Khái niệm về ma trận

I. Các định nghĩa về ma trận:

1. Định nghĩa 1.1:

Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K – là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:

A = \left ( {\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array}} \right )

Trong đó a_{ij} \in K là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là A = (a_{ij})_{mxn} hay (A)_{mxn}

Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K được ký hiệu bởi Mm x n(K)

Ví dụ 1.1: A = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array}} \right ) là ma trận cấp 2 x 3. B = \left( {\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array}} \right ) là ma trận cấp 3 x 2.

Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: a_{ij} = i^2 - j^2 , \forall i,j = 1, ... , 4

Nhận xét:

- Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát.

- Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.

- Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K)

- Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột

- Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được gọi là đường chéo chính của A.

2. Định nghĩa 1.2: Cho A = (a_{ij}) \in M_n(K) . Khi đó:

- Nếu a_{ij} = 0 , \forall i \ne j (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo.

- Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2,…, an) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, a2, …, an

- Ma trận chéo có a_{ii} = 1 , \forall i (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1) được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: In

- Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng.

- Nếu a_{ij} = 0 , \forall i > j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên.

- Nếu a_{ij} = 0 , \forall i < j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới.

- Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác.

II. Các phép toán trên ma trận:

1. Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau):

Cho A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) .

Ta nói A = B khi và chỉ khi: a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Với A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} d & e & f \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right ) Thì A = B \leftrightarrow a = 4 , b = 5 , c = 6 , d = 1, e = 2, f = 3

Hai ma trận A = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right ) không thể bằng nhau do không cùng cấp.

2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị):

Cho A = (a_{ij}) \in M_{mxn}(K) . Ta nói:

B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu:

a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Nếu A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{array}} \right ) thì {A^T} = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{array}} \right )

3. Tính chất 2.1:

Cho A, B \in M_{mxn}(K) . Khi đó:

1. (A^T)^T = A

2. A^T = B^T \Leftrightarrow A = B

Ghi chú:

Cho A \in M_n(K) . Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu AT = – A thì ta nói Ama trận phản xứng.

Ví dụ: A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \\ \end{array}} \right ) là ma trận đối xứng. B = \left ( {\begin{array}{ccc} 0 & 1 & {-2} \\ {-1} & 0 & 3 \\ 2 & {-3} & 0  \\ \end{array}} \right ) là ma trận phản xứng.

Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0.

4. Phép nhân một số với một ma trận:

Cho A \in M_{mxn}(K) , a \in K Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K) được xác định bởi: c_{ij} = a.a_{ij}

– Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.
5. Cộng hai ma trận:

Cho A, B \in M_{mxn}(K)

Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K) được xác định bởi: c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B.
6. Tính chất 2.2:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)

7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho:

8. Định lý 2.1:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K . Khi đó:

1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A

2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C

3.Tồn tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A

4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0

5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA

6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT + BT

Thảo luận

38 thoughts on “Khái niệm về ma trận

  1. cho em hỏi ma trận đối xứng có bao nhiêu cặp số bằng nhau

    Like

    Posted by ngọc bích | 10/01/2014, 15:59
    • Ma trận đối xứng có tính chất a_{ij} = a_{ji} (i \neq j) Nên nếu xét ma trận vuông cấp n thì em có thể tính toán bằng cách liệt kê:
      – Với i = 1 thì a_{1j} = a_{j1}; j = 2, 3, 4,..., n có n – 1 cặp số giống nhau
      – Với i = 2 thì a_{2j} = a_{j2}; j = 3, 4,..., n có n – 2 cặp số
      ……
      Từ đó, em sẽ có kết quả: 1 + 2 + 3 + …. + (n-1)

      Like

      Posted by 2Bo02B | 20/03/2014, 15:30
  2. Xin thầy cho e hỏi, trong 1 ma trận vuông có mấy đường chéo chính ạ? Ở phần lý thuyết trên thầy nói đến các phần tử a[i,j] mà i=j thì sẽ nằm trên đường chéo chính, còn các phần tử a[i,j] mà i+j=n+1 thì cũng nằm trên đường chéo của ma trận vuông đó, nhưng đường chéo đó gọi là đường chéo chính hay đường chéo phụ vậy? E xin cảm ơn thầy.

    Like

    Posted by Nguyễn Hằng | 09/10/2012, 21:16
  3. Thầy ơi cho e hỏi làm sao để nhân 1 chuỗi ma trận với nhau ạ? cách tính thế nào ạ?

    Like

    Posted by Bao Nghi | 23/07/2012, 22:21
  4. em cám ơn thầy ạ ^^

    Like

    Posted by Bunie | 21/02/2012, 20:31
  5. thầy ơi cho em hỏi tính lũy thừa của ma trận cấp n thì tính thế nào vd: lũy thừa 14 lần chả hạn của ma trận A cấp 3 chả hạn ?

    Like

    Posted by Phuong | 29/01/2012, 09:05
  6. Đề ra là : tính |A|. Tìm điều kiện của m để |A| nghịch đảo?

    Like

    Posted by Trần Thái | 02/01/2012, 20:27
  7. cho em hỏi ma trận nghịch đảo của ma trận có 1 phần tử là gì ạ:(

    Like

    Posted by huynh | 16/12/2011, 17:03
  8. Thưa Thầy!các phần tử trên đường chéo chính có phần tử bằng không thì có được gọi là ma trận tam giác không?

    Like

    Posted by Huyền | 06/11/2011, 23:28
    • Em xem lại định nghĩa ma trận bậc thang nhé. Ma trận bậc thang không phụ thuộc vào việc các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hay khác 0. Vì:
      – Thứ nhất, một ma trận cấp mxn bất kỳ luôn có dạng bậc thang, chứ không cần phải ma trận vuông (ma trận có đường chéo chính)
      – Thứ hai, nếu là ma trận vuông vẫn tồn tại ma trận bậc thang mà có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0. Ví dụ:
      \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]

      Like

      Posted by 2Bo02B | 07/11/2011, 13:19
  9. Thưa thầy,cho em hỏi là chúng ta có thể dùng như mặc định rằng một ma trận vuông A lũy thừa 0 thì bằng ma trận đơn vị E ko ạ ? Và E lũy thưa n luôn = E nữa ? em xin cám ơn

    Like

    Posted by Ân | 02/10/2011, 18:28
  10. thưa thầy tại sao em ko thấy phép nhân 1 dòng với một số trong ma trận.
    Mà em thấy khi dùng biến đổi ma trận về ma trận đơn vị lại đc dùng phép tính trên???

    Like

    Posted by thiện | 09/03/2011, 16:22
    • Phép biến đổi sơ cấp là phép biến đổi đưa ma trận về một ma trận mới có tính chất tương đương với nó. Dĩ nhiên, 2 ma trận chỉ tương đương chứ không phải ma trận này bằng bao nhiêu lần ma trận kia nên nó không phải là một phép toán trên ma trận. Phép biến đổi xuất hiện dựa trên quá trình giải hệ phương trình: đổi chỗ 2 pt cho nhau, nhân 1 pt với một hằng số.
      Do đó, em cần phân biệt các phép toán trên ma trận với các phép biến đổi:
      – Phép toán: cộng trừ hai ma trận cùng cấp, nhân 2 ma trận; lũy thừa của 1 ma trận vuông, nhân ma trận với 1 hằng số….
      – Phép biến đổi: phép chuyển vị; 3 phép biến đổi sơ cấp….

      Like

      Posted by 2Bo02B | 11/03/2011, 22:58

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 026 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

An Hoa on ActivInspire – phần mềm…
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 026 other followers

%d bloggers like this: