Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số x_1, x_2, x_3, ... , x_n có dạng:

\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{array} \right. (1.1)

trong đó: a_{ij} , b_i (i =\overline{1,m} ; j =\overline{1,n}) \in R (C) ; a_{ij} – hệ số (của ẩn) ; b_i – hệ số tự do.

2. Nhận xét:

Ta đặt:

A = (a_{ij})_{mxn}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{array} \right] ; X = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \ x_n \\ \end{array} \right] ; B = \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{array} \right]

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: A_{mxn}.X_{nx1} = B_{mx1}

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận: AX = B (1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận \overline{A} = [A|B] được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu b_i = 0, \forall i = \overline{1;m} . Ta có: AX = 0_{mx1}

Hay: \left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+{\ldots}+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+{\ldots}+a_{2n}x_n=0 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+{\ldots}+a_{mn}x_n=0 \\ \end{array} \right. (1.3)

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solution -x_1=x_2={\ldots}=x_n=0 ) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Ví dụ: Hai hệ phương trình \left\{\begin{array}{c} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 1 \\ \end{array} \right. \left\{\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - 2x_2 = 1 \\ 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ \end{array} \right. là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là: x_1 = 1 ; x_2 = 0

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho A \in M_n(K) , B_{nx1} \in M_{nx1}(K) thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu detA \ne 0 )

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có detA \ne 0 nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo A^{-1} . Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho A^{-1} ta có:

A^{-1}.(AX) = A^{-1}.B \Leftrightarrow (A^{-1}.A).X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B (1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

x_j = \dfrac{D_j}{D} ; j =\overline{1;n} (1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do j = \overline{1;n}

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo: A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}P_A (trong đó P_A là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

AX = B \Leftrightarrow A^{-1}.A.X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B = \dfrac{1}{det(A)}.P_A.B = \dfrac{1}{D}.P_A.B (*)

Bây giờ, ta xét: P_A.B . Ta có:

P_A.B = \left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & {\ldots} & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & {\ldots} & A_{n2} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right] (**)

Từ (*) , (**) ta có:

\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{1}{D} \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right]

Hay: x_j = \dfrac{1}{D} \left(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} \right) ; \forall j = \overline{1;n}

Ta đặt: D_j = b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} (***)

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

D = a_{1j}.A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \ldots +a_{nj}.A_{nj} ; \forall j = \overline{1;n} (****)

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

- Nếu D \ne 0  thì hệ có nghiệm duy nhất.

- Nếu D = 0  và tồn tại D_j \ne 0  thì hệ chắc chắn vô nghiệm.

- Nếu D = D_j = 0 ; \forall j =\overline{1;n} thì x_j có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

Thảo luận

22 thoughts on “Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

  1. Toi chưa hai long ve câu tra loi tren cho lam.t chi muon biet ma trân phụ hợp là gi chư không phai la nhưng khai niem ơ trên

    Like

    Posted by Luu minh | 27/12/2011, 21:11
  2. em chào thầy . Em hỏi là sao lại nhân cả 2 vế với A mũ -1 được ạ ? em học không có dạy thế .

    Like

    Posted by hamchoi | 18/12/2011, 14:10
  3. thầy àh.thầy có thể nói thật rõ cho em hiểu về ứng hệ phương trình tuyến tính để giải ma trận nghịch đảo được không ah! và cho em một số ví dụ để em hiểu nhé thầy.mong thầy trả lời em sớm.vì em đang nghiên cứu mà mãi chưa hiểu

    Like

    Posted by lancute nguyên | 18/12/2011, 09:10
  4. Thầy hướng dẫn dùm em về phần phương pháp Gauss – Jordan với ạ ?

    Like

    Posted by Thắng | 15/12/2011, 21:47
  5. + Da em chao thay a.!! thay giai guim bai nay cho em voi a!! em giai may cung khong ra a!! em cam on thay nhieu!!!
    —-bien luan theo a so nghiem cua he pt sau:
    aX+Y+Z=a
    X+(a+1)Y +Z=a+1
    X+y+(a+2)Z=a+2..
    thay thong cam nhe!! phong chu bi loi nen em viet khong co dau…
    mong thay tra loi som cho em voi a?? chuc thay luon khoe!!!!

    Like

    Posted by nho | 04/10/2011, 22:00

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 004 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 004 other followers

%d bloggers like this: