Khái niệm về ma trận

Để lại phản hồi Go to comments

I. Các định nghĩa về ma trận:

1. Định nghĩa 1.1:

Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K – là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:

A = \left ( {\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array}} \right )

Trong đó a_{ij} \in K là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là A = (a_{ij})_{mxn} hay (A)_{mxn}

Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K được ký hiệu bởi Mm x n(K)

Ví dụ 1.1: A = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array}} \right ) là ma trận cấp 2 x 3. B = \left( {\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array}} \right ) là ma trận cấp 3 x 2.

Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: a_{ij} = i^2 - j^2 , \forall i,j = 1, ... , 4

Nhận xét:

- Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát.

- Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.

- Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K)

- Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột

- Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được gọi là đường chéo chính của A.

2. Định nghĩa 1.2: Cho A = (a_{ij}) \in M_n(K) . Khi đó:

- Nếu a_{ij} = 0 , \forall i \ne j (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo.

- Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2,…, an) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, a2, …, an

- Ma trận chéo có a_{ii} = 1 , \forall i (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1) được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: In

- Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng.

- Nếu a_{ij} = 0 , \forall i > j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên.

- Nếu a_{ij} = 0 , \forall i < j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới.

- Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác.

II. Các phép toán trên ma trận:

1. Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau):

Cho A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) .

Ta nói A = B khi và chỉ khi: a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Với A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} d & e & f \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right ) Thì A = B \leftrightarrow a = 4 , b = 5 , c = 6 , d = 1, e = 2, f = 3

Hai ma trận A = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right ) không thể bằng nhau do không cùng cấp.

2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị):

Cho A = (a_{ij}) \in M_{mxn}(K) . Ta nói:

B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) là chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu:

a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Nếu A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{array}} \right ) thì {A^T} = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{array}} \right )

3. Tính chất 2.1:

Cho A, B \in M_{mxn}(K) . Khi đó:

1. (A^T)^T = A

2. A^T = B^T \Leftrightarrow A = B

Ghi chú:

Cho A \in M_n(K) . Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu AT = – A thì ta nói A là ma trận phản xứng.

Ví dụ: A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \\ \end{array}} \right ) là ma trận đối xứng. B = \left ( {\begin{array}{ccc} 0 & 1 & {-2} \\ {-1} & 0 & 3 \\ 2 & {-3} & 0 \\ \end{array}} \right ) là ma trận phản xứng.

Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0.

4. Phép nhân một số với một ma trận:

Cho A \in M_{mxn}(K) , a \in K Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K) được xác định bởi: c_{ij} = a.a_{ij}

– Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.
5. Cộng hai ma trận:

Cho A, B \in M_{mxn}(K)

Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K) được xác định bởi: c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B.
6. Tính chất 2.2:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)

7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho:

8. Định lý 2.1:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K . Khi đó:

1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A

2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C

3.Tồn tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A

4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0

5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA

6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT + BT

Trang: 1 2

  1. diệu ái
    09.01.2009 lúc 23:05 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    cho A là ma trận vuông cấp n thỏa aij=max(i,j).tính detA

    • 2Bo02B
      10.01.2009 lúc 07:43 | #2
      Trả lời | Trích dẫn

      Với định nghĩa của ma trận, em sẽ có ma trận có dạng:
      A= \left[\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & ... & n-1 & n \\ 2 & 2 & 3 & ... & n-1 & n \\ 3 & 3 & 3 & ... & n-1 & n \\ ... & ... & ... & ... & .... & .... \\ n-1 & n-1 & n-1 & ... & n-1 & n \\ n & n & n & ... & n & n \\ \end{array} \right]
      Lần lượt thực hiện phép biến đổi sơ cấp d_{i+1} \to d_{i+1} - d_i , i = n-1,...,1 Sau đó, khai triển định thức theo cột thứ n em sẽ có định thức cấp n-1 của mà ma trận của định thức cấp n-1 này có dạng tam giác dưới. Và em sẽ có ngay kết quả là: det(A) = (-1)^{n+1}.n

    • never_back_down
      24.07.2009 lúc 05:45 | #3
      Trả lời | Trích dẫn

      giả sử A có A-1. khi đó dễ dàng tính được A-1=0. nên A không có A-1 và vì vậy det (A)=0

      • 2Bo02B
        24.07.2009 lúc 06:33 | #4
        Trả lời | Trích dẫn

        Em xem lại bai này không thể có det(A) = 0. Chỉ cần xét trường hợp n = 2, 3 là đủ kết luận nhận xét det(A) = 0 là không chính xác.

  2. Phuong
    16.01.2009 lúc 08:30 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    Cho:
    2w+x+3y-z =6
    w-x+2y-2z =-1
    w-x-y+z =-4
    -w+2x-2y-z =-7

    Làm sao giải bài này vậy Thầy? Thầy em cho mà không chỉ cách giải.
    Cám ơn Thầy

    • never_back_down
      24.07.2009 lúc 05:28 | #6
      Trả lời | Trích dẫn

      bài 1 chỉ đơn gián viết dưới dạng A*X=Y
      trong đó A là ma trận 4×4 được tạo bởi các hệ số của pt
      X là ma trận cột cần tìm
      Y là hệ số free bên fai
      và X=A-1*Y

    • Tinh
      05.09.2009 lúc 12:35 | #7
      Trả lời | Trích dẫn

      Em đưa về ma trận, rồi đưa ma trận đó về dạng tam giác dưới. Khi đó ta được ma trận, rồi viết lại ma trận tương ứng với từng nghiệm của phương trình. Đến đây ta có thể dùng phép thế giải pt. Nghiệm của pt là nghiệm của hệ trên. Chúc em thành công.

  3. Tho gia
    16.09.2009 lúc 17:42 | #8
    Trả lời | Trích dẫn

    Thầy ơi, chỉ em cách biến đổi ma trận vuông thành ma trận tam giác đi. Em học gà quá, thầy em dạy mà em chẳng hiểu j hết

  4. ngoc ha
    05.11.2009 lúc 08:55 | #10
    Trả lời | Trích dẫn

    thầy ơi cho em hỏi nếu có một bài giải phương trình: AX=B. Tìm X.
    Nếu như ma trận B và A nghịch đảo đều là ma trận vuông và bằng cấp nhau thì X=?
    vì phép nhân ma trận không có tính giao hoán ạ

  1. No trackbacks yet.