Toán học

Dãy số Fibonacci – những điều bí ẩn và lý thú…

Leonardo Fibonacci

(1170 – 1240)

Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo Fibonacci công bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận. Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó.

Vậy dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào?

Ban đầu, ông Fibonacci xét bài toán sau:

Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới. Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?

Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …

Trong đó: các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó. Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp bạn sẽ được một dãy số tương tự.

Vậy dãy số Fibonacci này có gì đặc biệt? Này nhé:

1. Điều đặc biệt đầu tiên:

Gọi An là số hạng thứ n trong dãy số, ta có:

An x An+1 = An-1 x An+2 ± 1

An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2

An x An+1 = An-3 x An+4 ± 6

An x An+1 = An-4 x An+5 ± 15

Chúng ta hãy thử lại đẳng thức đầu tiên bằng cách chọn một số An bất kỳ (An là số ở vị trí thứ n của chuỗi), chẳng hạn 34. Ở đây, An = 34 (n = 9), An+1 = 55 , An-1 = 21 , An+2 = 89 . Ta có: 34 x 55 = 21 x 89 + 1. Các đẳng thức này được áp dụng trong toàn dãy số.

Lấy một cặp số bất kỳ khác, chẳng hạn 3 x 5 = (2 x 8 ) – 1.

Nếu lấy thêm các ví dụ khác nữa, bạn sẽ nhận ra rằng nếu n là số chẵn ta cộng 1. Nếu n là số lẻ ta trừ đi 1.

Bây giờ, ta xem xét đẳng thức thứ hai:

An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2

Chọn An = 8, do đó 8 x 13 = 3 x 34 + 2. Tiếp theo chọn An = 34, ta có 34 x 55 = 13 x 144 – 2. Cũng tương tự như trên ta trong trường hợp An= 8 thì n =6 (chẵn) nên cộng 2, còn An = 34 thì n = 9 (lẻ), do đó trừ đi 2.

Những đẳng thức còn lại có thể kiểm chứng dễ dàng theo cách tương tự. Chú ý rằng, trong những số trên, những con số mà chúng ta thêm hay bớt theo thứ tự là:

±1 ±2 ±6 ±15 ±40 ±104 …

Hiệu số giữa những số này sẽ là:

1 4 9 25 64 …

Hay:

12 22 32 52 82

Đây lại là một điều thú vị nữa, bởi từ kết quả trên ta thấy hiệu của những con số được thêm vào (hay bớt đi) ở các đẳng thức trên không gì khác hơn là bình phương của các số hạng của dãy Fibonacci.

2. Điều bất ngờ kế tiếp:

Chúng ta tiếp tục xét và thử lại các đẵng thức sau:

A_{n-1} x A_{n+1} = A_{n}^{2} \pm 1^{2} (A_{1}^{2})

A_{n-2} x A_{n+2} =  A_{n}^{2} \pm 1^{2} (A_{2}^{2})

A_{n-3} x A_{n+3} =  A_{n}^{2} \pm 2^{2} (A_{3}^{2})

A_{n-4} x A_{n+4} =  A_{n}^{2} \pm 3^{2} (A_{4}^{2})

A_{n-5} x A_{n+5} =  A_{n}^{2} \pm 5^{2} (A_{5}^{2})

3. Sự ngạc nhiên đến từ cách nhìn khác:

Bây giờ, nếu bạn đem nhân đôi một số hạng bất kỳ rồi trừ đi số hạng kế tiếp nó thì kết quả sẽ bằng số hạng đứng trước nó 2 vị trí:

2.A_{n} - A_{n+1} =  A_{n-2}

Này nhé: với A5 = 5: 2 x 5 – 8 = 2 = A3

4. Điều thú vị có tên bình phương:

Bây giờ từ dãy Fibonacci ta tạo một dãy mới bằng cách đem bình phương các số hạng có trong dãy đó.

Với dãy Fibonacci:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …

Ta có dãy số mới là:

1 1 4 9 25 64 169 441 1156 3025 7921 20736 54289 … (*)

Bây giờ, cộng mỗi cặp số liên tiếp trong dãy số mới. Ta có:

2 5 13 34 89 233 610 1597 …

dãy số sau cùng này chính là các số có mặt trong dãy Fibonacci ở các vị trí lẻ.

Tiếp theo, cũng từ dãy số bình phương (*), ta lấy hiệu của hai số cách nhau 1 số ở giữa, ta tiếp tục có:

3 8 21 55 144 377 987 …

đây cũng chính là những số có mặt trong dãy Fibonacci ở vị trí chẵn.

fibonacci.jpg

5. Ma thuật đến từ trò chơi tính nhẩm:

Nếu bạn biết được điều thú vị sau đây của dãy Fibonacci thì bạn sẽ luôn luôn thắng trong mọi cuộc đố vui tính nhẩm liên quan đến dãy số này. Và, vì thế, trò chơi này thường được gọi tên là tính nhẩm Fibonacci.

Viết dãy Fibonacci (F) theo dạng cột, và gạch dưới 1 số bất kỳ trong cột này. Tổng của các số nằm ở phía trên đường kẻ luôn luôn bằng số hạng thứ 2 sau đường kẻ trừ đi 1.

Giả sử bạn gạch dưới số 21. thì tổng các số phía trên đường kẻ là : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54 . Còn số hạng đứng dưới đường kẻ 2 vị trí là 55.

Hay bạn gạch dưới số 233 thì chắc chắn tồng các chữ số từ số ở vị trí đầu tiên đến số 233 sẽ phải bằng 610 – 1 = 609.

Do vậy, trò chơi này chắc chắn sẽ làm ngơ ngẩn những ai không quen thuộc với dãy số Fibonacci. Các con số ở đây dường như được chọn ngẫu nhiên, nhưng bí mật của trò ảo thuật nằm ở chỗ đáp số luôn luôn bằng số thứ hai sau nó trừ đi 1.

6. Định lý Pitagore trong dãy Fibonacci (F):

Bây giờ, nếu ta ký hiệu 4 số liên tiếp trong dãy F là a, b, c, d và gọi n là vị trí của a trong dãy số thì ta luôn có công thức tuyệt đẹp liên quan đến định lý Pitagore nổi tiếng. Đó là:

(2bc)^{2} + (ad)^{2} = (A_{2n+3})^{2}

Hay ta luôn có:

(2.A_{n+1}.A{n+2})^{2} + (A_{n}.A_{n+3})^{2} = A_{2n+3}^{2}

Đây là một phương trình rất đặc biệt, được khám phá bởi Tiến sĩ Jekuthiel Ginsburg.

Chúng ta thử kiểm chứng lại kết quả này nhé. Ví dụ ta chọn dãy 4 số liên tiếp là 5 8 13 21. Ở đây n = 5. Ta có: (2.8.13)^{2} + (5.21)^{2} = 54289 = 233^{2} . Rõ ràng, số 233 chính là số ở vị trí 2.5 + 3 = 13 trong dãy (F).

Bạn có thể kiểm chứng lại kết quả này bằng 1 dãy 4 số liên tiếp bất kỳ trong dãy (F).

Vậy là luôn luôn có những tam giác vuông ới độ dài các cạnh được tạo nên từ các số có mặt trong dãy (F).

7. Lại một điều thú vị được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg:

TS Jekuthiel Ginsburg khi nghiên cứu về dãy (F) ông đã tìm ra một điều hết sức đặc biệt. Số 89 ở vị trí thứ 11 của dãy (F) là 1 con số vô cùng quan trọng. Bởi lẽ, Số nghịch đảo của nó bằng tổng tất cả các số trong dãy (F). Điều này không thể giải thích nổi và nó được viết ra như sau:

fibonacci-1.jpg

8. Lại một điều kỳ thú của dãy (F) được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg:

Ông cho biết:

Trong 3 số liên tiếp của dãy (F) A_{n}, A_{n+1}, A_{n+2} thì tổng lập phương của 2 số lớn trừ đi lập phương của số nhỏ nhất luôn luôn là 1 số trong dãy (F).

Ta thử kiểm chứng với 3 số liên tiếp bất kỳ. Giả sử: 5 8 13

13^3 + 8^3 - 5^3 = 2197 + 512 - 125 = 2584

Ồ ! 2584 chính là số ở vị trí thứ 18 trong dãy Fibonacci. Ngạc nhiên chưa!!!

9. Dãy Fibonacci chứa đựng tỷ số vàng:

Bạn đã bao giờ nghe đến “tỷ số vàng” chưa? Đó là con số tỷ lệ \frac{1+{\sqrt{5}}}{2} . Tỷ lệ này có được từ một hình chữ nhật có tính chất đặc biệt với độ thẩm mỹ rất thú vị. “Hình chữ nhật với chiều rộng là 1, chiều dài là x. Khi lấy đi một hình vuông có cạnh bằng 1 thì hình chữ nhật còn lại sẽ có các tỷ lệ như nhau so với hình chữ nhật ban đầu”.

Vì hình chữ nhật mới có chiều rộng là x – 1 và chiều dài là 1 nên sự tương đương các tỷ lệ có nghĩa là:

{ \frac{x}{1}} = { \frac{1}{x-1}}

Từ đó, ta có được “tỷ số vàng” \frac{1+{\sqrt{5}}}{2} \approx 1,618033989 . Hiện nay, Tỷ lệ nàyđược sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng và mỹ thuật.

Trở lại với dãy số Fibonacci. Thật kỳ lạ khi thấy rằng tỷ số này có mặt suốt trong dãy. Thật vậy, khi nhân lần lượt các số trong dãy với tỷ số vàng , bạn sẽ tiến càng lúc càng chính xác đến giá trị của số kế tiếp.

Này nhé:

 

1 x 1.618033989… = 1.618033989 = 2 – 0.381966011

2 x 1.618033989… = 3.236067977 = 3 + 0.236067977

3 x 1.618033989… = 4.854101966 = 5 – 0.145898033

5 x 1.618033989… = 8.090169944 = 8 + 0.090169944

8 x 1.618033989… = 12.94427191 = 13 – 0.05572809

13 x 1.618033989… = 21.03444185 = 21 + 0.03444185

21 x 1.618033989… = 33.97871376 = 34 – 0.021286236

34 x 1.618033989… = 55.01315562 = 55 + 0.01315562

55 x 1.618033989… = 88.99186938 = 89 – 0.008130619

89 x 1.618033989… = 144.005025 = 144 + 0.005025

144 x 1.618033989… = 232.9968944 = 233 – 0.003105622

233 x 1.618033989… = 377.0019194 = 377 + 0.0019194

377 x 1.618033989… = 609.9988138 = 610 – 0.001186246

610 x 1.618033989… = 987.0007331 = 987 + 0.0007331

987 x 1.618033989… = 1596.999547 = 1597 – 0.00045312

987 x 1.618033989… = 1596.999547 = 1597 – 0.00045312

1597 x 1.618033989… = 2584.00028 = 2584 + 0.00028

…………………………………

 

About these ads

About Nguyen Vu Thu Nhan

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

4 thoughts on “Dãy số Fibonacci – những điều bí ẩn và lý thú…

  1. Trong khi tìm sự liên hệ giữa dãy Fibonacci với số pi mình đã tình cờ phát hiện được 1 điều. Tổng (của số thứ n và số thứ n+4) chia cho hiệu (của số thứ n+3 vs số thứ n+1) luôn bằng 3. Mình khá vui.

    Like

    Posted by Nothing_95 | 27/12/2011, 17:44
  2. Bạn có thể tham khảo thêm tại địa chỉ: http://vi.wikipedia.org/wiki/D%C3%A3y_Fibonacci

    Like

    Posted by 2Bo02B | 17/10/2008, 07:53
  3. còn tính chất nào của dãy này ko chỉ cho em biết với,dãy này rất nhiều tính chất ,mà em yhì biết rất ít

    Like

    Posted by phoenix | 11/10/2008, 11:33
  4. Chuyên mục hay nhưng các kí hiệu trong phương tr2inh không thể hiểu nỗi.

    Like

    Posted by Huy | 16/04/2008, 21:42

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 985 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 985 other followers

%d bloggers like this: