Bài giảng, Toán học

Mẹo tính nhanh tích phân từng phần

Trong chuyên mục hôm nay, chúng tôi xin giới thiệu một thuật toán (“mẹo”) , “chiêu”) nhằm giúp tính nhanh các tích phân có dạng tích phân từng phần.

Trước tiên, ta nhắc lại một chút về kiến thức của phép lấy tích phân theo từng phần:

Giả sử u và v là hai hàm số khả vi của x. Khi đó, như ta đã biết, vi phân của tích uv được tính theo công thức:

d(uv) = udv + vdu

Từ đó, lấy tích phân ta được:

uv = \int {udv} +  \int {vdu}

Hay là:

\int {udv} = uv -  \int {vdu} (1)

Công thức này gọi là công thứclấy tích phân từng phần. Công thức này thường được dùng để lấy tích phân các bểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai nhân tử u và dv, sao cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv của nó và việc tính tích phân \int {vdu} là những bài toán đơn giản hơn so với việc tính trực tếp tích phân \int {udv} . Ý nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số u và dv thường xảy ra trong quá trình giải các bài toán có dạng sau:

\int {P_{n}(x).sinaxdx} , \int {P_{n}(x).cosaxdx} , \int {P_{n}(x).e^{ax}dx} , \int {P_{n}(x).lnxdx}

trong đó Pn là đa thức bậc n.

Với các dạng trên, thì thông thường vai trò của u luôn là đa thức Pn , và dv là phần còn lại. Như vậy, ta có sơ đồ sau:

tptp.gif

Khi được tích phân mới, ta lại được một tích phân lại là một trong các dạng, và phần đa thức mới lại đóng vai trò là u, còn phần còn lại tiếp tục đóng vai trò là v…. Cứ thế cho đến khi bậc của đa thức là bậc 0 thì sẽ có kết quả. Như vậy, các đa thức luôn đóng vai trò u (nghĩa là lấy đạo hàm), còn phần cò lại luôn là dv (lấy tích phân), nên ta sẽ xây dựng thật toán gồm 2 cột: 1 cột chuyên lấy đạo hàm của đa thức cho đến khi giá trị bằng ; 1 cột luôn lấy tích phân tương ứng với cột kia. Sau đó, ghép các giá trị uv lại ta sẽ có kết quả. Hay ta có sơ đồ sau:

tptp1.gif

Ví dụ: Cần tính \int {(x^2 + 7x - 5).cos2x dx}

Ta lập sơ đồ như sau:

tptp2.gif

Khi đó, kết quả của tích phân này sẽ là:

(x^2+7x-5) { \frac{sin2x}{2}}+(2x+7) { \frac{cos2x}{4}} - { \frac{sin2x}{4}}

Ví dụ 2: Cần tính: \int {(x^3 + 4x^2 - 5x + 6).e^{-x} dx}

Ta có sơ đồ sau:

tptp3.gif

Vậy, dựa vào sơ đồ trên, ta có kết quả của bài toán là:

- {(x^3+4x^2-5x+6)e^{-x} }-{(3x^2+8x-5)e^{-x}}-{(6x+8)e^{-x}}-6e^{-x}

Hay:

- (x^3 + 7x^2 + 9x + 15)e^{-x}

Tóm lại, qua sơ đồ thuật toán và 2 ví dụ vừa trình bày, chúng tôi hy vọng đã cung cấp cho các bạn một chiêu giúp chúng ta tính kết quả của các tích phân từng phần một cách nhanh chóng, và hiệu quả mà không cần phải đặt u, v lòng vòng như sách giáo khoa đã trình bày.

About these ads

About Nguyen Vu Thu Nhan

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

49 thoughts on “Mẹo tính nhanh tích phân từng phần

  1. Thầy ơi!…em có thể áp dụng phương pháp này vào bài thi được không?

    Like

    Posted by Ho Vinh Hy | 07/01/2013, 03:11
  2. thầy giúp em tính tích phân này với ạ: x.ln[x+sqrt(x^2+1)]/sqrt(x^2+1)

    Like

    Posted by Lực | 09/02/2012, 15:51
  3. thầy ơi nếu thi đại học có được áp dụng cách này không ạ. em thấy cách này dễ hiểu và dễ làm

    Like

    Posted by Vĩnh Tiến | 05/02/2012, 10:11
  4. Thay oi neu’ em ap’ dung cach cua thay` de giai nhung bai thi dai hoc thi cac giam khao co cham diem cho cach lam cua em khong ?

    Like

    Posted by Ta^m | 07/01/2012, 19:19
  5. thầy có thể giúp em tính tích phân này được không ạ?
    tích phân của x. sinx. e^(x^2/2)
    em cảm ơn thầy!

    Like

    Posted by Lê Quang Minh | 18/08/2011, 16:50
  6. Thầy cho em hỏi dấu ở những ví dụ trên tính như nào .Lúc cộng lúc trừ Thầy có thể nói rõ hơn được không.Cám ơn Thầy

    Like

    Posted by tuanlinh | 05/07/2011, 21:37
  7. Tính hộ em tích phân của:
    \int \dfrac{dx}{\left(x^3+1\right){\sqrt{x^3+1}}}

    Like

    Posted by hanh | 01/06/2011, 05:12
  8. Thưa thầy. Nếu tính tích phân có giới hạn thì có áp dụng được cách trên ko thầy. VD: như tính tích phân của 2xlnx.dx trong đoạn từ 1 đến 3. Mong thầy giải đáp giúp em.

    Like

    Posted by Nguyen Do Tung | 24/04/2011, 19:05
  9. Thưa thầy, nếu em làm bài tích phân từng phần sau khi biến đổi để có được dạng tích phân của udv và áp dụng trực tiếp công thức (1) (không đặt u và v) thì có được không ạ?
    Em cám mơn thầy.

    Like

    Posted by ngoclan | 25/02/2011, 09:56
    • Việc đặt u, v là để mình dễ dàng nhận diện dạng công thức tích phân từng phần. Cách này thường áp dụng đv phổ thông để HS dễ nhận diện. Tuy nhiên, nếu đã quen, em cũng có thể biến đổi trực tiếp.
      Ví dụ: \int x.cosx.dx = \int x.d(sinx) = xsinx - \int sinx.dx
      Cái này cũng tương tự như trường hợp đổi biến. Em có thể đổi biến hoặc biến đổi trực tiếp.
      Ví dụ: \int \dfrac{xdx}{1+x^4} = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{d(x^2)}{1+(x^2)^2} = \dfrac{1}{2} arctan(x^2) + C

      Like

      Posted by 2Bo02B | 25/02/2011, 21:18
  10. em chào thầy,
    dạ thưa thầy em có 1 bài toán mong thầy giải giúp e
    tính tích phân (3x.e^lnx)

    Like

    Posted by nguyen van tung | 21/02/2011, 10:29
  11. Em không hiểu từ sơ đồ… sao mà ra đc kết quả cuối cùng

    Like

    Posted by duythao | 16/02/2011, 21:44
  12. thay oi cai quy tac ve dau + – cua thay co the noi ro hon dk ko

    Like

    Posted by hoang buon ho | 11/02/2011, 11:29

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 989 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 989 other followers

%d bloggers like this: