Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

Để lại phản hồi Go to comments

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số x_1, x_2, x_3, ... , x_n có dạng:

\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{array} \right. (1.1)

trong đó: a_{ij} , b_i (i =\overline{1,m} ; j =\overline{1,n}) \in R (C) ; a_{ij} – hệ số (của ẩn) ; b_i – hệ số tự do.

2. Nhận xét:

Ta đặt:

A = (a_{ij})_{mxn}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{array} \right] ; X = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \ x_n \\ \end{array} \right] ; B = \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{array} \right]

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: A_{mxn}.X_{nx1} = B_{mx1}

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận: AX = B (1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận \overline{A} = [A|B] được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu b_i = 0, \forall i = \overline{1;m} . Ta có: AX = 0_{mx1}

Hay: \left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+{\ldots}+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+{\ldots}+a_{2n}x_n=0 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+{\ldots}+a_{mn}x_n=0 \\ \end{array} \right. (1.3)

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường x_1=x_2={\ldots}=x_n=0 ) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Ví dụ: Hai hệ phương trình \left\{\begin{array}{c} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 1 \\ \end{array} \right. và \left\{\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - 2x_2 = 1 \\ 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ \end{array} \right. là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là: x_1 = 1 ; x_2 = 0

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho A \in M_n(K) , B_{nx1} \in M_{nx1}(K) thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu detA \ne 0 )

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có detA \ne 0 nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo A^{-1} . Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho A^{-1} ta có:

A^{-1}.(AX) = A^{-1}.B \Leftrightarrow (A^{-1}.A).X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B (1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

x_j = \dfrac{D_j}{D} ; j =\overline{1;n} (1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do j = \overline{1;n}

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo: A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}P_A (trong đó P_A là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

AX = B \Leftrightarrow A^{-1}.A.X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B = \dfrac{1}{det(A)}.P_A.B = \dfrac{1}{D}.P_A.B (*)

Bây giờ, ta xét: P_A.B . Ta có:

P_A.B = \left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & {\ldots} & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & {\ldots} & A_{n2} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right] (**)

Từ (*) , (**) ta có:

\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{1}{D} \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right]

Hay: x_j = \dfrac{1}{D} \left(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} \right) ; \forall j = \overline{1;n}

Ta đặt: D_j = b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} (***)

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

D = a_{1j}.A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \ldots +a_{nj}.A_{nj} ; \forall j = \overline{1;n} (****)

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

- Nếu D \ne 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.

- Nếu D = 0 và tồn tại D_j \ne 0 thì hệ chắc chắn vô nghiệm.

- Nếu D = D_j = 0 ; \forall j =\overline{1;n} thì x_j có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

4. Các ví dụ:

1. Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c} x - 2y + z = 0 \\ -2x + 3y + z = 3 \\ 3x + y - 4z = -7 \\ \end{array} \right.

Ta có:

A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ \end{array} \right] ; B = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -7 \\ \end{array} \right]

Khi đó:

D = \left|\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ \end{array} \right| = -14 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

Cách 1: Dùng thuật toán Cramer

Ta lại có:

D_x = \left|\begin{array}{rrr} 0&-2&1 \\ 3 &3&1 \\ -7 &1&-4 \\ \end{array} \right| = 14; D_y = \left|\begin{array}{rrr} 1 &0&1 \\ -2&3&1 \\ 3&-7&-4 \\ \end{array} \right| = 0; D_z = \left|\begin{array}{rrr} 1&-2&0 \\ -2&3&3 \\ 3&1&-7 \\ \end{array} \right| = -14

Nên: x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{14}{-14} = -1 ; y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{0}{-14} = 0 ; z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{-14}{-14} = 1

Cách 2: Dùng ma trận nghịch đảo:

Ta có: A^{-1} = \left[\begin{array}{rrr} \dfrac{13}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{5}{14} \\ \dfrac{5}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{14} \\ \dfrac{11}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{14} \\ \end{array} \right]

Vậy:

X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{rrr} \dfrac{13}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{5}{14} \\ \dfrac{5}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{14} \\ \dfrac{11}{14} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{14} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ - 7 \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]

2. Giải hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c} x + y + 2z = 0 \\ x + y + 2z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \\ \end{array} \right.

Dễ dàng nhận thấy hệ phương trình trên vô nghiệm. Tuy vậy, trong trường hợp này D = D_x = D_y = D_z = 0 . Thật vậy, ta có:

D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = 0 ; D_x = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = 0

D_y = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| = 0 ; D_z = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = 0

  1. Trần Công Tuấn
    14.10.2009 lúc 06:15 | #1
    Trả lời | Trích dẫn

    Xin hỏi còn phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến thì như thế nào? Có thể hướng dẫn cho tôi được không?

  2. thu
    14.10.2009 lúc 16:30 | #2
    Trả lời | Trích dẫn

    tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

    • 2Bo02B
      14.10.2009 lúc 20:41 | #3
      Trả lời | Trích dẫn

      Nếu ma trận của hpt là ma trận vuông thì thì hệ có nghiệm duy nhất khi detA khác không, nếu A là ma trận bất kỳ thì hệ có nghiệm duy nhất khi hạng của A bằng đúng số ẩn của hpt.

  3. dung
    18.10.2009 lúc 08:46 | #4
    Trả lời | Trích dẫn

    tôi muốn có thêm nhiều ví dụ hơn nữa! thanks nhiều

  4. MM
    07.11.2009 lúc 09:13 | #5
    Trả lời | Trích dẫn

    Em hỏi.
    em hiểu thế này ạ ko biết đúng ko:
    Hệ n phương trình n ẩn số. A.x =b
    là 1 hệ vuông :
    Nếu số hạng tự do = 0 hết là hệ thuần nhất .
    Nếu có dạng tam giác còn gọi là hệ tam giác.
    nếu det(A) # 0 thì là hệ cramer. TRong Th hệ cramer có b= o hết thì cũng gọi là hệ thuần nhất phải ko ạ. Nó đan xen nhau kinh quá>>????????????

  1. No trackbacks yet.