

Cho E là không gian vec-tơ Euclide.

Với mỗi vec-tơ x \in E , ta định nghĩa độ dài của vec-tơ x, ký hiệu ||x|| , là một số thực không âm xác định bởi: \sqrt{\langle{x,x}\rangle}

Nhận xét:

1. ||x|| = 0 \Leftrightarrow x =0_E ; ||c.x|| = |c|.||x|| ; \forall x \in E ; \forall c \in R

2. Trong không gian vec-tơ Euclide R^n với tích vô hướng chính tắc. Ta có:

\forall x = (x_1;x_2;...;x_n): ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}

3. Trong không gian Euclide C_{[a;b]} với tích vô hướng tích phân. Khi đó:

\forall f(x) \in C_{[a;b]} : ||f|| = \sqrt{\int\limits_{a}^b [f(x)]^2 \, dx }

Ví dụ: Với E = \left(C_{\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]};\langle{,}\rangle\right) ta có:

||x|| = \sqrt{\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} x^2 \, dx} =\sqrt{\left. \dfrac{x^3}{3}\right|_0^{\dfrac{\pi}{2}}} = \dfrac{\pi \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{6}}

||sinx|| = \sqrt{\int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}}sin^2x \, dx} = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

4. Định lý Cauchy – Schwarz:

Cho không gian vec-tơ Euclide E. Khi đó:

\forall x,y \in E : \left|\langle{x,y}\rangle\right| \le ||x||.||y||  (1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh:

Ta có: f(t) = \langle{x-ty,x-ty}\rangle \ge 0 ; \forall t \in R

Mặt khác: f(t) = \langle{x-ty,x-ty}\rangle = \langle{x,x}\rangle - 2t.\langle{x,y}\rangle + t^2.\langle{y,y}\rangle (*)

(*) là tam thức bậc hai theo biến t khi \langle{y,y}\rangle \ne 0

- Trường hợp 1: \langle{y,y}\rangle = 0 \Leftrightarrow y = 0_E . Khi đó:

Thế y = 0_E vào bất đẳng thức (1) ta có:

\left|\langle{x,0}\right|\rangle \le ||x||.||0|| \Leftrightarrow 0 \le 0

nên bất đẳng thức (1) đúng; đồng thời: x,y là 2 vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.

- Trường hợp 2: \langle{y,y}\rangle \ne 0 \Leftrightarrow y \ne 0_E . Khi đó:

(*) là tam thức bậc hai luôn dương với mọi t. Do đó: {\Delta}_f \le 0

Hay: \left(\langle{x,y}\rangle\right)^2 - \langle{x,x}\rangle . \langle{y,y}\rangle \le 0 \Leftrightarrow \left(\langle{x,y}\rangle\right)^2 - ||x||^2.||y||^2 \le 0

Do đó: \left(\langle{x,y}\rangle\right)^2 \le ||x||^2.||y||^2

Suy ra: \left|\langle{x,y}\rangle\right| \le ||x||.||y||

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi {\Delta}_f = 0

Nghĩa là: (*) có nghiệm kép t_0 . Hay f(t_0) = 0

Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

f(t_0)=0 \Leftrightarrow \langle{x-t_0y,x-t_0y}\rangle = 0 \Leftrightarrow x - t_0y = 0 (**)

(**) chứng tỏ x, y là hai vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.♦

Hệ quả:

1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho không gian vec-tơ Euclide R^n với tích vô hướng chính tắc ta có:

\forall x = (x_1;x_2;...;x_n) ; y =(y_1;y_2;...;y_n) \in R^n :

\left|\langle{x,y}\rangle\right| \le ||x||.||y|| \Leftrightarrow |x_1y_1+x_2y_2+...x_ny_n| \le \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}. \sqrt{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2}

(Đây chính là bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) quen thuộc)

2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho không gian C[a;b] với tích vô hướng tích phân ta có bất đẳng thức tích phân sau:

\left|\int\limits_a^b f(x).g(x) \, dx \right| \le \sqrt{\int\limits_a^b [f(x)]^2 \, dx} . \sqrt{\int\limits_a^b [g(x)]^2 \, dx}

5. Bất đẳng thức tam giác:

Cho E là không gian vec-tơ Euclide. Khi đó:

\forall x, y \in E: ||x|| - ||y|| \le ||x+y|| \le ||x|| + ||y||

Chứng minh:

- ||x+y|| \le ||x||+||y|| ?

Ta có: ||x+y||^2 = \langle{x+y,x+y}\rangle = \langle{x,x}\rangle + 2\langle{x,y}\rangle + \langle{y,y}\rangle \le ||x||^2 + 2||x||.||y|| + ||y||^2 (theo bdt Cauchy – Schwarz)

Từ đó: ||x+y||^2 \le \left(||x||+||y||\right)^2

Suy ra: ||x+y|| \le ||x|| + ||y||

- ||x|| - ||y|| \le ||x+y|| ?

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

||x|| = ||(x+y)+(-y)|| \le ||x+y|| + ||-y|| = ||x+y|| + ||y||

Suy ra: ||x||-||y|| \le ||x+y||

6. Định nghĩa 4: (góc giữa hai vec-tơ)

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

-1 \le \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||} \le 1

Điều này đồng nghĩa với việc tồn tại 1 góc \varphi \in [0;\pi] sao cho:

cos\varphi = \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||}

Vì vậy, từ đây, ta có thể định nghĩa góc hợp bởi 2 vec-tơ trong không gian vec-tơ Euclide như sau:

Cho E là không gian vec-tơ Euclide. Ta gọi góc giữa 2 vec-tơ khác không x, y \in E là số thực \theta \in [0;\pi] xác định bởi:

cos\theta = \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||}

Nhận xét: rõ ràng khai niệm góc giữa 2 vec-tơ được xây dựng như trên, hoàn toàn tương ứng với khái niệm góc giữa 2 vec-tơ trong mặt phẳng và trong không gian 3 chiều của hình học giải tích.

Ví dụ 6.1: Trong không gian vec-tơ Euclide C_{[0;\dfrac{\pi}{2}]} với chuẩn tích phân. Khi đó, góc giữa 2 vec-tơ x, sinx được xác định như sau:

cos\theta = \dfrac{\langle{x,sinx}\rangle}{||x||.||sinx||}

Mà: \langle{x,sinx}\rangle = \int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}} x.sinx \, dx = 1

||x|| = \dfrac{{\pi}{\sqrt{\pi}}}{2{\sqrt{6}}} ; ||sinx|| =\dfrac{\pi}{2} (xem ví dụ ở phần 3)

Vậy: cos\theta = \dfrac{4\sqrt{6}}{{\pi}^2}

Ví dụ 6.2: Trong không gian vec-tơ Euclide {R^4} với tích vô hướng chính tắc. Cho x = (1,2,-1,-2) ; y = (2,-1,-2,1)

Khi đó:

cos\theta = \dfrac{\langle{x,y}\rangle}{||x||.||y||} = \dfrac{1.2+2.(-1)+(-1).(-2)+(-2).1}{{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2+(-2)^2}}.{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+1^2}}} = \dfrac{0}{10} = 0

Suy ra: \theta = \dfrac{\pi}{2}

Trong trường hợp này ta nói 2 vec-tơ x, y trực giao nhau (x \perp y )

Thảo luận

19 thoughts on “Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)

  1. Xin thầy giúp chúng em về phương pháp tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian vecto Euclid. Cảm ơn thầy nhiều?

    Like

    Posted by Lưu Linh | 17/05/2012, 11:48
  2. thầy có thể giúp em bài này được không ạ?
    Trong f(x) xét ánh xạ:
    T: P_2(x) . P_2(x) -> R
    = tích phân từ -1 đến 1 của (f(x).g(x))dx

    Cm: P_2(x) với ánh xạ trên là một không gian euclide.
    Từ cơ sở chuẩn tắc {1,x,x^2} tìm cơ sở chuẩn tắc của P_2(x)

    Like

    Posted by phương thảo | 07/12/2011, 23:07
  3. Với giá trị nào của k thì hạng của hệ vectơ=3
    x1=(k,1,3,-1)
    x2=(k,k,-2,1)
    x3=(1,1,k,1)
    x4=(1,1,1,k)
    em cảm ơn nhiều ạ

    Like

    Posted by sinhvien_Bk56 | 11/10/2011, 21:00
    • Để giải quyết bài này, em cần chú ý kết quả, hạng của hệ vec-tơ chính là hạng của ma trận có các dòng chính là tọa độ của các vec-tơ.
      Khi đó, em chỉ cần biện luận theo k, hạng của ma trận:
      A = \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & k \\ 1 & 1 & k & 1 \\ k & 1 & 3 & -1 \\ k & k & -2 & 1 \\ \end{array} \right]
      Sử dụng pbdsc, đưa về ma trận bậc thang, em sẽ có k = 1 thì r(A) = 3, k \ne 1 thì r(A) =4

      Like

      Posted by 2Bo02B | 16/10/2011, 22:07
  4. Thầy ơi! Thầy hướng dẫn em chứng mình bài này được không ạ? Cảm ơn thầy nhiều!

    hãy CMR: điều kiện cần và đủ để cho 1 hệ vecto phụ thuộc tuyến tính ở trong không gian vecto n chiều là tồn tại ít nhất 1 vecto được biểu thị qua tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại.

    Like

    Posted by Nguyễn Thị Ái Ly | 22/04/2011, 17:09
  5. Thầy có thể cho em hỏi là: Khi ta muốn tìm một họ nguyên hàm của một hàm chứa giá trị tuyệt đối thì ta có phải xét hàm trong giá trị tuyệt đối đó để phá trị tuyệt đối không ạ? ví dụ như tìm một họ nguyên hàm của hàm : x*|x-1| trên R.

    Like

    Posted by QUANG DAT | 29/12/2010, 15:12
  6. Thầy có thể giúp em bài tập này được không ạ?
    Trong không gian Euclide R2, với tích vô hướng của x=(x1,x2) và y=(y1,y2) là: < x, y > = 2x1y1 – x2y1 – x1y2 + 2x2y2
    Hãy tìm tập hợp các vec-tơ trực giao ới e = (1,0). Từ đó hãy chỉ ra một cơ sở trực chuẩn.
    Em xin cảm ơn thầy!

    Like

    Posted by nguyen manh linh | 21/12/2010, 16:15
    • - Để tìm vec-tơ x = (x1,x2) trực giao với e thì em cần nắm khái niệm 2 véc-tơ trực giao khi tích vô hướng của 2 véc-tơ bằng 0.
      Vậy: <x,e > = 0 .
      Từ đó em có: 2x_1.1 - x_2.1 = 0 \Rightarrow x_2 = 2x_1 . Vậy x = (x1,2×1)
      – Tìm cơ sở trực chuẩn nghĩa là:
      + Tìm hệ vec-tơ là cơ sở trực chuẩn của R2. Hệ vec-tơ đó là cơ sở (gồm 2 vec-tơ đltt), các vec-tơ trực giao và có mô-đun (độ dài) bằng 1.
      Do đó cơ sở trực chuẩn của R2 gồm 2 vec-tơ có độ dài bằng 1, trực giao và đltt.
      Vậy em có 2 vec-tơ trực giao, đltt là x = (1,2) và e = (1,0). Từ 2 vec-tơ này, em xây dựng 2 vec-tơ có độ dài bằng 1 bằng cách:
      e1 = x/||x|| = (1/6).x ; e2 = e/||e|| = (1/2).e

      Like

      Posted by 2Bo02B | 21/12/2010, 21:58
  7. Thưa thầy, thầy có thể nêu lên định hương cách giải một bài tạp sau cho em được không ạ?
    BÀI TẬP: Phép biến đổi tuyến tính f: R2 -> R2 , biết ma trận của f trong cơ sở
    B={(3,2),(1,1)} là A =\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ \end{array} \right]
    Hãy tính vecto ảnh f(5,3) và tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của R2.
    Em xin cảm ơn thầy.

    Like

    Posted by QUANG DAT | 19/12/2010, 16:28
    • Đặt b1 = (3,2); b2 = (1,1); u = (5,3)
      Do ma trận của f đối với cơ sở B là A nên:
      f(b_1) = 2b_1 - b_2 ; f(b_2) = b_1 + 3b_2
      Vậy để tìm vec-tơ ảnh f(u), em cần biểu thị tuyến tính u theo b1, b2. Khi đó:
      u = {\alpha}b_1 + {\beta}b_2 \Rightarrow f(u) = {\alpha}f(b_1) + {\beta}f(b_2) = (2{\alpha}+{\beta})b_1 + (3{\beta}-{\alpha})b_2
      Vậy: f(u) = (2{\alpha}+{\beta} , 3{\beta}-{\alpha})
      Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc thì em tìm ảnh f(1,0) và f(0,1). Sau đó tìm biểu diễn f(1,0) và f(0,1) theo cơ sở B’ = {(1,0); (0,1)}
      Ngoài ra em cũng có thể sử dụng kết quả sau:
      Nếu A là ma trận của toán tử tuyến tính f trong cơ sở E, B là ma trận của toán tử tuyến tính f trong cơ sở E’ , C là ma trận chuyển từ E sang E’ thì: B = C^{-1}.A.C

      Like

      Posted by 2Bo02B | 20/12/2010, 14:38
  8. Thưa thầy, em tìm trong các giáo trình toán cao cấp đều không thấy nói đến định nghĩa hai vector bằng nhau. Em rất muốn biết định nghĩa này như thế nào, kính mong thầy viêt một bài về vấn đề này ạ!

