Bài giảng, Toán học

Ứng dụng số phức, giải phương trình bậc ba

Xét phương trình bậc ba:

x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 \qquad (1)

Ta đặt: y = x + { \frac{a}{3}} \Rightarrow x = y - { \frac{a}{3}}

(1) \Leftrightarrow {(y - { \frac{a}{3}})}^{3} + a.{(y - { \frac{a}{3}})}^{2} + b.{(y - { \frac{a}{3}})} + c = 0

\Leftrightarrow {y}^{3} + y.(b - { \frac{a^{2}}{3}}) + { \frac{2.a^{3}}{27}} - { \frac{ab}{3}} + c = 0

\Leftrightarrow {y}^{3} + py + q = 0 \qquad (2) , với p = b - { \frac{a^{2}}{3}} , q = { \frac{2.a^{3}}{27}} - { \frac{ab}{3}} + c

Như vậy, bằng cách đặt như trên, ta đưa phương trình (1) về phương trình (2) khuyết thành phần bình phương.

Ta xây dựng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình (2).

Đặt y = u + v \qquad (3)

(2) \Leftrightarrow {(u+v)}^{3} + p(u+v) + q = 0

\Leftrightarrow {u}^{3} + 3.{u}^{2}.v + 3.u.{v}^{2} + {v}{3} + p(u+v) + q = 0

\Leftrightarrow {u}^{3} + {v}^{3} + (u+v).(3uv + p) + q = 0

Ta tìm u, v sao cho:

\left \{ \begin{array}{c} {3uv + p = 0} \\{u^{3} + v^{3} = - q} \end{array} \right.   \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{c} {u^{3}.v^{3} = - { \frac{p^{3}}{27}}} \\{u^{3} + v^{3} = - q} \end{array} \right. (4)

 Từ phương trình (4) ta có: u^{3} , v^{3} là nghiệm của phương trình:

t^{2} + qt - { \frac{p^{3}}{27}} = 0

Trường hợp 1:  \Delta \ge 0.Ta có:

u^{3} = - { \frac{q}{2}} + \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}} , v^{3} = - { \frac{q}{2}} - \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}

Trường hợp 2:  \Delta < 0.Ta có:

v^{3} = - { \frac{q}{2}} + i \sqrt{- { \frac{q^{2}}{4}} - { \frac{p^{3}}{27}}} , v^{3} = - { \frac{q}{2}} - i \sqrt{- { \frac{q^{2}}{4}} - { \frac{p^{3}}{27}}} (5)

Ta xét trường hợp 1 (trường hợp 2 xét tương tự) Khi đó có 3 giá trị u và 3 giá trị v thỏa mãn phương trình (5):

\left \{ \begin{array}{l} {u_{1} = \sqrt[3]{ - { \frac{q}{2}} + \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}} = A} \\ \\{u_{2} = A. (- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \\ \\{u_{3} = A. (- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \end{array} \right. , \left \{ \begin{array}{l} {v_{1} = \sqrt[3]{ - { \frac{q}{2}} - \sqrt{{ \frac{q^{2}}{4}} + { \frac{p^{3}}{27}}}} = B} \\ \\{v_{2} = B. (- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \\ \\{v_{3} = B. (- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}} )} \end{array} \right. (6)

 Ta chọn u,v thỏa mãn phương trình (4). Lần lượt thế các cặp giá trị (u, v) vào phương trình (4), ta nhận thấy chỉ có 3 cặp giá trị thỏa mãn. Đó là: (u_{1},v_{1}) , (u_{2},v_{3}) , (u_{3},v_{2})

 Thế 3 cặp (u, v) ở trên vào biểu thức (3) ta có 3 giá trị y tương ứng và đó là nghiệm của phương trình (2).

\left \{ \begin{array}{l} {y_{1} = u_{1} + v_{1}} \\{y_{2} = u_{2} + v_{3} = u_{1}. {(- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})} + v_{1}. {(- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})}} \\{y_{3} = u_{3} + v_{2} = u_{1}. {(- { \frac{1}{2}} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})} + v_{1}. {(- { \frac{1}{2}} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}})}} \end{array}\right.

Hay:

\left \{ \begin{array}{l} {y_{1} = u_{1} + v_{1}} \\{y_{2} = {- { \frac{1}{2}} .{(u_{1} + v_{1})} + i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}}}}.{(u_{1} - v_{1})} \\{y_{3} = {- { \frac{1}{2}} .{(u_{1} + v_{1})} - i.{ \frac{\sqrt{3}}{2}}}}.{(u_{1} - v_{1})} \end{array}\right. (*)

Vậy phương trình (2) được giải nhờ công thức (*) với u_{1} , v_{1} được xác định từ công thức (7).

Do đó, thế x = y - { \frac{a}{3}} ta có được công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1).

About these ads

About Nguyen Vu Thu Nhan

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

7 thoughts on “Ứng dụng số phức, giải phương trình bậc ba

  1. Thầy ơi, cho e hỏi, tới chỗ u^3 + v^3 + (3uv + p)(u+v) + q = 0
    Làm sao biết u, v có tính chất 3uv + p = 0 vậy?
    Cảm ơn thầy nhìu

    Like

    Posted by huy | 27/09/2011, 07:50
  2. “Còn phương pháp 2 (Việt nam giải): đây chỉ là 1 kết quả được tính toán và suy ra từ kết quả của công thức trên. Tuy nhiên , kết quả này chỉ đưa ra công thức tính nghiệm thực mà thôi. Nếu phương trình bậc 3, chỉ còn 1 nghiệm thực thì phải có 2 nghiệm phức. Vậy tìm 2 nghiệm phức thế nào. Bạn sẽ có câu trả lời đầy đủ khi xem giáo trình Đại số đại cương hoặc Số học của sinh viên chuyên ngành Toán (năm hai, năm ba)”
    Công thức này tôi tìm ra và có lời giải cách đây hơn 10 năm, ngày đó tôi không biết gì về các công thức của Cardano hay của Tartaglia (số phức) cả. Tôi giải bài toán này trong tập số thực thuần túy và cho tất cả các trường hợp. Còn khi đã biết nghiệm số thực thì tìm 2 nghiệm số phức còn lại rất dể dàng bằng cách chia đa thức hoặc dùng công thức Hooc-ne để tìm phương trình bậc 2 còn lại thật dể dàng. Những gì các bạn chưa được thấy thì hy vọng các bạn đừng nói theo kiểu tất cả không phải của tác giả.

    Like

    Posted by Toán học thường thức | 27/10/2009, 11:09
  3. Có cách nào đơn giản hơn không ạ
    To: chuong
    Với firefox chỉ cần giữ Ctrl vào điều chỉnh mouse 3 là có thể tăng giảm cỡ chữ rồi “chuong” ạ

    Like

    Posted by Linh | 21/05/2009, 22:34
  4. Cảm ơn bạn đã cung cấp thêm thông tin. Tuy nhiên, cách trên và cách 1 ở trang Wiki thì chỉ là 1. Đây là phương pháp của nhà Toán học người Ý Cardano xây dựng. Cách trên chỉ đưa ra công thức cuối cùng của Cardano nên không thấy được quá trình xây dựng công thức thế nào, và áp dụng số phức ở đâu, nên dễ lầm tưởng rằng không cần đến số phức.
    Còn phương pháp 2 (Việt nam giải): đây chỉ là 1 kết quả được tính toán và suy ra từ kết quả của công thức trên. Tuy nhiên , kết quả này chỉ đưa ra công thức tính nghiệm thực mà thôi. Nếu phương trình bậc 3, chỉ còn 1 nghiệm thực thì phải có 2 nghiệm phức. Vậy tìm 2 nghiệm phức thế nào. Bạn sẽ có câu trả lời đầy đủ khi xem giáo trình Đại số đại cương hoặc Số học của sinh viên chuyên ngành Toán (năm hai, năm ba)
    Thân,

    Like

    Posted by 2Bo02B | 16/02/2009, 22:07
  5. Đã có cách giải tổng quát không qua sức phức và nghiệm của phương trình bậc ba đầy đủ –> http://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_ba
    (Xem phương pháp thứ 2 của Việt nam giải)

    Like

    Posted by toanhoc | 16/02/2009, 21:35
  6. em có thể tăng cỡ chữ lên để đọc cho dễ bằng cách:

    Đối với trình duyệt FireFox:
    Em chọn View ở menu của trình duyệt web.
    Chọn Zoom >> Zoom In để tăng cỡ chữ lên.

    Đối với Internet Explorer 7.0:
    Em chọn nút Page ở bên góc phải.
    Chọn Zoom >> Zoom In

    Bằng cách này, các chữ trên web sẽ to hơn mà không bị bể hay nhòe. Khi đó em sẽ dễ dàng đọc bất cứ trang web nào.

    Like

    Posted by 2Bo02B | 04/09/2008, 14:20
  7. thầy ơi, thầy viết ebook word đi, chữ trên website nhỏ và mờ quá em ko nhìn rõ

    Like

    Posted by chuong | 04/09/2008, 11:46

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 989 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 989 other followers

%d bloggers like this: