Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số x_1, x_2, x_3, ... , x_n có dạng:

\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{array} \right. (1.1)

trong đó: a_{ij} , b_i (i =\overline{1,m} ; j =\overline{1,n}) \in R (C) ; a_{ij} – hệ số (của ẩn) ; b_i – hệ số tự do.

2. Nhận xét:

Ta đặt:

A = (a_{ij})_{mxn}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{array} \right] ; X = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \ x_n \\ \end{array} \right] ; B = \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{array} \right]

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: A_{mxn}.X_{nx1} = B_{mx1}

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận: AX = B (1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận \overline{A} = [A|B] được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu b_i = 0, \forall i = \overline{1;m} . Ta có: AX = 0_{mx1}

Hay: \left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+{\ldots}+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+{\ldots}+a_{2n}x_n=0 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+{\ldots}+a_{mn}x_n=0 \\ \end{array} \right. (1.3)

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solution –x_1=x_2={\ldots}=x_n=0 ) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Ví dụ: Hai hệ phương trình \left\{\begin{array}{c} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 1 \\ \end{array} \right. và \left\{\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - 2x_2 = 1 \\ 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ \end{array} \right. là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là: x_1 = 1 ; x_2 = 0

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho A \in M_n(K) , B_{nx1} \in M_{nx1}(K) thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu detA \ne 0 )

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có detA \ne 0 nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo A^{-1} . Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho A^{-1} ta có:

A^{-1}.(AX) = A^{-1}.B \Leftrightarrow (A^{-1}.A).X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B (1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

x_j = \dfrac{D_j}{D} ; j =\overline{1;n} (1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do j = \overline{1;n}

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo: A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}P_A (trong đó P_A là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

AX = B \Leftrightarrow A^{-1}.A.X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B = \dfrac{1}{det(A)}.P_A.B = \dfrac{1}{D}.P_A.B (*)

Bây giờ, ta xét: P_A.B . Ta có:

P_A.B = \left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & {\ldots} & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & {\ldots} & A_{n2} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right] (**)

Từ (*) , (**) ta có:

\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{1}{D} \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right]

Hay: x_j = \dfrac{1}{D} \left(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} \right) ; \forall j = \overline{1;n}

Ta đặt: D_j = b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} (***)

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

D = a_{1j}.A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \ldots +a_{nj}.A_{nj} ; \forall j = \overline{1;n} (****)

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

– Nếu D \ne 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.

– Nếu D = 0 và tồn tại D_j \ne 0 thì hệ chắc chắn vô nghiệm.

– Nếu D = D_j = 0 ; \forall j =\overline{1;n} thì x_j có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

Trang: 1 2

Thảo luận

25 bình luận về “Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)”

  1. giup e voi ạ, bien luan so nghiem.cua he pt
    x1+x2-ax3=2
    2×1-x2+4ax3=1
    3×1+x2+2×3=b

    Thích

    Posted by huong | 31/10/2014, 10:37
    Reply to this comment

  2. em có hai bài này, mà không biết làm như thế nào, mong thầy và các bạn giúp đỡ hướng giải ạ:
    1. y’ = ( y+2)^1/3
    2. y” – 2y’ + 2y = x+1+sinx

    Đã thích bởi 1 người

    Posted by viet_vu | 23/06/2014, 00:57
    Reply to this comment

  3. Toi chưa hai long ve câu tra loi tren cho lam.t chi muon biet ma trân phụ hợp là gi chư không phai la nhưng khai niem ơ trên

    Thích

    Posted by Luu minh | 27/12/2011, 21:11
    Reply to this comment

  4. em chào thầy . Em hỏi là sao lại nhân cả 2 vế với A mũ -1 được ạ ? em học không có dạy thế .

    Thích

    Posted by hamchoi | 18/12/2011, 14:10
    Reply to this comment

  5. thầy àh.thầy có thể nói thật rõ cho em hiểu về ứng hệ phương trình tuyến tính để giải ma trận nghịch đảo được không ah! và cho em một số ví dụ để em hiểu nhé thầy.mong thầy trả lời em sớm.vì em đang nghiên cứu mà mãi chưa hiểu

    Thích

    Posted by lancute nguyên | 18/12/2011, 09:10
    Reply to this comment

  6. Thầy hướng dẫn dùm em về phần phương pháp Gauss – Jordan với ạ ?

    Thích

    Posted by Thắng | 15/12/2011, 21:47
    Reply to this comment

  7. + Da em chao thay a.!! thay giai guim bai nay cho em voi a!! em giai may cung khong ra a!! em cam on thay nhieu!!!
    —-bien luan theo a so nghiem cua he pt sau:
    aX+Y+Z=a
    X+(a+1)Y +Z=a+1
    X+y+(a+2)Z=a+2..
    thay thong cam nhe!! phong chu bi loi nen em viet khong co dau…
    mong thay tra loi som cho em voi a?? chuc thay luon khoe!!!!

    Thích

    Posted by nho | 04/10/2011, 22:00
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…