    Like

    Posted by Nguyễn Hồng Chuyên | 15/12/2010, 21:10
    • Cái này em chỉ cần dựa vào định nghĩa của kgvt thôi. Một kgvt là 1 tập hợp trên đó trang bị 2 phép toán:
      – Phép cộng 2 vec-tơ.
      – Phép nhân 1 vô hướng với 1 vec-tơ.
      2 phép toán này thỏa mãn 8 tiên đề, trong đó tồn tại vec-tơ không và vec-tơ đối. Từ đây em có 2 vec-tơ x,y bằng nhau khi x – y = 0V (0V – vec-tơ không).

      Like

      Posted by 2Bo02B | 20/12/2010, 13:56
  9. Thưa thầy,thầy có thể cho em hỏi là: có một cách nào đó mà khi ta đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc mà không cần phải chéo hóa ma trận không ạ?

    Like

    Posted by QUANG DAT | 13/12/2010, 17:47
  10. thưa thầy ! sao bọn em học thì phải nêu 10 tiên đề vậy tiên đề nào quan trọng nhất hả thầy

    Like

    Posted by vi chiến thắng | 11/11/2010, 21:08
    • Chỉ cần 1 tiên đề không thỏa mãn thì không thể là kgvt. Do đó, nếu em đã chỉ ra 1 tiên đề không thỏa mãn thì không cần thiết phải xét các tiên đề còn lại. Có lẽ GV yêu cầu các em làm hết để nhớ nội dung của từng tiên đề.
      Cũng giống như chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ ta phải chứng minh đúng với mọi x thuộc MXD. Nhưng chứng minh hàm e^x là không chẵn, không lẻ ta chỉ cần chỉ ra với x = 1 thì e^{-1} \ne e^1 nên không là hàm chẵn và e^{-1} \ne -e^{1} nên không là hàm lẻ. Ta cũng có thể chứng minh tổng quát nhung không cần thiết.
      À, mà một tập hợp V với 2 phép toán (cộng 2 vecto và nhân 1 vô hướng với 1 vecto) chỉ cần thỏa mãn 8 tiên đề thôi mà em (chứ đâu phải 10 tiên đề nè). Thông thường, quan trọng nhất là việc kiểm tra V có khép kín với phép cộng 2 vecto và khép kín với phép nhân vô hướng với 1 vecto hay không? Tức: x, y \in V, a\in K thì x+ y \in V? ; ax \in V?
      Nếu khép kín thì 8 tiên đề còn lại có vai trò như nhau. Tuy nhiên, trong 8 tiên đề thì tiên đề phép cộng có tính giao hoán có thể suy ra được từ 7 tiên đề còn lại, nên thật ra chỉ cần xét 7 tiên đề là đủ.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 11/11/2010, 23:14
  11. Thầy ơi, khi xác định 1 tập hợp có là không gian vectơ hay không, nếu ta biết nó vi phạm tiên đề nào thì khi trình bày trong bài ta chỉ cần đưa tiên đề đó hay phải đưa tất cả các tiên đề còn lại?
    Xin cảm ơn thầy

    Like

    Posted by Tuấn Cường | 23/10/2010, 22:19
    • Nếu có 1 tiên đề mà nó không thỏa mãn thì tập hợp đó không thể là kgvt rồi, nên em chỉ cần chỉ ra tiên đề nào không thỏa và cho phản ví dụ (hoặc chứng minh) mà không cần phải xét các tiên đề còn lại.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 24/10/2010, 18:10
  12. thầy có thể viết thêm về phần biến đổi tuyến tính trong không gian Euclide để bọn em tham khảo được không.một số kiến thức (em rất mong là có chứng minh)về khoảng cách,góc giữa vecto và không gian con(trong không gian Euclide) .công thức tính thể tích hình hộp qua định thức của ma trận gramm

    Like

    Posted by bacyenthanh | 11/04/2010, 11:11

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 985 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 985 other followers

%d bloggers like this: